xtuoj Factorization#
时间: 2025-07-05 09:07:49 浏览: 2
### XTUOJ 平台上的因数分解题目及其解法
#### 1. 因子和问题分析
针对XTU-OJ平台上的因子和问题,当面对的数据范围较大时(例如最大可达 \(1 \times 10^8\)),直接采用暴力算法可能会遇到性能瓶颈[^3]。因此,在处理这类问题时,通常会借助质因数分解的方法来进行优化。
#### 2. 判断特定形式的质因数分解
对于某些特殊类型的输入\(n=p_1^{k_1}p_2^{k_2}\ldots p_m^{k_m}\),如果要验证其能否仅被表示成两个不同素数相乘的形式,则可以简化为检查是否存在一对唯一的素数因子\[p,q\]满足条件:\[pq=n,(p≠q)\][^1]。这种情况下不需要额外增加不必要的判断逻辑,比如最终使\(x=1\)的情况,因为这已经隐含在基本条件下了。
#### 3. 反证法证明性质
考虑到给定区间内的整数值特性,通过反证法可得出结论——即若存在某个符合条件的整数\(x(\sqrt{n}<x≤n)\),则必然有对应的另一个整除关系也成立;反之亦然。然而由于前提假设中的矛盾点,从而证实了原命题的真实性[^2]。
#### 4. 应用于具体实例
以XTU-OJ 1377为例,该题要求计算函数\(g(a,b)=∑_{i=a}^{b}f(i)\),其中\(f(n)\)代表正整数\(n\)的不同质因数的数量。基于此需求,可以通过预先构建一个小于等于上限值的所有可能质数列表,并利用快速筛选技术来高效完成查询操作[^4]。
```cpp
#include <iostream>
using namespace std;
const int MAXN = 1e8 + 5;
bool isPrime[MAXN];
int primeCnt[MAXN], cnt;
void sieve() {
fill(isPrime, isPrime + MAXN, true);
isPrime[0] = isPrime[1] = false;
for (long long i = 2; i * i < MAXN; ++i)
if (isPrime[i])
for (long long j = i * i; j < MAXN; j += i)
isPrime[j] = false;
}
// 计算单个数目的不同质因数数量
int countDistinctPrimes(int n){
int res = 0;
while (!isPrime[n]){
if (!(n % 2)){
++res;n /= 2;
continue;
}
for(long long d = 3;d*d<=n;d+=2){
if(!(n%d)){++res;n/=d;break;}
}
}
return n>1?res+1:res;
}
```
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