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机器视觉刚体变换公式

时间: 2025-06-19 14:53:26 浏览: 13

### 机器视觉中的刚体变换公式在机器视觉领域，刚体变换是描述两个坐标系之间关系的基本工具。刚体变换通常由旋转矩阵 \( R \) 和平移向量 \( T \) 组成[^1]。假设一个点 \( P \) 在原坐标系中的位置为 \( P_1 \)，在目标坐标系中的位置为 \( P_2 \)，那么刚体变换可以表示为： ```math P_2 = R \cdot P_1 + T ``` 其中： - \( R \) 是一个 \( 3 \times 3 \) 的正交矩阵，满足 \( R^T \cdot R = I \) 且 \( \det(R) = 1 \)[^1]。 - \( T \) 是一个 \( 3 \times 1 \) 的平移向量[^1]。为了简化计算和表达，刚体变换常被写成齐次坐标的形式。在这种形式下，变换可以表示为一个 \( 4 \times 4 \) 的矩阵 \( H \)，定义如下： ```math H = \begin{bmatrix} R & T \\ 0 & 1 \end{bmatrix} ``` 齐次坐标下的点 \( P_1 \) 可以表示为 \( [x, y, z, 1]^T \)，经过刚体变换后得到的点 \( P_2 \) 为： ```math P_2 = H \cdot P_1 ``` 这种表示方法的优势在于能够将旋转和平移统一到一个矩阵中，便于进行多次变换的级联操作。在实际应用中，例如计算机视觉中的相机标定或三维重建，刚体变换用于描述相机坐标系与世界坐标系之间的关系[^2]。通过求解旋转矩阵和平移向量，可以实现对物体的识别、跟踪和测量。 ```python import numpy as np # 定义旋转矩阵 R 和平移向量 T R = np.array([[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]]) T = np.array([1, 2, 3]) # 构造齐次变换矩阵 H H = np.hstack((R, T.reshape(3, 1))) H = np.vstack((H, np.array([0, 0, 0, 1]))) # 原始点 P1 P1 = np.array([1, 2, 3, 1]).reshape(4, 1) # 计算变换后的点 P2 P2 = H @ P1 print("变换后的点 P2:", P2) ```

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