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一阶低通滤波器z域传函

时间: 2025-02-09 14:02:08 浏览: 112

### 一阶低通滤波器在Z域的传递函数对于连续时间领域内的一阶低通滤波器，其传递函数可以表示为： \[ G(s) = \frac{Y(s)}{X(s)} = \frac{\omega_c}{s + \omega_c} \] 其中 $ \omega_c $ 是角频率，在给定的情况下为1000 rad/s[^1]。当转换到离散时间系统（即数字信号处理），通常采用双线性变换法将S平面映射至Z平面上。该方法通过以下关系完成： \[ s = \frac{2}{T_s}\left(\frac{z-1}{z+1}\right), \quad T_s=\text{sampling period} \] 应用上述变换于连续系统的传递函数上，则得到对应的Z域表达式: \[ H(z)=\frac{(1+a^{-1})/(1+a)}{(z-a)/(z+1)}, a=e^{Ts/Tau}, Tau=1/(\omega_c)\] 简化后的标准形式是一阶IIR (无限脉冲响应) 数字滤波器模型, 可写作： \[ H(z) = \frac{b_0+b_1 z^{-1}}{1+a_1 z^{-1}} \] 这里， \[ b_0=b_1=(1-\alpha)/2,\; a_1=-\alpha ,\;\alpha=\exp(-\Delta t/\tau ) \] 而 $ \Delta t $ 表示采样间隔，$ \tau $ 则代表时间常量，等于 $ 1 / (\omega_c) $[^3]。为了更直观理解这个过程以及验证所得结果，可以通过MATLAB编写一段简单的脚本来模拟此行为并绘制相应图形[^2]: ```matlab % 参数设定 fs = 8000; % Sampling frequency fc = 1000; % Cutoff frequency [b,a]=butter(1, fc/(fs/2)); % 频率响应计算 [h,f]=freqz(b,a,[],fs); figure; plot(f,abs(h)); xlabel('Frequency(Hz)'); ylabel('Magnitude'); title('Digital Lowpass Filter Frequency Response'); grid on; disp(['Filter Coefficients:']); disp(['Numerator coefficients (B): ', num2str(b)]); disp(['Denominator coefficients (A): ',num2str(a)]); ```

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