Jacobi迭代法与G-S迭代法

对于一个系数对称正定方程组，Jacobi迭代法和G-S迭代法都是可以用来求解的，但它们的迭代方式不同。在理论上，这两种迭代法的结果是相同的，也就是说，无论是用Jacobi迭代法还是G-S迭代法，最终求解出来的解都是相同的。 然而，在实际应用中，由于Jacobi迭代法和G-S迭代法的收敛速度和精度不同，可能会导致它们的迭代次数和计算结果略微不同。因此，在使用这两种迭代法时，需要根据实际情况选择合适的方法，以获得更加准确和高效的结果。

以下是使用Java实现Jacobi迭代法求解线性方程组的代码： ```java public class JacobiIteration { public static void main(String[] args) { double[][] A = {{10, -1, 2, 0}, {-1, 11, -1, 3}, {2, -1, 10, -1}, {0, 3, -1, 8}}; double[] b = {6, 25, -11, 15}; double[] x = {0, 0, 0, 0}; int n = A.length; double epsilon = 0.0001; int maxIterations = 100; int k = 0; while (k < maxIterations) { double[] xNew = new double[n]; for (int i = 0; i < n; i++) { double s = 0; for (int j = 0; j < n; j++) { if (j != i) { s += A[i][j] * x[j]; } } xNew[i] = (b[i] - s) / A[i][i]; } double error = 0; for (int i = 0; i < n; i++) { error += Math.abs(x[i] - xNew[i]); } if (error < epsilon) { break; } x = xNew; k++; } System.out.println("Solution:"); for (int i = 0; i < n; i++) { System.out.println("x[" + i + "] = " + x[i]); } } } ``` 在这个例子中，我们使用Jacobi迭代法求解线性方程组Ax=b，其中矩阵A和向量b分别表示为`double[][] A`和`double[] b`，解向量x表示为`double[] x`。我们设置了一个容差值`epsilon`和最大迭代次数`maxIterations`，并在迭代过程中计算误差，如果误差小于容差值，则停止迭代。在每次迭代中，我们使用矩阵A、向量b和当前解向量x计算新的解向量xNew，并将其用作下一次迭代的初始解向量。最后，我们输出求解结果。 对于Gauss-Seidel迭代法，代码与Jacobi迭代法类似，只需要将内层循环的求和公式修改为： ```java double s = 0; for (int j = 0; j < i; j++) { s += A[i][j] * xNew[j]; } for (int j = i + 1; j < n; j++) { s += A[i][j] * x[j]; } xNew[i] = (b[i] - s) / A[i][i]; ``` 这是因为Gauss-Seidel迭代法使用了最新计算出的解向量xNew，而不是上一次迭代中的解向量x。