leslie矩阵模型

### Leslie 矩阵模型简介 Leslie矩阵模型是一种用于描述和预测具有年龄结构的种群动态的经典方法[^1]。该模型通过构建一个离散的时间步长下的线性差分方程组，可以有效地模拟不同年龄段个体的数量变化规律。 #### 模型构成要素 - **初始向量**：表示各个年龄阶段个体数目的一维数组 \( \mathbf{N}(t)=[n_0(t), n_1(t), ..., n_{a_m}(t)]^T\) ，其中\( a_m \)代表最大寿命。 - **Leslie矩阵**：这是一个特殊的稀疏矩阵\[ L=\begin{pmatrix} f_0 & f_1 & f_2 & ...& f_{a_m} \\ s_0 & 0 & 0 &...& 0\\ 0&s_1&0&&\vdots\\ \vdots &&\ddots&\ddots&0\\ 0&...&0&s_{a_m-1}&0 \end{pmatrix}\] 在这个矩阵中， - 行列式的第一行包含了各龄级女性生育率\( f_i (i=0,1,...,a_m)\)，即每一年龄段母体平均产生的后代数量； - 对角线下方元素为存活概率\( s_j(j=0,1,...,a_m−1)\)，反映了从当前年龄到下一个年龄的成功过渡比例； 因此，在给定初始状态的情况下，未来的种群分布可以通过简单的矩阵乘法计算得出： \[ N(t+1)=LN(t)\] 随着时间推移，这种迭代过程能够揭示出长期稳定状态下的人口增长模式及其特征值所对应的固有增长率λ。 #### MATLAB 实现示例 下面给出一段利用MATLAB实现上述算法的小例子: ```matlab function lesliematrix() % 定义参数 ages = 8; % 年龄上限设为8岁 birth_rates = [0.5, 0.4, 0.3]; % 各个年龄层出生率假设数据 survival_probs = rand(1, ages); % 随机生成生存几率作为示范 % 构建Leslie Matrix leslieMatrix = zeros(ages); for i = 1:length(birth_rates) leslieMatrix(i,i:end) = birth_rates; end leslieMatrix(sub2ind([ages, ages], 2:ages, 1:(ages-1))) = survival_probs; disp('Leslie matrix:'); disp(leslieMatrix); initial_population = ones(ages, 1)*1e3; % 初始人口设定为每个年龄都有1千人 future_populations = cell(1, 5); % 记录未来五年的预期人数 future_populations{1} = initial_population; for year = 2:5 future_populations{year} = leslieMatrix * future_populations{year-1}; end figure(); hold on; colors = lines(length(future_populations)); for idx = 1:length(future_populations) plot(sum(future_populations{idx}), '.', 'Color', colors(idx,:), ... 'MarkerSize', 15,... 'DisplayName', sprintf('%d years later', (idx-1))); end xlabel('Age Group'); ylabel('Population Size'); title('Predicted Population Distribution Over Time Using Leslie Model'); legend show; grid minor; end ``` 此代码片段展示了如何创建一个基本版本的Leslie矩阵，并对其进行几次迭代以展示多年后的预计人口分布情况。