题目描述 在一条数轴上有 𝑛 n 家商店，它们的坐标分别为 𝑎 1 a 1 ​ 到 𝑎 𝑛 a n ​ 现在需要在数轴上建立一家货仓，每天清晨，从货仓到每家商店都要运送一车商品。根据运送的距离和商品的重量，所需的运费也不一样。向距离 𝑑 d 公里的地方运送 𝑊 W 公斤的商品所需的运费是 𝑊 × 𝑑 W×d。 运送到第 𝑖 i 家商店的商品的重量是 𝑤 𝑖 w i ​ 。 为了提高效率，求把货仓建在何处，可以使得运送所有商品所需运费之和最小。 【输入格式】 第一行输入整数 𝑛 n。 第二行 𝑛 n 个整数 𝑎 1 a 1 ​ 到 𝑎 𝑛 a n ​ 第三行 𝑛 n 个整数 𝑤 1 w 1 ​ 到 𝑤 𝑛 w n ​ 【输出格式】 输出一个整数，表示运费之和的最小值。 【输入输出样例#1】 输入#1 复制 4 6 2 9 1 1 2 3 4 输出#1 复制 29 【数据范围】 1 ≤ 𝑁 ≤ 100000 , 1 ≤ 𝑎 𝑖 ≤ 1 0 6 , 1 ≤ 𝑤 𝑖 ≤ 1 0 6 1≤N≤100000,1≤a i ​ ≤10 6 ,1≤w i ​ ≤10 6

<think>嗯，这个问题看起来像是一个优化问题，要求找到一个货仓的位置，使得总运费最小。总运费的计算方式是各个商店的权重乘以距离之和。那么，我得仔细想想怎么找到这个最优的位置。 首先，我得回忆一下类似的问题。比如，当所有权重w_i相等时，货仓应该建在中位数的位置，这样可以使得总距离最小。那如果权重不同的话，可能还是和中位数有关，或者需要某种加权中位数的位置？ 题目中的运费总和是Σ(w_i * |x - a_i|)，其中x是货仓的位置。要让这个总和最小，应该找到x使得这个函数取得最小值。这个时候，我需要考虑这个函数的性质。绝对值函数的和的最小值通常出现在中位数位置，但是加上权重后，可能得找加权中位数。 那加权中位数的定义是什么？应该是满足前面累计权重不超过总和的一半，后面也是一样的情况的那个点。例如，将点按坐标排序后，计算前缀和直到刚好超过总权重的一半，那么这个位置可能就是最优解。 那具体来说，处理步骤应该是这样的： 1. 将所有的商店按照坐标a_i从小到大排序。 2. 同时，对应的权重w_i也要按照a_i的顺序排列。 3. 计算总权重sum_w = Σw_i。 4. 然后，遍历排序后的数组，累加权重，直到找到第一个位置k，使得前k个权重的和 >= sum_w / 2。此时，这个位置的a_k就是最优的货仓位置。 例如，假设总权重是sum_w，我们需要找到最小的k，使得前k个的权重之和大于等于sum_w的一半。这个时候，货仓应该建在a_k的位置。这可能就是加权中位数的位置。 然后，计算总运费的时候，只需要将所有商店的w_i乘以到a_k的绝对距离之和即可。 那这样的话，算法的大致步骤是： - 输入n，然后输入a数组和w数组。 - 将a和w按照a的值从小到大排序。 - 计算sum_w的总和。 - 遍历排序后的数组，累加权重，找到第一个位置k，使得累积的权重超过sum_w的一半。 - 货仓的位置x就是a[k]。 - 然后计算总运费：遍历所有商店，计算w_i * |x - a_i|的总和。 但这里需要注意的是，sum_w可能是奇数，或者刚好是某个中间值。例如，当总权重是偶数时，可能会有多个中间点需要考虑。不过根据加权中位数的定义，只要满足前k的累计权重大于等于总权重的一半即可，所以只需要找到第一个这样的k即可。 那现在考虑代码实现的问题。对于n的范围是1e5，所以必须用O(n log n)的排序算法。排序的时候需要将a数组和对应的w数组一起排序。可以用一个结构体或者pair来存储，然后排序。 例如，可以创建一个结构体数组，每个元素包含a_i和w_i，然后按a_i排序。或者，可以将a和w分别存储为两个数组，然后根据a的值进行排序，同时对两个数组进行排序。不过更有效的方式可能是一个结构体数组，这样可以同时处理两者的排序。 排序之后，计算总权重sum_w。然后遍历结构体数组，累加权重，直到总和超过sum_w / 2。这时候，货仓的位置就是当前元素的a_i。然后计算总运费。 比如，假设总权重sum_w是100，那么要找的k是累加权重到至少50的位置。这时候，这个位置对应的a_i就是最优的位置。 那么，具体怎么处理这种情况？ 举个例子，假设排序后的结构体数组元素是： (a1, w1), (a2, w2), ..., (an, wn)，其中a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ an。 然后，计算sum_w = w1 + w2 + ... + wn。需要找到最小的k，使得w1 + w2 + ... + wk >= sum_w / 2。 