输入一个正整数n（n≤200），计算序列1×2+2×3+3×4+…n×(n+1)的和。用c语言

<think>好的，我现在需要解决用户的问题：输入一个正整数n（n≤200），计算序列1×2 + 2×3 + 3×4 + … + n×(n+1)的和，用C语言实现。我得仔细分析这个问题，确保自己正确理解用户的需求，并找到合适的解决方法。 首先，我得明确这个序列的结构。每一项都是k乘以(k+1)，k从1到n。比如当n=3时，和就是1×2 + 2×3 + 3×4 = 2 + 6 + 12 = 20。所以关键是如何高效地计算这个累加和。 接下来，我需要考虑可能的计算方法。最直接的方法是使用循环，从1到n遍历每个数，计算k*(k+1)并累加到总和中。这种方法的时间复杂度是O(n)，对于n≤200来说完全没问题，不会有性能问题。 不过，有没有更优化的数学公式可以简化计算呢？有时候数学公式能避免循环，提高效率，特别是当n非常大的时候。虽然用户给定的n范围较小，但用公式可能代码更简洁，也体现出对数学的理解。 让我试着推导一下这个序列的和的公式。每一项k*(k+1)可以展开为k² + k。所以整个和就是Σ(k=1到n)(k² + k) = Σk² + Σk。已知Σk从1到n的和是n(n+1)/2，Σk²的和是n(n+1)(2n+1)/6。所以总和应该是这两个公式的和： 总和 = n(n+1)(2n+1)/6 + n(n+1)/2 可以将这两个式子合并，提取公因数n(n+1)/2： 总和 = n(n+1)/2 [ (2n+1)/3 + 1 ] 继续化简： (2n+1)/3 + 1 = (2n+1 + 3)/3 = (2n+4)/3 = 2(n+2)/3 所以总和 = n(n+1)/2 * 2(n+2)/3 = n(n+1)(n+2)/3 哦，原来这个序列的和可以简化为n(n+1)(n+2)/3。这样的话，不管用循环还是公式都能得到结果，但公式法显然更高效，尤其是当n很大时。 现在，我需要考虑用户的需求，用户可能希望看到两种方法的实现，或者其中一种。不过用户要求的是用C语言编写，所以需要根据输入n，计算这个和。 接下来，我需要确定用哪种方法来实现。两种方法都可以，但为了展示不同的思路，或许在代码中同时展示两种方法更好？不过用户可能只需要一种解法，所以需要根据用户的问题来判断。用户的问题中没有特别说明，所以可能只需要一种正确的解法即可。但为了全面性，或许可以在代码中实现两种方法，并验证结果是否一致，这样能确保正确性。 不过，用户可能希望得到一个简洁的代码，所以可能只需要其中一种方法。让我再仔细看一下用户的问题：“输入一个正整数n（n≤200），计算序列1×2+2×3+3×4+…n×(n+1)的和。用c语言” ——用户可能希望得到直接的循环解法，或者更高效的公式解法。所以作为回答，应该提供两种可能的解法，并解释它们的优劣。 但可能用户更倾向于简单易懂的循环方法，特别是对于编程新手来说，循环更容易理解。而公式法则需要数学推导，可能更适合进阶的解答。因此，在回答中可以给出两种方法，并说明其原理，让用户根据自己的需求选择。 不过，用户可能只需要其中一种，比如循环法，因为更直观。那现在需要编写对应的C代码。 首先，我需要处理输入。用户需要输入n，所以使用scanf函数读取整数n。需要注意的是，n的范围是≤200，所以在代码中应该添加判断，确保输入有效，否则可能提示错误。不过用户的问题可能没有严格要求处理错误输入，但最好加上，以增强程序的健壮性。 然后，计算和。如果用循环的方法，那么初始化sum为0，然后循环k从1到n，每次加上k*(k+1)。例如： int sum = 0; for(int k=1; k<=n; k++){ sum += k*(k+1); } 如果用公式法，则直接计算n*(n+1)*(n+2)/3。例如： int sum = n*(n+1)*(n+2)/3; 需要注意的是，当n较大时，比如200，n*(n+1)*(n+2)可能会超过int的范围，导致溢出。例如，当n=200时，计算结果是200*201*202=200*201=40200，40200*202=40200*200 + 40200*2 =8,040,000 +80,400=8,120,400。然后除以3得到8,120,400/3=2,706,800。