数状数组求逆序对的时间复杂度

### 使用树状数组求解逆序对问题的时间复杂度分析 #### 背景介绍 树状数组（Fenwick Tree）是一种支持动态修改和查询操作的数据结构，其核心功能是对数列进行单点更新以及区间查询。通过这些特性，它可以被用来高效地解决许多涉及前缀和的问题，其中包括 **逆序对的计算**。 #### 时间复杂度分析 在使用树状数组求解逆序对问题时，主要的操作分为两部分： 1. 对树状数组执行 `update` 操作以反映当前元素的影响； 2. 执行 `query` 操作以统计小于某个特定值的数量。 每一步的具体时间复杂度如下： - 单次 `update` 和 `query` 的时间复杂度均为 \( O(\log n) \)[^1]。 - 遍历整个输入序列中的每一个元素并对其调用上述两个操作，则总共有 \( 2n \) 次这样的基本操作[^4]。 由于每次操作都是独立完成且具有相同的渐近复杂度，整体算法的时间复杂度为： \[ T(n) = O(2n \cdot \log n) = O(n \cdot \log n). \] 这表明该方法能够在合理时间内处理较大规模数据集，例如当 \( n=50,000 \) 或更大时仍能保持效率[^2]。 #### 实现细节说明 以下是基于 C++ 编写的典型代码片段展示如何利用树状数组来有效计算逆序对数量: ```cpp #include <bits/stdc++.h> using namespace std; // 定义最大数值范围 const int MAXN = 1e6 + 7; int BITree[MAXN]; void update(int idx, int val){ while(idx<MAXN){ BITree[idx]+=val; idx += (idx & (-idx)); } } int query(int idx){ int sum=0; while(idx>0){ sum+=BITree[idx]; idx -= (idx &(-idx)); } return sum; } vector<int> compress(vector<int>& nums){ vector<int> sorted_nums(nums); sort(sorted_nums.begin(),sorted_nums.end()); auto it = unique(sorted_nums.begin(),sorted_nums.end()); sorted_nums.erase(it,sorted_nums.end()); for(auto& num :nums ){ num = lower_bound(sorted_nums.begin(),sorted_nums.end(),num)-sorted_nums.begin()+1 ; } return nums; } long long countInversionsUsingBIT(const vector<int>& nums){ memset(BITree,0,sizeof(BITree)); vector<int> compressedNums =compress((vector<int>)nums); long long inversions=0; for(int i=(int)(compressedNums.size()-1);i>=0;i--){ int current_val=compressedNums[i]; // 查询比current_val小的数目 inversions += query(current_val -1 ); // 更新树状数组 update(current_val ,1 ); } return inversions; } ``` 此代码实现了完整的压缩映射过程，并展示了如何逐步构建树状数组从而精确记录每个位置上的贡献情况。 #### 结论 综上所述，采用树状数组的方法能够有效地将原本可能达到平方级别的暴力枚举方案优化至线性对数级别——即 \( O(n \cdot \log n) \)，极大地提升了大规模数据场景下的性能表现[^3]。