实验 1 线性结构及其应用 （以下 3 个实验项目，三选一） ------------------------------------------------------------------------------------------------------- 实验项目 1：栈结构及其应用 实验题目：算术表达式求值（算术表达式计算器） 实验内容： 表达式求值是实现程序设计语言的基本问题之一，也是栈的应用的一个典 型例子。一个算术表达式是由操作数（operand）、运算符（operator）和界限符 （delimiter）组成的。假设操作数是正整数，运算符只含加减乘除等四种二元 运算符，界限符号包括左右括号和表达式起始、结束符“#”，如：#（7+15）* （23-28/4）#。引入表达式起始、结束符是为了方便。设计一个程序，演示算 术表达式求值的过程。 实验要求： 1. 从文本文件输入任意一个语法正确的（中缀）表达式，显示并保存该表达式。 2. 利用栈结构，把（中缀）表达式转换成后缀表达式，并以适当的方式展示栈 的状态变化过程和所得到的后缀表达式。 3. 利用栈结构，对后缀表达式进行求值，并以适当的方式展示栈的状态变化过 程和最终结果。 4. 选做：将操作数类型扩充到实数、扩充运算符集合，并引入变量操作数，来 完成表达式求值。 5. 选做：设计和实现结合 2 和 3 的“算法优先法”。

<think>好的，我需要解决用户关于如何用栈结构将中缀表达式转换为后缀表达式并进行求值的问题。首先，我得回忆一下中缀转后缀的算法步骤，以及如何利用栈来实现这个过程。然后，还要考虑如何通过后缀表达式进行求值，这也是需要栈的参与的。 首先，中缀表达式转后缀表达式，我记得是使用一个操作符栈和一个输出队列或列表。需要处理操作符的优先级和括号的情况。比如，遇到操作数就直接输出，遇到左括号入栈，遇到右括号则弹出栈内元素直到左括号，并且左括号不输出。对于操作符，需要比较栈顶的优先级，如果当前操作符的优先级小于或等于栈顶的，则弹出栈顶并输出，直到栈顶优先级更低或栈空，再将当前操作符入栈。 然后，后缀表达式求值的话，需要一个操作数栈。遍历后缀表达式，遇到数字就入栈，遇到操作符则弹出栈顶的两个元素进行计算，并将结果入栈，直到最后栈中只剩一个结果。 接下来，我需要确保这些步骤正确无误，并且用中文清晰地表述出来。同时，用户提到要参考之前的引用内容，即关于栈的应用在中缀转后缀和求值过程中的作用，需要适当引用。 可能还需要考虑一些边界情况，例如处理多位数、小数的情况，或者如何处理括号不匹配的错误。但在基础实现中，可能暂时不需要处理这些复杂情况，重点放在算法流程上。 然后，用户需要具体的步骤和代码示例。可能用Python来实现，因为示例中的快速排序也是用Python。所以需要编写两个函数，一个用于转换中缀到后缀，另一个用于求值。同时，需要定义操作符的优先级，比如使用字典来存储各个操作符的优先级。 在代码部分，要注意栈的实现，可以使用列表来模拟栈结构。在中缀转后缀时，可能需要将输入的表达式分割成token，比如数字和操作符，这可以通过正则表达式来处理，或者手动处理字符串。这里可能需要处理多位数的情况，比如“123”作为一个数字处理。 在转换过程中，需要注意操作符的优先级比较，比如乘除高于加减，以及括号的处理。例如，遇到左括号直接入栈，遇到右括号则弹出直到左括号。 在后缀表达式求值时，需要按顺序处理每个token，遇到数字入栈，遇到操作符则弹出两个数进行计算，注意操作数的顺序，比如先弹出的是右操作数，后弹出的是左操作数，特别是减法和除法时顺序很重要。 最后，需要生成相关问题，可能涉及算法的优化、不同方法的比较，或者实际应用场景等。 现在，我需要把这些思路整理成结构化的回答，分步骤说明，并给出代码示例。同时，确保符合用户的要求，如使用正确的LaTeX格式，行内公式用$...$，独立公式用$$...$$，并且正确引用之前的引用内容。</think>### 中缀表达式转后缀表达式及求值方法 #### 一、中缀转后缀表达式（逆波兰表示法） 1. **数据结构准备** - 操作符栈 `op_stack`（存储运算符和括号） - 输出列表 `postfix`（存储后缀表达式结果） 2. **算法流程** - **步骤1**：从左到右扫描中缀表达式 - **步骤2**：遇到**操作数**直接加入 `postfix` - **步骤3**：遇到**左括号 `(`** 直接压入 `op_stack` - **步骤4**：遇到**右括号 `)`**： - 弹出栈顶元素加入 `postfix`，直到遇到左括号 - 左括号弹出但不加入输出 - **步骤5**：遇到**运算符**： - 比较当前运算符与栈顶运算符的优先级$^{[^1]}$ - 若栈顶优先级≥当前运算符，则弹出栈顶加入 `postfix` - 重复此过程直到栈空或遇到更低优先级运算符 - 当前运算符压栈 3. **优先级规则** - 加减法 `+ -`：优先级1 - 乘除法 `* /`：优先级2 - 括号 `()`：优先级0（仅在栈内比较时生效） #### 二、后缀表达式求值 1. **数据结构准备** - 操作数栈 `num_stack`（存储运算中间结果） 2. **算法流程** - **步骤1**：从左到右扫描后缀表达式 - **步骤2**：遇到**数字**直接压入 `num_stack` - **步骤3**：遇到**运算符**： - 弹出栈顶两个元素（注意顺序：`b = num_stack.pop()`, `a = num_stack.pop()`） - 计算 `a op b` 并将结果压栈 #### 三、Python代码实现 ```python def infix_to_postfix(infix): precedence = {'+':1, '-':1, '*':2, '/':2, '(':0} op_stack = [] postfix = [] tokens = infix.replace(' ', '') # 简单处理空格 i = 0 while i < len(tokens): if tokens[i].isdigit(): # 处理多位数 num = [] while i < len(tokens) and (tokens[i].isdigit() or tokens[i] == '.'): num.append(tokens[i]) i += 1 postfix.append(''.join(num)) continue elif tokens[i] == '(': op_stack.append(tokens[i]) elif tokens[i] == ')': while op_stack[-1] != '(': postfix.append(op_stack.pop()) op_stack.pop() # 弹出左括号 else: while op_stack and precedence[op_stack[-1]] >= precedence[tokens[i]]: postfix.append(op_stack.pop()) op_stack.append(tokens[i]) i += 1 while op_stack: postfix.append(op_stack.pop()) return postfix def evaluate_postfix(postfix): num_stack = [] for token in postfix: if token.replace('.', '').isdigit(): num_stack.append(float(token)) else: b = num_stack.pop() a = num_stack.pop() if token == '+': num_stack.append(a + b) elif token == '-': num_stack.append(a - b) elif token == '*': num_stack.append(a * b) elif token == '/': num_stack.append(a / b) return num_stack[0] # 示例 infix = "(3+5)*2-6/3" postfix = infix_to_postfix(infix) # 输出：['3', '5', '+', '2', '*', '6', '3', '/', '-'] result = evaluate_postfix(postfix) # 输出：14.0 ``` #### 四、关键点说明 1. **多位数处理**：通过循环拼接连续数字字符（第18-22行） 2. **运算符优先级比较**：使用字典存储优先级实现快速查询（第4行） 3. **运算顺序控制**：后缀表达式消除了括号需求，通过运算符顺序隐含运算优先级[^1]