这个k对应的a_k就是最优位置。因为这个时候，前面的权重刚好超过总权重的一半，这样货仓的位置放在这里可以使得总距离的加权和最小。 那代码的大致结构是： struct Store { int a; int w; }; 然后，将结构体数组按a排序。然后计算sum_w，然后遍历数组，累加w，直到超过sum_w / 2。然后选当前的a作为x。 然后计算总运费，遍历每个元素，计算w_i * |x - a_i|的总和。 那这样的时间复杂度是O(n log n) + O(n) = O(n log n)，对于n=1e5来说是可行的。 那现在，测试一下样例输入： 输入#1： 4 6 2 9 1 → a数组是[6,2,9,1]，排序后应该是按a从小到大排，所以排序后的顺序是1,2,6,9。对应的w数组是输入的第三行：1,2,3,4 → 但是原输入的顺序是第三行的四个数是w1到w4对应的a1到a4的顺序。原输入的a数组是6,2,9,1，对应的w数组是1,2,3,4。所以，当按照a排序后，结构体数组应该是： a=1，w=4； a=2，w=2； a=6，w=1； a=9，w=3. 然后sum_w =4+2+1+3=10。sum_w /2=5。要找第一个k使得前k个的w之和 >=5。 前1个w是4，4<5； 前2个是4+2=6 >=5，所以k=2。对应的a是2的位置。此时货仓的位置是2吗？ 但样例输出是29。那么计算总运费的话，当x=2的时候，各点的距离是： 商店1：a=1，距离1，w=4 →4*1=4； 商店2：a=2，距离0 →2*0=0； 商店3：a=6，距离4 →1*4=4； 商店4：a=9，距离7 →3*7=21； 总和4+0+4+21=29，与样例输出一致。所以这说明我们的思路是正确的。 这说明，当找到这个加权中位数的位置时，确实能得到正确的结果。 那么，现在如何正确实现这个算法？ 步骤如下： 1. 读取n，读取a数组，读取w数组。 2. 将a数组和对应的w数组组合起来，按a从小到大排序。 3. 计算总权重sum_w。 4. 找前缀和刚好超过sum_w / 2的位置k。 5. 货仓的位置x是排序后的第k个a。 6. 计算总运费：遍历所有商店，累加w_i * |x - a_i|。 需要注意的点： - sum_w可能很大，需要用long long类型来存储，否则可能会溢出。 - 在排序时，必须将a和w一起排序，按照a的顺序。 - 找k的时候，需要累加前缀，直到总权重 >= sum_w / 2。这里sum_w如果是偶数的话，sum_w/2可能刚好是整数，或者如果是奇数的话，sum_w//2可能取整数部分。比如sum_w是10的话，sum_w/2=5，那么累加到>=5的位置即可。如果是sum_w是9，sum_w/2=4.5，那么找累加到>=4.5的位置。 但代码中，如何处理sum_w的一半呢？因为sum_w是整数，sum_w//2可能不是正确的分界点。例如，sum_w是9时，sum_w的一半是4.5，这时候要找前缀和>=4.5的最小k。 所以在代码中，sum_half = sum_w / 2.0吗？或者是否需要处理为浮点数？或者在累加的时候，用整数判断？ 比如，sum_w是10，sum_half是5，累加前缀到6的时候，才停止，此时对应的a是第二个元素。例如，在前面的例子，sum_w=10，sum_half=5。前缀和是4（第一个元素）的时候不够，加上第二个元素的2得到6，这时候总和已经>=5，所以k是第二个元素的位置。 另一个例子，sum_w=9，sum_half=4.5。此时前缀和到4的时候不够，需要继续找，直到总和>=4.5。比如，假设排序后的w是3和1，sum_w=4。sum_half=2。前缀和3 >=2，所以k是第一个元素。但如果sum_w=5，sum_half=2.5，如果前缀是2的话不够，需要到下一个元素总和超过2.5。 所以在代码中，需要将sum_half计算为sum_w的总和除以2，可能要用浮点数，或者我们可以用整数的方式处理，比如判断是否总和的两倍大于等于sum_w的总和？ 或者，可以把总和乘以0.5，进行比较。这个时候，可以将sum_half计算为总和的一半，使用浮点数。 但在编程中，为了避免浮点数的精度问题，可以采用整数比较的方法。例如，寻找第一个位置k，使得前缀和的两倍 >= sum_w。这可能更高效，且避免了浮点数问题。 例如，假设总权重是sum_w。sum_half是sum_w / 2。当sum_w是偶数时，比如sum_w=10，sum_half=5。如果前缀和达到5，则满足条件。或者，当sum_w是奇数时，比如sum_w=9，sum_half=4.5，则前缀和需要>=5才能满足条件。这时候，可以转化为判断前缀和 *2 >= sum_w。