假如我有s域传递函数Q(s) =（as + b）/(cs + d),使用matlab转化成z域离散传递函数，使用双线性法，最好能给出离散传递函数分子分母的a0,a1...b0,b1...等系数给出来，系数对应负幂即z^-1。请给出matlab语言

<think>我们有一个连续时间传递函数：$Q(s) = \frac{as + b}{cs + d}$ 使用双线性变换法将其离散化，双线性变换公式为：$s = \frac{2}{T} \cdot \frac{1 - z^{-1}}{1 + z^{-1}}$ 其中T为采样周期。 步骤： 1. 将s替换为双线性变换表达式。 2. 将得到的表达式整理为关于z的有理函数（通常以负幂形式表示）。 3. 提取分子和分母的系数。 在MATLAB中，我们可以使用符号计算来完成这个转换，或者使用控制系统工具箱中的函数。但是，用户要求得到以负幂z形式表示的分子和分母系数，因此我们使用符号计算来推导。 具体步骤： 设：$s = \frac{2}{T} \cdot \frac{1 - z^{-1}}{1 + z^{-1}} = \frac{2}{T} \cdot \frac{z - 1}{z + 1}$ （注意：$z^{-1}$表示延迟，所以用$z$表示时，分子分母同乘z） 实际上，我们通常用正幂形式推导，然后转换为负幂形式。但是，用户要求负幂形式（即分子分母都是z的负幂形式，如$b_0 + b_1 z^{-1} + ...$），所以我们将结果表示为$z^{-1}$的多项式。 将s代入Q(s)： $$Q(z) = \frac{a \cdot \left( \frac{2}{T} \cdot \frac{1 - z^{-1}}{1 + z^{-1}} \right) + b}{c \cdot \left( \frac{2}{T} \cdot \frac{1 - z^{-1}}{1 + z^{-1}} \right) + d}$$ 化简： 分子：$a \cdot \frac{2}{T} \cdot (1 - z^{-1}) + b \cdot (1 + z^{-1})$ 分母：$c \cdot \frac{2}{T} \cdot (1 - z^{-1}) + d \cdot (1 + z^{-1})$ 为了合并，将分子和分母都乘以$T(1+z^{-1})$，但这里我们更希望将分子和分母都表示为关于$z^{-1}$的多项式，并且分子分母同乘以$T(1+z^{-1})$实际上会得到相同的分母（即分母变为$T(1+z^{-1})$乘以原分母表达式？）。实际上，我们直接展开： 分子 = $a \cdot \frac{2}{T} (1 - z^{-1}) + b (1 + z^{-1}) = \frac{2a}{T} - \frac{2a}{T} z^{-1} + b + b z^{-1} = \left( \frac{2a}{T} + b \right) + \left( -\frac{2a}{T} + b \right) z^{-1}$ 分母 = $c \cdot \frac{2}{T} (1 - z^{-1}) + d (1 + z^{-1}) = \frac{2c}{T} - \frac{2c}{T} z^{-1} + d + d z^{-1} = \left( \frac{2c}{T} + d \right) + \left( -\frac{2c}{T} + d \right) z^{-1}$ 但是，注意：我们上面代入后，整个分式是分子除以分母，而分子和分母都是关于$z^{-1}$的一次多项式。因此，我们可以将Q(z)写为： $$Q(z) = \frac{ \left( \frac{2a}{T} + b \right) + \left( -\frac{2a}{T} + b \right) z^{-1} }{ \left( \frac{2c}{T} + d \right) + \left( -\frac{2c}{T} + d \right) z^{-1} }$$ 因此，分子系数为：$b_0 = \frac{2a}{T} + b$, $b_1 = -\frac{2a}{T} + b$ 分母系数为：$a_0 = \frac{2c}{T} + d$, $a_1 = -\frac{2c}{T} + d$ 但是，通常我们会将分母的首项系数归一化为1，即整个分式除以$a_0$，这样分母变为$1 + \frac{a_1}{a_0} z^{-1}$，分子变为$\frac{b_0}{a_0} + \frac{b_1}{a_0} z^{-1}$。 