1.简述分治法的基本思想和求解步骤 2.在一个由元素组成的表中,出现次数最多的数为众数。试写一个寻找众数的算法,并分析其计算复杂性。 3.用快速排序算法对如下数据进行排序(45,23,65,57,18,2,90,84,12,76)说明划分方法的具体过程。 4.应用分治法完成下面的整数乘法计算:2348*3825。
时间: 2025-03-31 15:10:24 浏览: 20
### **1. 简述分治法的基本思想和求解步骤**
**基本思想:**
分治法是一种重要的算法设计策略,通过将一个问题分解成若干个小规模的同类问题分别求解,然后合并子问题的结果得到原问题的答案。其核心在于“分而治之”,即把大问题拆分为小问题解决。
**求解步骤:**
1. **分解 (Divide)** - 将原问题划分为更小、相互独立的子问题。
2. **递归 (Conquer)** - 对每个子问题递归地调用相同的算法来求解。
3. **合并 (Combine)** - 合并所有子问题的解,最终形成整个问题的完整解答。
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### **2. 寻找众数的算法及复杂度分析**
#### **算法描述:**
假设输入是一个数组`arr[]`长度为n,目标是找到出现次数最多的元素及其频率:
```python
def find_mode(arr):
freq = {}
for num in arr: # 遍历一次统计频次 O(n)
if num in freq:
freq[num] += 1
else:
freq[num] = 1
max_freq = 0
mode = None
for key, value in freq.items(): # 再遍历哈希表查找最大值 O(k),k <= n
if value > max_freq:
max_freq = value
mode = key
return mode, max_freq
```
#### **时间复杂度分析:**
- 第一步构建字典需要O(n)的时间;
- 第二步查询字典的最大键值也需要最多O(n);
- 因此总时间为**O(n + k)=O(n)** (其中k代表唯一数字的数量)
#### **空间复杂度:**
由于存储了每种数值对应的计数器,因此空间消耗也是线性的——即**O(n)**.
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### **3. 使用快速排序对给定数据排序的过程详解**
待排列表为:`[45, 23, 65, 57, 18, 2, 90, 84, 12, 76]`, 这里采用第一个元素作为基准点(pivot).
**第一轮划分:选取pivot=45**
- 比较小于等于45的部分放到左边;大于45部分放右边.
结果分割后的序列变为:
左半区 `[23, 18, 2, 12], pivot [45], 右半区 [65, 57, 90, 84, 76]`.
接下来继续处理两个分区...
反复迭代直到各区间只剩下一个或零个元素为止。最后拼接起所有的有序片段即可获得完全排序好的数组。
全过程大致展示如下图所示:

总体时间效率取决于如何选择枢纽元以及原始数据分布情况平均状况下大约耗费 Θ(N log N ) 的比较操作量最坏情形则会退化至Θ(N² ).
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### **4. 应用分治法完成整数乘法计算示例**
题目给出两数分别为x=2348 和 y=3825 ,我们尝试利用Karatsuba算法简化乘积运算速度。
首先表示X,Y形式上均分成左右两位:
\[ x_L = floor(x / 10^m),\; x_R=x \% 10^m,\quad m=floor(len(str(max(x,y)))/2)\]
于是有\(x_{L}=23\) , \(x_{R}=48;\;y_{L}=38,\;y_{R}=25.\]
按照公式展开后得到三项相加构成结果表达式:
\[ xy=(10^{2m}) \cdot x_L \cdot y_L+(10^m)((x_L+x_R)(y_L+y_R)-x_L \cdot y_L-x_R \cdot y_R)+(x_R \cdot y_R). ]
接着逐一算出各项系数项代入回溯回去累加起来得出最终答案。
实际运行效果比传统竖直方式快很多尤其针对超长位数情况下优势明显体现出来!
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