求一下下面代码的时间复杂度#include <iostream> using namespace std; #include <bits/stdc++.h> int main() { int num = 0; cin >> num; //质数因子从2开始，到√num for(int i = 2; i * i <= num; i++) { while(num % i == 0) { cout << i << " "; num = num / i; //因为循环结束会+1，这里重置i为1，下一循环继续从2开始 } } cout<<num<<" "; return 0; }

### 优化递归函数以降低时间复杂度 #### 动态规划方法 动态规划是一种有效的优化技术，可以显著减少重复计算。通过自底向上的方式构建解决方案并保存中间结果，从而避免了指数级的时间复杂度。这种方法的时间复杂度为 \(O(n)\)，空间复杂度也为 \(O(n)\)[^1]。 以下是基于动态规划的 C++ 实现： ```cpp #include <iostream> using namespace std; // 使用动态规划计算斐波那契数列 unsigned long long fibonacciDP(int n) { if (n <= 1) return n; unsigned long long fib[n + 1]; fib[0] = 0; fib[1] = 1; for (int i = 2; i <= n; ++i) { fib[i] = fib[i - 1] + fib[i - 2]; // 存储每一步的结果 } return fib[n]; } int main() { int n; cout << "Enter a number: "; cin >> n; cout << "Fibonacci(" << n << ") = " << fibonacciDP(n) << endl; return 0; } ``` #### 尾递归优化 尾递归是指递归调用作为整个函数体中的最后一个操作执行的技术。编译器能够将其转换为迭代形式，从而避免堆栈溢出问题，并将时间复杂度保持在 \(O(n)\)[^1]。 下面是尾递归版本的实现： ```cpp #include <iostream> using namespace std; // 尾递归实现斐波那契数列 unsigned long long tailRecursiveFib(int n, unsigned long long prev = 0, unsigned long long curr = 1) { if (n == 0) return prev; if (n == 1) return curr; return tailRecursiveFib(n - 1, curr, prev + curr); } int main() { int n; cout << "Enter a number: "; cin >> n; cout << "Fibonacci(" << n << ") = " << tailRecursiveFib(n) << endl; return 0; } ``` #### 迭代方法 除了上述两种方法外，还可以采用简单的迭代算法来进一步节省内存开销。此方法仅需两个变量即可完成计算，因此其空间复杂度降为 \(O(1)\)，而时间复杂度仍为 \(O(n)\)[^4]。 下面是一个典型的迭代实现： ```cpp #include <iostream> using namespace std; // 迭代实现斐波那契数列 unsigned long long fibonacciIterative(int n) { if (n <= 1) return n; unsigned long long prev = 0, curr = 1; for (int i = 2; i <= n; ++i) { unsigned long long next = prev + curr; prev = curr; curr = next; } return curr; } int main() { int n; cout << "Enter a number: "; cin >> n; cout << "Fibonacci(" << n << ") = " << fibonacciIterative(n) << endl; return 0; } ``` 以上三种方法均能有效解决传统递归带来的性能瓶颈问题。具体选择取决于实际需求以及对时间和空间效率的要求。

<think>好的，用户想了解C++ STL中vector和map的示例代码以及解释。我需要先整理这两个容器的基本用法，然后结合提供的引用内容给出示例。 首先看vector。引用[1]中的示例是std::copy的使用，涉及vector的初始化、拷贝操作和遍历输出。我应该先展示如何创建vector，添加元素，并进行基本的操作，比如遍历。然后可以结合引用[4]提到的调试方法，虽然用户可能不需要调试部分，但可以简要提及。 然后是map。引用[2]中的示例展示了使用pair作为键的情况，这可能是一个高级用法。用户可能更需要基础的map使用示例，比如插入、访问元素。此外，引用[3]提到了multimap，但用户的问题是关于map的，所以可能不需要深入multimap，除非用户问到相关问题。 需要确保代码示例正确，符合C++标准，并添加注释解释每一步。同时，按照用户的要求，行内数学公式用$...$，独立公式用$$...$$，但这里可能用不到数学公式，不过要检查是否有需要的地方，比如算法复杂度时可能需要提到。 接下来，生成相关问题。根据示例中的问题，可能需要涉及vector和map的常见操作、性能、应用场景等。例如，vector的内存管理、map的查找效率等。 最后，确保回答结构清晰，分点解释，代码部分用正确的格式，并正确引用提供的参考资料。注意引用标记的位置，比如在拷贝算法处添加[^1]，在map使用pair作为键时添加[^2]，调试部分引用[^4]。</think>### C++ STL vector和map示例代码解析 #### 一、vector容器示例 vector是动态数组容器，支持快速随机访问和动态扩容。以下是基本操作示例： ```cpp #include <vector> #include <iostream> using namespace std; int main() { // 创建vector并初始化 vector<int> vec = {2, 4, 6, 8}; // 添加元素 vec.push_back(10); vec.emplace_back(12); // 更高效的插入方式 // 遍历输出 for (const auto& num : vec) { cout << num << " "; // 输出: 2 4 6 8 10 12 } // 使用拷贝算法（引用[1]示例） vector<int> copy_vec(vec.size()); copy(vec.begin(), vec.end(), copy_vec.begin()); return 0; } ``` **关键点解释**： - `push_back` 和 `emplace_back` 的区别：后者直接在容器内构造对象，避免拷贝开销 - 遍历时使用`const auto&`避免拷贝元素 - 拷贝操作通过`std::copy`实现（时间复杂度为$O(n)$） #### 二、map容器示例 map是关联容器，基于红黑树实现，提供$O(\log n)$的查找效率。以下是基本用法： ```cpp #include <map> #include <iostream> using namespace std; int main() { // 创建map并插入数据 map<string, int> student_scores; student_scores["Alice"] = 95; student_scores.insert({"Bob", 88}); // 查询操作 cout << "Bob's score: " << student_scores["Bob"] << endl; // 输出88 // 使用pair作为键（引用[2]示例） map<pair<int, int>, string> coordinate_map; coordinate_map[make_pair(3,4)] = "PointA"; cout << coordinate_map[{3,4}] << endl; // 输出PointA return 0; } ``` **特性说明**： - 键值对自动排序，遍历时按key升序排列 - `operator[]`在key不存在时会自动插入默认值 - 使用`pair`作为复合键时需注意比较函数实现 #### 三、调试技巧（引用[4]） 调试STL容器时，GDB命令可简化为： ```gdb print *(vec._M_impl._M_start)@vec.size() ``` 这会直接显示vector元素内容，避免冗余信息。