因为： 对于sum_w是偶数，sum_w=2h，则前缀和>=h的条件等价于前缀和*2 >= sum_w. 对于sum_w是奇数，sum_w=2h+1，sum_half是h+0.5。此时，前缀和>=h+0.5的条件等价于前缀和>h，即前缀和 >=h+1。这同样等价于前缀和*2 >= sum_w。例如，sum_w=9，sum_w=2h+1 →h=4。前缀和>=5时满足条件。5*2=10 >=9。而前缀和是5的时候满足条件。所以，判断前缀和*2 >= sum_w可以避免浮点数运算，直接用整数处理。 所以在代码中，我们可以这样处理： sum_w是总权重。然后遍历结构体数组，累加前缀和prefix。当prefix *2 >= sum_w时，此时的位置k就是目标位置。这样无需处理浮点数，更高效和准确。 这可能更有效，尤其是在处理大整数时，可以避免浮点数的精度问题。 所以，在代码中，可以这样做： 计算sum_w = accumulate所有w_i的值。然后遍历排序后的数组，累加prefix，直到找到第一个k，使得prefix * 2 >= sum_w。这时候，货仓的位置就是a[k]。 这样处理是正确的吗？ 比如，假设sum_w=10，sum_w是10。那么，当prefix是5时，5*2=10 ==10 →满足条件。所以当累加到5的时候，k就是这个位置。但是在前面的例子中，总权重是10，第一个满足条件的k是第二个元素，其前缀和是4+2=6？或者原例中的sum_w是10？ 原例中的sum_w是4+2+1+3=10。排序后的结构体数组是： a=1, w=4 →prefix=4 →4*2=8 <10 →不满足。 第二个元素a=2，w=2 →prefix=6 →6*2=12 >=10 →满足。所以k是第二个元素的位置，即a=2。这与之前的例子是正确的。 再举一个例子，sum_w=9。假设排序后的结构体数组的w依次是3、3、3。sum_w=9。sum_w*2=9*2=18。要找prefix*2 >=9的条件等价于prefix>=4.5。即当prefix=5的时候满足条件。在这种情况下，结构体数组的第三个元素的w是3。prefix依次是3、6、9。当遍历到第二个元素时，prefix=6。6*2=12 >=9 →满足条件。所以k是第二个元素的位置，对应的a是第二个元素的a值。 这似乎正确，因为此时总权重的前两个元素的总和是6，超过4.5，所以货仓的位置应选在第二个元素的a处。 那这说明，这种方法是正确的。 所以，代码的思路是： 将结构体数组按a排序，然后累加前缀w，直到找到第一个k，使得前缀和的两倍 >=总权重sum_w。这时候的a[k]就是最优的位置。 那么，现在代码的结构： 读取n，然后读取a数组，然后读取w数组。将它们组合成结构体数组，然后按a排序。然后计算sum_w。然后遍历结构体数组，累加prefix，直到找到第一个k，使得prefix *2 >= sum_w。然后取a[k]作为货仓的位置。然后计算总运费。 那代码的编写需要注意以下几点： 1. 结构体的排序是否正确。 2. 处理大数的问题，比如sum_w可能达到1e5 *1e6=1e11，所以需要用long long类型。 3. 在累加前缀的时候，初始prefix=0，然后依次加上每个元素的w_i，每次判断是否满足条件。一旦满足条件，就break，并记录此时的a值。 现在，编写代码： 例如，用C++的话： #include <iostream> #include <vector> #include <algorithm> using namespace std; struct Store { int a; int w; }; bool compare(const Store &s1, const Store &s2) { return s1.a < s2.a; } int main() { int n; cin >> n; vector<Store> stores(n); for (int i = 0; i < n; ++i) { cin >> stores[i].a; } for (int i = 0; i < n; ++i) { cin >> stores[i].w; } sort(stores.begin(), stores.end(), compare); long long sum_w = 0; for (const auto &s : stores) { sum_w += s.w; } long long prefix = 0; int x = 0; for (const auto &s : stores) { prefix += s.w; if (prefix * 2 >= sum_w) { x = s.a; break; } } long long total = 0; for (const auto &s : stores) { total += (long long)s.w * abs(s.a - x); } cout << total << endl; return 0; } 测试样例输入： 4 6 2 9 1 →排序后的顺序是1、2、6、9，对应的w是4、2、1、3。