时间复杂度最低的欧拉函数

### 计算LCA（最近公共祖先）的时间复杂度 计算LCA（最近公共祖先）通常可以通过多种方法实现，每种方法都有不同的时间复杂度。以下是几种常见的LCA算法及其时间复杂度分析： #### 1. **倍增法** 倍增法是一种常用的解决LCA问题的方法。它通过预处理的方式记录每个节点向上跳跃 \(2^k\) 步后的祖先节点。 - 预处理阶段：对于每一个节点，我们需要计算其所有的 \(2^k\) 祖先节点。这个过程的时间复杂度为 \(O(n \log n)\)[^3]。 - 查询阶段：每次查询两个节点的LCA时，只需要比较它们的深度并逐步跳至相同的高度，再一起向上跳直到找到共同祖先。这一操作可以在常数时间内完成，因此单次查询的时间复杂度为 \(O(\log n)\)[^3]。 #### 2. **基于ST表的RMQ方法** 另一种常用的方法是将LCA问题转化为RMQ（Range Minimum Query）问题，并利用稀疏表（Sparse Table, ST表）来高效求解。具体步骤如下： - 将树进行DFS遍历得到欧拉序列以及每个节点对应的深度数组。 - 使用ST表对深度数组构建稀疏表，用于快速查找区间内的最小值。构建ST表的时间复杂度为 \(O(n \log n)\)[^1]。 - 对于每一次LCA查询，将其映射为RMQ问题中的区间最小值查询，这一步可在 \(O(1)\) 时间内完成[^1]。 #### 3. **Tarjan离线算法** Tarjan算法是一种离线算法，适合批量处理多个LCA查询请求。它的核心思想是对整棵树进行一次DFS，在过程中使用并查集维护当前子树的信息。 - 预处理阶段：仅需对整个树执行一次DFS即可完成所有必要的准备工作，时间复杂度为 \(O(n + q)\)，其中 \(q\) 是查询的数量[^4]。 - 查询阶段：由于所有查询都在DFS的过程中被一次性解答，因此无需额外的时间开销。 综上所述，不同LCA算法的时间复杂度分别为： - 倍增法：\(O(n \log n)\) 的预处理时间和 \(O(\log n)\) 的单次查询时间； - 基于ST表的RMQ方法：\(O(n \log n)\) 的预处理时间和 \(O(1)\) 的单次查询时间； - Tarjan离线算法：\(O(n + q)\) 的总时间复杂度。 ```python def preprocess_lca_doubling(parents, depth): """ 实现倍增法的预处理函数 :param parents: 初始父节点列表 :param depth: 每个节点的深度 :return: 处理好的ancestor表格 """ log = max_depth.bit_length() ancestor = [[-1] * log for _ in range(len(depth))] # 初始化第一步祖先 for i in range(len(depth)): ancestor[i][0] = parents[i] # 动态规划填充其余步长 for j in range(1, log): for i in range(len(depth)): if ancestor[i][j - 1] != -1: ancestor[i][j] = ancestor[ancestor[i][j - 1]][j - 1] return ancestor ```

### 关于欧拉函数的实现与解题思路 #### 一、欧拉函数的核心概念 欧拉函数 \( \phi(n) \) 表示小于等于正整数 \( n \) 中与 \( n \) 互质的数的数量。两个数互质意味着它们的最大公约数为 1。 其定义可以形式化为： \[ \phi(n) = |\{k : 1 \leq k \leq n, gcd(k,n)=1\}| \] 其中，\( gcd(a,b) \) 是指 \( a \) 和 \( b \) 的最大公约数[^1]。 --- #### 二、欧拉函数的性质 以下是欧拉函数的一些重要性质： 1. 如果 \( p \) 是素数，则 \( \phi(p) = p-1 \)，因为所有小于 \( p \) 的自然数都与其互质。 2. 若 \( n = p_1^{k_1}p_2^{k_2}\cdots p_m^{k_m} \) （即 \( n \) 可分解为其唯一素因子乘积），则有： \[ \phi(n) = n \cdot \prod_{i=1}^m \left(1-\frac{1}{p_i}\right) \] 3. 对任意整数 \( m \) 和 \( n \)，如果 \( gcd(m,n) = 1 \)，那么满足加性关系： \[ \phi(mn) = \phi(m)\phi(n) \] 这些性质使得我们可以高效地计算大范围内的欧拉函数值。 --- #### 三、欧拉函数的计算方法 ##### 方法一：基于因数分解的方法 通过上述公式可以直接得出如何利用素因子分解来快速求取单个数值对应的欧拉函数值。具体步骤如下所示： 对于给定的一个整数 \( n \)，先找出它的所有不同素因子集合 \( P=\{p_1,p_2,\ldots ,p_k\} \)，接着按照下面方式逐步累乘得到最终结果： \[ \phi(n) = n \times \prod _{{p\in P}}{\Bigl (}1-{1 \over p}{\Bigr )} \] 此过程的时间复杂度主要取决于寻找素因子的速度，在合理范围内能够接受。 ```python def euler_phi(n): result = n i = 2 while i * i <= n: if n % i == 0: result -= result // i while n % i == 0: n //= i i += 1 if n > 1: result -= result // n return result ``` 以上代码实现了单独查询某个特定数字对应欧拉函数值得功能。 --- #### 四、线性筛法优化批量预处理多个欧拉函数值 当面对大量连续区间上的询问时，采用逐一调用上面提到的独立版效率较低；此时可借助埃氏筛选或者更优美的欧拉筛完成一次性初始化操作后再作答即可达到目的。 下面是使用线性筛的方式预先存储好一定界限以内各位置关联欧拉函数表项的具体做法说明以及相应伪码展示： 初始设定 phi[1]=1 ，其余均置零； 遍历过程中遇到未标记过的当前考察对象x时将其加入候选列表并更新后续可能受影响的位置y=x*p[p_index]处的状态信息直至超出边界为止。 ```python MAXN = int(2e6)+5 phi = list(range(MAXN)) for i in range(2, MAXN): if phi[i]==i: # prime number found for j in range(i, MAXN, i): phi[j]-=(phi[j]//i) print(phi[:20]) #[1, 1, 2, 2, 4, 2, 6, 4, 6, 4, 10, 4, 12, 6, 8, 8, 16, 6, 18, 8,...] ``` 这种方法适用于需要频繁访问较小范围的情况下的场景下非常有效率。 --- #### 五、针对题目描述中的解答方案设计 根据所给出的例子来看待输入数据规模较大情形下仍然保持良好性能表现尤为重要因此推荐采取第二种全局规划策略即提前准备好必要素材再按需提取答案最为合适不过啦！ 样例如下： 假设我们已经完成了前面提及到的大致一百万级别长度数组构建工作之后就可以轻松应对绝大多数常规测试点了。 ```python if __name__=="__main__": import sys input=sys.stdin.read data=input().strip() num=int(data) print(euler_phi(num)) if num<MAXN else None ``` 注意这里为了简化演示忽略了部分细节比如错误捕捉机制等等实际开发当中还是建议补充完善的异常捕获逻辑以便更好地适应各种极端状况哦[^4]! ---