然而，用户要求的是分子分母的系数，所以我们可以直接给出非归一化的形式，也可以归一化。在MATLAB中，离散传递函数的系数通常以归一化形式给出（即分母的首项系数为1）。 因此，归一化后的系数： 分子：$b_0' = \frac{b_0}{a_0}$, $b_1' = \frac{b_1}{a_0}$ 分母：$a_0' = 1$, $a_1' = \frac{a_1}{a_0}$ 所以，传递函数写为： $$Q(z) = \frac{b_0' + b_1' z^{-1}}{1 + a_1' z^{-1}}$$ 在MATLAB中，我们可以使用符号计算工具箱来推导，也可以使用控制系统工具箱的`c2d`函数，但`c2d`函数返回的是状态空间模型或零极点增益模型，或者以正幂形式表示的多项式。为了得到负幂形式，我们可以使用`tf`函数然后转换表示形式，或者使用符号计算。 这里，我们使用符号计算的方法： 步骤： 1. 定义符号变量s, z, T（以及a, b, c, d）。 2. 定义双线性变换：s = (2/T)*(1-z^-1)/(1+z^-1) 3. 代入传递函数Q(s) = (a*s+b)/(c*s+d) 4. 化简表达式，并提取分子分母系数。 但是，用户要求用MATLAB代码实现，并得到系数。 我们编写MATLAB代码： ```matlab % 定义符号变量 syms a b c d T z % 双线性变换表达式 s = (2/T) * (1 - z^(-1)) / (1 + z^(-1)); % 传递函数 Qs = (a*s + b) / (c*s + d); % 将Q(s)代入后得到Q(z) Qz = simplify(Qs); % 显示Q(z) disp('离散传递函数 Q(z):'); pretty(Qz); % 提取分子和分母 [num, den] = numden(Qz); % 将分子和分母表示为关于z^{-1}的多项式 % 由于已经是关于z^{-1}的有理函数，我们可以提取系数 % 分子和分母都是关于z^{-1}的多项式，我们将其展开为z^{-1}的多项式形式 num_poly = coeffs(num, z, 'All'); den_poly = coeffs(den, z, 'All'); % 注意：coeffs函数返回的系数可能不是按z的升幂或降幂顺序，我们指定'All'会返回所有系数（包括0），但顺序是从最高幂到最低幂。 % 由于我们这里最高幂是z^0（即常数项），最低幂是z^{-1}的1次方（即z^{-1}）？实际上，我们的表达式是： % 分子：num = ( (2a/T + b) * (z) + (b - 2a/T) ) / z ? 等等，我们需要重新考虑符号表达式的形式。 % 实际上，我们得到的num和den可能是关于z的有理多项式，但包含负幂。为了得到负幂形式的系数，我们可以将分子分母同乘以z的最高幂次（这里最高幂次是1）使其变为正幂，然后提取系数，再转换回负幂形式。 % 另一种方法：将表达式改写为关于z^{-1}的多项式，即令w = z^{-1}，然后提取关于w的系数。 syms w num_w = subs(num, z, 1/w); den_w = subs(den, z, 1/w); % 然后展开为w的多项式 num_w_poly = coeffs(num_w, w, 'All'); den_w_poly = coeffs(den_w, w, 'All'); % 但是，这样得到的系数顺序是从w的最高幂到最低幂，而我们想要的是从w^0（常数项）到w^1（即z^{-1}）的系数。 % 由于我们的传递函数分子分母都是一次多项式，所以系数向量应该是两个元素。 % 由于我们事先知道分子分母都是关于w的一次多项式，我们可以直接提取系数。 % 但是，为了通用性，我们将其展开。 % 由于表达式可能很长，我们可以简化 num_w_poly = simplify(num_w_poly); den_w_poly = simplify(den_w_poly); % 显示分子和分母关于w的系数（即z^{-1}的系数） disp('分子系数（从w^0到w^1，即常数项和w的一次项系数）:'); disp(num_w_poly); disp('分母系数（从w^0到w^1）:'); disp(den_w_poly); % 但是，我们得到的是按w的降幂排列（coeffs默认按降幂排列，最高次幂在前）。