而int类型的范围通常是-2^31到2^31-1（即-2147483648到2147483647），所以2,706,800远小于这个范围，所以int足够存储。因此，对于n≤200，用int不会有溢出问题。 但为了代码的严谨性，可能应该用long类型来确保更大的n时的正确性，不过根据题目给出的n≤200，int足够。 现在，编写代码的大致步骤是： 1. 读取n，检查是否在1到200之间，否则提示错误。 2. 计算和，使用循环或公式。 3. 输出结果。 例如，用循环的代码： #include <stdio.h> int main() { int n; printf("请输入一个正整数n（n≤200）："); scanf("%d", &n); if(n <1 || n>200){ printf("输入无效，n应为1到200之间的整数。\n"); return 1; } int sum =0; for(int k=1; k<=n; k++){ sum += k*(k+1); } printf("和为：%d\n", sum); return 0; } 或者用公式法： #include <stdio.h> int main() { int n; printf("请输入一个正整数n（n≤200）："); scanf("%d", &n); if(n <1 || n>200){ printf("输入无效，n应为1到200之间的整数。\n"); return 1; } int sum = n*(n+1)*(n+2)/3; printf("和为：%d\n", sum); return 0; } 两种方法都可以得到正确的结果。但需要测试几个例子来验证是否正确。 例如，当n=1时，和应为1×2=2，用公式法：1×2×3/3=6/3=2，正确。n=2时，1×2 +2×3=2+6=8，公式法2×3×4/3=24/3=8，正确。n=3时，2+6+12=20，公式法3×4×5/3=60/3=20，正确。因此两种方法都正确。 在回答中，可以展示两种方法，并解释它们的原理，这样用户可以根据需要选择。同时，解释数学公式的推导过程，帮助用户理解背后的数学原理，这样更有助于学习。 总结步骤： 1. 输入n，并验证有效性。 2. 计算和，循环累加或公式计算。 3. 输出结果。 在代码中，需要注意输入输出的格式，以及错误处理。对于用户来说，一个健壮的程序会更友好，所以即使题目中没有要求，加上输入验证也是一个好习惯。 因此，最终的答案应该包含这两种方法的代码示例，并解释它们的原理和差异，让用户了解不同方法的优缺点。例如，循环法直观，适合小范围的n；公式法高效，适用于大范围的n，并且可以避免循环的开销。</think>以下是计算序列 $1 \times 2 + 2 \times 3 + \dots + n \times (n+1)$ 的C语言实现，包含两种方法及详细解析： --- ### 方法一：循环累加法（直观易懂） ```c #include <stdio.h> int main() { int n; printf("请输入正整数n（n≤200）: "); scanf("%d", &n); // 输入验证 if (n < 1 || n > 200) { printf("输入错误！n需在1~200之间\n"); return 1; } int sum = 0; for (int k = 1; k <= n; k++) { sum += k * (k + 1); // 逐项累加 } printf("和为: %d\n", sum); return 0; } ``` #### 特点： - **直接模拟计算过程**，适合理解循环逻辑。 - 时间复杂度为 $O(n)$，对 $n \leq 200$ 完全可行。 --- ### 方法二：数学公式法（高效简洁） 序列和可简化为公式： $$ \text{sum} = \frac{n(n+1)(n+2)}{3} $$ ```c #include <stdio.h> int main() { int n; printf("请输入正整数n（n≤200）: "); scanf("%d", &n); if (n < 1 || n > 200) { printf("输入错误！n需在1~200之间\n"); return 1; } int sum = n * (n + 1) * (n + 2) / 3; // 公式直接计算 printf("和为: %d\n