sum_w=4+2+1+3=10. prefix依次是4 →4*2=8 <10 →继续； 4+2=6 →6*2=12 >=10 →x=2。计算总和： 各商店的a和w： 1:4* (1-2)=4*1=4 2:2*(2-2)=0 6:1*(6-2)=4 9:3*(9-2)=21 →总和4+0+4+21=29，正确。 那代码是正确的。 另一个测试用例，比如n=1的情况： 输入： 1 5 10 输出应该是0，因为货仓就建在5的位置。运费总和是0。代码会正确计算。 另一个情况，比如n=2，a1=1，a2=3，w1=1，w2=1。sum_w=2。要找prefix >=1的位置。第一个元素prefix=1 >=1 →x=1。运费总和是0 + (3-1)*1=2。或者，是否最优解在x=2？此时总和是1*(1-2) +1*(3-2) →1+1=2。一样。所以此时无论选1或3的位置，总运费都是2。或者选中间的位置，总运费也是2。那这说明代码在这种情况下可能选第一个元素的位置，或者第二个？比如，当sum_w=2，sum_w*2=4。prefix=1*2=2 <4？不，当n=2，sum_w=2，prefix的条件是prefix*2 >= sum_w →prefix >=1。所以在第一个元素时prefix=1，满足条件，所以x=1。总运费是0+ (3-1)*1=2。但是如果货仓选在中间位置比如2，总运费是1*1 +1*1=2，同样的结果。这时候，可能存在多个最优解，但代码选择第一个满足条件的点。 所以在这种情况下，代码的输出是否正确？是的，因为总运费是相同的。所以只要任意选一个最优解即可，而题目只要求输出最小的总运费的值。 综上，代码是正确的。</think>要解决货仓位置选择问题，需要找到使总运费最小的位置。总运费为各商店权重与到货仓距离乘积之和。最优解对应于加权中位数的位置。以下是解决方案： ### 解决思路 1. **排序商店位置**：将商店按坐标从小到大排序，同时保持对应权重的顺序。 2. **计算总权重**：求所有权值的总和。 3. **寻找加权中位数**：遍历排序后的商店，累加权重直到总和的2倍超过总权重。此时的位置即为最优货仓位置。 4. **计算总运费**：遍历所有商店，累加各店权重与到货仓距离的乘积。 ### 代码实现 ```cpp #include <iostream> #include <vector> #include <algorithm> using namespace std; struct Store { int a; int w; }; bool compare(const Store &s1, const Store &s2) { return s1.a < s2.a; } int main() { int n; cin >> n; vector<Store> stores(n); for (int i = 0; i < n; ++i) { cin >> stores[i].a; } for (int i = 0; i < n; ++i) { cin >> stores[i].w; } sort(stores.begin(), stores.end(), compare); long long sum_w = 0; for (const auto &s : stores) { sum_w += s.w; } long long prefix = 0; int x = 0; for (const auto &s : stores) { prefix += s.w; if (prefix * 2 >= sum_w) { x = s.a; break; } } long long total = 0; for (const auto &s : stores) { total += (long long)s.w * abs(s.a - x); } cout << total << endl; return 0; } ``` ### 解释 - **排序**：确保商店按坐标有序，便于处理权重累积。 - **总权重计算**：确定中位数所需的累积阈值。 - **加权中位数查找**：通过累加权重找到满足条件的位置，确保该点分割权重为两半，使总距离最小。 - **运费计算**：基于最优位置，累加各店的运费。