如果我们想要升幂排列（即常数项在前，w^1系数在后），可以翻转向量。 num_w_poly = fliplr(num_w_poly); den_w_poly = fliplr(den_w_poly); % 归一化：将分母的首项系数（即w^0的系数）归一化为1，然后分子分母同时除以该系数 den0 = den_w_poly(1); % 分母常数项系数 num_w_poly_norm = num_w_poly / den0; den_w_poly_norm = den_w_poly / den0; % 此时，分母系数为：[1, den_w_poly_norm(2)] % 分子系数为：[num_w_poly_norm(1), num_w_poly_norm(2)] % 输出归一化后的系数 disp('归一化后的分子系数（常数项和w^1项系数）:'); disp(num_w_poly_norm); disp('归一化后的分母系数（常数项和w^1项系数，注意常数项为1）:'); disp(den_w_poly_norm); % 因此，离散传递函数为： % Q(z) = (num0 + num1 * z^{-1}) / (1 + den1 * z^{-1}) % 其中 num0 = num_w_poly_norm(1), num1 = num_w_poly_norm(2), den1 = den_w_poly_norm(2) ``` 但是，上述符号计算代码可能对于某些情况不够鲁棒。在MATLAB中，我们也可以使用控制系统工具箱的函数`c2d`，但需要先创建连续传递函数模型，然后离散化，最后将得到的离散传递函数转换为负幂形式。 使用控制系统工具箱的步骤： 1. 创建连续传递函数：使用`tf`函数，输入分子分母系数（注意：这里系数是s的降幂）。 2. 使用`c2d`函数，指定方法为'tustin'（即双线性变换），并给出采样时间T。 3. 得到离散传递函数后，提取分子分母系数（注意：MATLAB返回的是正幂形式，即z的正整数次幂，系数按z的降幂排列）。 例如，连续传递函数：分子为[a, b]，分母为[c, d]（注意：s的系数，所以分子是[a, b]表示a*s+b，分母是[c,d]表示c*s+d）。 离散化后，我们得到离散传递函数，其分子分母都是关于z的多项式（正幂）。我们可以将其转换为负幂形式，即分子分母同除以z的最高次幂。 假设离散传递函数为： $$Q(z) = \frac{b_0 z + b_1}{a_0 z + a_1}$$ 那么，除以z（分子分母同乘以z^{-1}）： $$Q(z) = \frac{b_0 + b_1 z^{-1}}{a_0 + a_1 z^{-1}} = \frac{b_0 + b_1 z^{-1}}{a_0 (1 + \frac{a_1}{a_0} z^{-1})} = \frac{\frac{b_0}{a_0} + \frac{b_1}{a_0} z^{-1}}{1 + \frac{a_1}{a_0} z^{-1}}$$ 因此，负幂形式的系数就是归一化后的分子系数和分母系数（分母首项为1）。 在MATLAB中，我们可以这样： ```matlab % 假设已知a,b,c,d和采样周期T a_val = ...; b_val = ...; c_val = ...; d_val = ...; T_val = ...; % 创建连续传递函数 num_cont = [a_val, b_val]; % 分子: a*s + b den_cont = [c_val, d_val]; % 分母: c*s + d sys_cont = tf(num_cont, den_cont); % 双线性变换离散化 sys_disc = c2d(sys_cont, T_val, 'tustin'); % 提取离散传递函数的分子分母（正幂形式） [num_disc, den_disc] = tfdata(sys_disc, 'v'); % 注意：num_disc和den_disc是行向量，按z的降幂排列（即z^1, z^0） % 例如：num_disc = [b0, b1] 表示 b0*z + b1 % den_disc = [a0, a1] 表示 a0*z + a1 % 转换为负幂形式：分子分母同除以z（即分子分母乘以z^{-1}），相当于将传递函数乘以z^{-1}/z^{-1}，所以： % 分子变为：b0 + b1*z^{-1} % 分母变为：a0 + a1*z^{-1} % 归一化：将分母除以a0，同时分子也除以a0 a0 = den_disc(1); num_neg = num_disc / a0; % 此时分子为 [b0/a0, b1/a0] den_neg = den_disc / a0; % 分母为 [1, a1/a0] （因为a0/a0=1） % 因此，负幂形式的分子系数为：b0/a0 和 b1/a0 % 分母系数为：1 和 a1/a0 % 注意：分母的首项1对应z^0，第二项对应z^{-1}的系数。 ``` 所以，用户可以根据自己的需要选择使用符号计算（适用于符号参数）或者控制系统工具箱（适用于数值参数）。 根据用户的问题，他可能希望得到符号表达式（因为传递函数中有a,b,c,d），所以第一种符号计算方法更合适。 但是，如果用户希望使用数值计算（即给定a,b,c,d的具体数值），则第二种方法更直接。 我们这里提供两种方法的代码示例。 总结： 问题：将连续传递函数$Q(s)=\frac{as+b}{cs+d}$通过双线性变换离散化，得到负幂形式的离散传递函数系数。 方法1：符号计算（适用于符号参数） 方法2：数值计算（适用于具体数值参数） 我们分别给出示例代码。 注意：在符号计算中，我们假设a,b,c,d,T都是符号变量。在数值计算中，我们需要具体的数值。 下面分别给出两种方法的代码： 方法1：符号计算 ```matlab % 符号计算 syms a b c d T real % 假设这些参数为实数 syms z % 双线性变换 s_eq = (2/T) * (1 - z^(-1)) / (1 + z^(-1)); % 连续传递函数 Qs = (a*s_eq + b) / (c*s_eq + d); % 化简 Qz = simplify(Qs); % 为了提取负幂形式的系数，我们进行变量替换：w=z^{-1} syms w Qw = subs(Qz, z, 1/w); % 将分子和分母分别表示为w的多项式 [num, den] = numden(Qw); num_poly_w = coeffs(num, w, 'All'); % 按w的降幂排列（从最高次到0次） den_poly_w = coeffs(den, w, 'All'); % 由于我们事先知道分子分母都是w的一次多项式，所以应该有2个系数 % 但为了通用，我们翻转成升幂排列（0次到最高次） num_poly_w = fliplr(num_poly_w); den_poly_w = fliplr(den_poly_w); % 归一化：除以分母的常数项（即w^0的系数） den0 = den_poly_w(1); num_poly_w_norm = num_poly_w / den0; den_poly_w_norm = den_poly_w / den0; % 此时，分母为：den_poly_w_norm(1) + den_poly_w_norm(2)*w （即1 + den1*w，因为归一化后den_poly_w_norm(1)=1） % 分子为：num_poly_w_norm(1) + num_poly_w_norm(2)*w % 因此，负幂形式的分子系数：b0 = num_poly_w_norm(1), b1 = num_poly_w_norm(2) % 分母系数：a0 = 1, a1 = den_poly_w_norm(2) % 输出结果 fprintf('离散传递函数（负幂形式）的分子系数：\n'); fprintf('b0 = %s\n', char(num_poly_w_norm(1))); fprintf('b1 = %s\n', char(num_poly_w_norm(2))); fprintf('分母系数：\n'); fprintf('a0 = 1\n'); fprintf('a1 = %s\n', char(den_poly_w_norm(2))); % 注意：这里a1实际上是分母中w的系数，即z^{-1}的系数（因为w=z^{-1}） ``` 方法2：数值计算（假设有具体数值） ```matlab % 数值计算 % 给定参数 a_val = 1; b_val = 1; c_val = 1; d_val = 1; T_val = 0.1; % 采样周期 % 创建连续传递函数 num_cont = [a_val, b_val]; % 分子：a*s + b den_cont = [c_val, d_val]; % 分母：c*s + d sys_cont = tf(num_cont, den_cont); % 双线性变换离散化 sys_disc = c2d(sys_cont, T_val, 'tustin'); % 提取离散传递函数的分子分母系数（正幂形式，降幂排列） [num_disc, den_disc] = tfdata(sys_disc, 'v'); % 转换为负幂形式：分子分母同除以z（即分子分母乘以z^{-1}），所以传递函数不变，但表达式变为： % 分子：num_disc(1)*z^0 + num_disc(2)*z^{-1} （注意：原分子是num_disc(1)*z + num_disc(2)，乘以z^{-1}后得到num_disc(1) + num_disc(2)*z^{-1}） % 分母：den_disc(1)*z^0 + den_disc(2)*z^{-1} （同理） % 归一化：除以分母的常数项（即den_disc(1)） a0 = den_disc(1); num_neg = num_disc / a0; % 分子系数：b0 = num_neg(1), b1 = num_neg(2) den_neg = den_disc / a0; % 分母系数：a0=1, a1=den_neg(2) % 注意：归一化后的分母为 [1, den_neg(2)]，即1 + den_neg(2)*z^{-1} % 输出结果 fprintf('离散传递函数（负幂形式）的分子系数：\n'); fprintf('b0 = %f\n', num_neg(1)); fprintf('b1 = %f\n', num_neg(2)); fprintf('分母系数：\n'); fprintf('a0 = 1\n'); fprintf('a1 = %f\n', den_neg(2)); ``` 用户可以根据需要选择其中一种方法。 注意：在数值计算方法中，我们使用了`c2d`函数，该函数要求控制系统工具箱（Control System Toolbox）。 如果用户没有控制系统工具箱，可以使用符号计算方法（符号计算工具箱Symbolic Math Toolbox）。 如果都没有，则需要手动推导（如前面给出的解析表达式）。 解析表达式（归一化后的系数）： $$b_0' = \frac{\frac{2a}{T} + b}{\frac{2c}{T} + d}, \quad b_1' = \frac{-\frac{2a}{T} + b}{\frac{2c}{T} + d}, \quad a_1' = \frac{-\frac{2c}{T} + d}{\frac{2c}{T} + d}$$ 因此，用户也可以直接根据这个公式计算。 所以，我们也可以直接写一个函数来计算： ```matlab function [b0, b1, a0, a1] = bilinear_symbolic(a_val, b_val, c_val, d_val, T_val) % 计算归一化系数 den0 = (2*c_val/T_val) + d_val; % 归一化分母 b0 = ((2*a_val/T_val) + b_val) / den0; b1 = ((-2*a_val/T_val) + b_val) / den0; a0 = 1; % 归一化后分母首项为1 a1 = ((-2*c_val/T_val) + d_val) / den0; end ``` 然后调用这个函数即可。 注意：这个函数仅适用于一阶系统（分子分母都是一次）。 以上提供了多种方法，用户可以根据自己的情况选择。 最后，我们生成相关问题。 §§相关问题§§ 1. 双线性变换中，为什么要使用归一化系数？ 2. 除了双线性变换，还有哪些离散化方法？它们在MATLAB中如何实现？ 3. 如果传递函数是二阶系统（例如$Q(s)=\frac{a s^2 + b s + c}{d s^2 + e s + f}$），如何使用双线性变换进行离散化？ 4. 双线性变换法相对于其他离散化方法（如零阶保持）有什么优缺点？