python求非线性方程的法线

### 使用Python计算非线性方程的法线 对于给定的一个二维平面上由隐函数 \( F(x,y)=0 \) 定义的曲线，该曲线上某一点处的法线可以通过下面的方式得到： - 计算法线斜率：假设已知点为 \( (x_0, y_0) \)，那么在这一点上偏导数 \(F_x\) 和 \(F_y\) 可以用来表示切线的方向向量。根据微积分的知识，\( (-\frac{dy}{dx})_{(x_0,y_0)}=\frac{-F_x(x_0,y_0)}{F_y(x_0,y_0)} \)[^1]。 - 法线定义：过此点的法线就是垂直于这条切线的一条直线，所以它的斜率为 \( m_n=-\frac{1}{m_t} \)，其中 \( m_t \) 是切线斜率。 为了具体化这个过程并提供一个实际的例子来展示如何用 Python 实现这一目标，考虑如下代码片段用于求解简单情况下的非线性方程法线： ```python import numpy as np from scipy.optimize import fsolve import matplotlib.pyplot as plt def func(X): """定义要研究的具体非线性方程""" x, y = X return [y - x ** 2 + 1] def df_dx(X): """返回关于x的部分导数值""" x, _ = X return [-2 * x] def df_dy(Y): """返回关于y的部分导数值""" _, y = Y return [1] # 给定点的位置 point = [np.sqrt(2), 1] X, Y = point # 解决方程找到交点（这里我们已经知道） solution = fsolve(func, [X, Y]) # 获取偏导数 partial_derivative_x = df_dx(solution) partial_derivative_y = df_dy(solution) if partial_derivative_y != 0: tangent_slope = -(partial_derivative_x / partial_derivative_y)[0][0] else: raise ValueError('The derivative with respect to y is zero.') normal_line_slope = -1/tangent_slope print(f'Normal line slope at ({X},{Y}): {normal_line_slope}') plt.figure() grid = np.linspace(-3, 3, 400) plt.plot(grid, grid**2 - 1, label='Original Curve') plt.axline((X,Y),slope=normal_line_slope,color="red",label=f'Normal Line Slope={round(normal_line_slope,2)}') plt.scatter([X], [Y]) plt.legend(loc='best') plt.show() ``` 这段脚本首先导入必要的库文件，并定义了一个具体的非线性方程 `func` 来描述所关心的几何形状。接着分别给出了两个辅助函数 `df_dx` 和 `df_dy` 来计算各自变量对应的偏导数。最后部分则是应用这些信息去绘制原始图形及其选定位置上的法线。