01背包vs完全背包

<think>嗯，我现在要理解一下01背包和完全背包问题之间的区别。这两个都是动态规划里的经典问题，对吧？让我先回忆一下，01背包是说每个物品只能选一次，而完全背包可以选无限次。但具体它们的解法有什么不同呢？ 首先，01背包的基本思路是，对于每个物品，我们有两种选择：放或者不放。那状态转移方程应该是dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j - weight[i]] + value[i])。这里i是前i个物品，j是当前背包容量。这时候，二维数组的情况下，每个状态都是基于上一行的结果来更新的。那如果优化成一维数组的话，应该是逆序遍历容量，也就是从大到小，这样保证每个物品只被计算一次。 那完全背包的话，因为每个物品可以选多次，所以状态转移方程应该是怎样的呢？比如，当考虑第i个物品的时候，可能已经选过k次了。这时候可能需要遍历k的次数，但这样时间复杂度会很高。或者有没有更优化的方法？ 哦，对了，完全背包的状态转移方程可以优化成dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i])。这里的不同点在于，当选择放入物品i的时候，不是从i-1的状态转移过来，而是仍然在i的状态，因为可以重复选。这样的话，如果用一维数组的话，是不是应该正序遍历容量？因为这样在更新dp[j]的时候，可能已经考虑了当前物品的多次放入情况。比如，当j从小到大遍历时，当处理到j的时候，j - weight[i]可能已经被更新过，也就是可能已经放入了当前物品，所以这时候加上value[i]就相当于多次选择。 比如，假设物品的重量是2，价值是3。当处理容量j=4时，先更新j=2的位置，这时候放入一个物品，然后当j=4的时候，可以再次放入，这样总价值就是6。这样正序遍历的话，就可以处理多次选择的情况。而01背包逆序的话，每个物品只能选一次，因为每次更新都是基于未选过该物品的状态。 那总结一下，两者的区别主要在于物品可以选的次数不同，导致状态转移的方式不同。在二维数组的情况下，完全背包用的是同一行的前面的状态，而01背包用的是上一行的状态。转换到一维数组时，完全背包要正序遍历容量，而01背包要逆序遍历。这样就能保证状态转移的正确性。 举个例子，比如物品的重量为1，价值为2，背包容量为3。01背包的话，只能选三次不同的物品吗？或者每个物品只能选一次？假设只有一个物品，那么01背包只能选一次，所以总价值是2。而完全背包的话，可以选三次这个物品，总价值是6。这时候两者的处理方式就会不同。 那在代码实现上，01背包的一维数组版本是： for i in 0..n-1: for j = C downto weight[i]: dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]) 而完全背包则是： for i in 0..n-1: for j = weight[i] to C: dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]) 也就是内层循环的顺序相反。这样的话，完全背包允许同一物品多次被加入，而01背包只能加入一次。 那是否还有其他区别呢？比如初始化条件？可能初始化都是类似的，比如dp[0] = 0，其他初始为0或者负无穷，取决于问题具体要求。 那两者的应用场景有什么不同？比如，01背包适用于物品数量有限的情况，比如每个物品只能取一次，比如挑选宝石。而完全背包适用于物品可以无限取的情况，比如硬币问题中的硬币无限供应，求组成金额的最少硬币数或者最大价值等。 比如，硬币兑换问题，如果硬币可以重复使用，那就是完全背包问题。而如果每个硬币只能用一次，那就是01背包问题。当然，这类问题可能还需要不同的状态转移方程，比如求最少硬币数的话，可能状态转移方程是dp[j] = min(dp[j], dp[j - coin] + 1)。 那还有，如果问题中的物品有多个数量，比如每个物品最多取k次，这时候可能要用多重背包问题，而多重背包可以转化为01背包或者完全背包吗？比如通过二进制拆分或者单调队列优化？ 总的来说，01背包和完全背包的主要区别在于物品的使用次数，导致在动态规划的状态转移时处理方式不同，从而内层循环的顺序相反。这也是为什么在优化为一维数组后，两者的遍历顺序不同的原因。</think>01背包和完全背包是动态规划中的两类经典背包问题，核心区别在于**物品的选取次数**，这直接影响状态转移方程的设计和实现细节。以下是两者的对比介绍： --- ### **1. 核心区别** - **01背包** - **物品限制**：每个物品只能选**0次或1次**（选或不选）。 - **典型问题**：在容量有限的背包中装入物品，使总价值最大（每个物品唯一）。 - **状态转移方程**（二维数组）： ```python dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j - w[i]] + v[i]) ``` 其中 `i` 表示前 `i` 个物品，`j` 表示当前背包容量，`w[i]` 和 `v[i]` 分别为物品的重量和价值。 - **一维数组优化**： 内层循环**逆序**遍历容量（从大到小），确保每个物品仅被计算一次。 ```python for 物品i in 所有物品: for j in range(C, w[i]-1, -1): dp[j] = max(dp[j], dp[j - w[i]] + v[i]) ``` --- - **完全背包** - **物品限制**：每个物品可以选**无限次**。 - **典型问题**：硬币兑换（无限硬币凑出指定金额）、无限资源分配等。 - **状态转移方程**（二维数组）： ```python dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j - w[i]] + v[i]) ``` 注意：选择物品时参考的是**同一行**（允许重复选取）。 - **一维数组优化**： 内层循环**正序**遍历容量（从小到大），允许同一物品多次被加入。 ```python for 物品i in 所有物品: for j in range(w[i], C+1): dp[j] = max(dp[j], dp[j - w[i]] + v[i]) ``` --- ### **2. 直观对比** - **遍历顺序** - 01背包：逆序更新（避免重复计算）。 - 完全背包：正序更新（允许重复计算）。 - **状态依赖** - 01背包：当前状态仅依赖**上一行**的结果。 - 完全背包：当前状态依赖**本行已更新的结果**。 --- ### **3. 应用场景示例** - **01背包** - 问题：有 `N` 件物品，第 `i` 件重量 `w[i]`、价值 `v[i]`，背包容量 `C`，求最大价值。 - 示例代码（一维数组）： ```python dp = [0] * (C+1) for i in range(N): for j in range(C, w[i]-1, -1): dp[j] = max(dp[j], dp[j - w[i]] + v[i]) ``` - **完全背包** - 问题：硬币面值 `coins = [1, 2, 5]`，求凑出金额 `amount` 的**最少硬币数**。 - 示例代码（一维数组）： ```python dp = [float('inf')] * (amount + 1) dp[0] = 0 for coin in coins: for j in range(coin, amount+1): dp[j] = min(dp[j], dp[j - coin] + 1) ``` --- ### **4. 核心总结** | **特征** | **01背包** | **完全背包** | |-------------------|---------------------------|---------------------------| | 物品选取次数 | 0或1次 | 无限次 | | 状态转移依赖 | 上一行的状态 | 本行已更新的状态 | | 一维数组遍历顺序 | 逆序（从大到小） | 正序（从小到大） | | 典型问题 | 唯一物品的最大价值 | 无限资源的组合优化 | 理解两者的差异关键在于**物品是否可重复选**，这直接决定了状态转移的方向和代码实现中的遍历顺序。