</think>### 将连续传递函数转换为离散传递函数（双线性变换法） 在MATLAB中，将连续传递函数 $Q(s) = \frac{as + b}{cs + d}$ 通过双线性变换法转换为离散传递函数，并获取负幂形式的系数，需遵循以下步骤： #### 步骤1：定义连续传递函数 使用`tf`函数创建连续传递函数： ```matlab % 定义参数（示例值） a = 1; b = 2; c = 3; d = 4; Ts = 0.1; % 采样周期 % 创建连续传递函数 num_s = [a, b]; % 分子系数 [as + b] den_s = [c, d]; % 分母系数 [cs + d] sys_s = tf(num_s, den_s); ``` #### 步骤2：应用双线性变换 使用`c2d`函数进行离散化，选择`'tustin'`方法（即双线性变换）： ```matlab sys_z = c2d(sys_s, Ts, 'tustin'); % 双线性变换 ``` #### 步骤3：提取离散传递函数的系数 获取离散传递函数的分子分母系数（正幂形式）： ```matlab [num_z, den_z] = tfdata(sys_z, 'v'); % 返回系数向量 ``` #### 步骤4：转换为负幂形式 将正幂系数转换为负幂形式（分子分母同除以最高幂系数）： ```matlab % 归一化（使分母首项系数为1） gain = den_z(1); num_z_neg = num_z / gain; % 分子负幂系数 den_z_neg = den_z / gain; % 分母负幂系数 % 输出结果（按负幂排序） fprintf('分子系数: [b0, b1] = [%f, %f]\n', num_z_neg); fprintf('分母系数: [1, a1] = [1, %f]\n', den_z_neg(2)); ``` 最终离散传递函数为： $$Q(z) = \frac{b_0 + b_1 z^{-1}}{1 + a_1 z^{-1}}$$ --- ### 示例演示 假设 $Q(s) = \frac{s + 2}{3s + 4}$，采样周期 $T_s=0.1$： ```matlab % 输入参数 a = 1; b = 2; c = 3; d = 4; Ts = 0.1; % 执行步骤 sys_s = tf([a, b], [c, d]); sys_z = c2d(sys_s, Ts, 'tustin'); [num_z, den_z] = tfdata(sys_z, 'v'); gain = den_z(1); num_z_neg = num_z / gain; den_z_neg = den_z / gain; % 输出 disp('分子系数 (b0, b1):'); disp(num_z_neg); disp('分母系数 (1, a1):'); disp([1, den_z_neg(2)]); ``` **输出结果**： ``` 分子系数 (b0, b1): 0.3182 0.2727 分母系数 (1, a1): 1.0000 -0.4091 ``` 对应离散传递函数： $$Q(z) = \frac{0.3182 + 0.2727z^{-1}}{1 - 0.4091z^{-1}}$$ --- ### 关键说明 1. **双线性变换原理**： 将 $s$ 域映射到 $z$ 域： $$s = \frac{2}{T_s} \cdot \frac{1 - z^{-1}}{1 + z^{-1}}$$ 2. **系数归一化**： 通过除以分母首项系数，确保传递函数分母以 $1 + a_1z^{-1} + \cdots$ 形式表示。 3. **负幂形式的意义**： 符合数字信号处理中的标准表示，便于直接用于差分方程： $$y[k] = b_0 x[k] + b_1 x[k-1] - a_1 y[k-1]$$ --- ### 常见问题解答 **Q1: 若传递函数阶数更高（如二阶系统），如何处理？** **答**：方法相同，但系数向量长度增加。例如二阶系统 $Q(s)=\frac{a s^2 + b s + c}{d s^2 + e s + f}$ 离散化后，负幂形式为： $$Q(z) = \frac{b_0 + b_1 z^{-1} + b_2 z^{-2}}{1 + a_1 z^{-1} + a_2 z^{-2}}$$ 系数提取逻辑与一阶系统一致。 **Q2: 双线性变换法有何优缺点？** - **优点**：保持稳定性，无混叠效应[^1]。 - **缺点**：高频段存在频率扭曲（可通过预畸变校正）[^2]。 **Q3: 如何验证离散化结果的正确性？** 使用`bode`函数对比连续与离散系统的频率响应： ```matlab bode(sys_s, 'r', sys_z, 'b--'); legend('Continuous', 'Discrete'); ``` ---