将多项式f(x)=3x^4+x^2+2x+1改为秦九韶算法形式，计算需要多少次乘法和多少次加法，如果采用逐项计算法呢？（2）将上式采用秦九韶算法和逐项计算法的计算过程使用python语言实现。将任取一值，运行程序，将两种方法的程序运行结果和运行时间显示出来。请将程序代码和代码运行结果截图附在作业上。

### 秦九韶算法简介 秦九韶算法是一种高效的多项式求值方法，它能够减少直接计算高次幂带来的大量重复乘法运算。对于一个形如 `P(x) = a_n*x^n + ... + a_1*x + a_0` 的 n 次多项式，在普通做法下需做大约 `(n*(n+1))/2` 次乘法操作；而使用秦九韶变换后可以将其转化为嵌套的形式： \[ P(x) = (...((a_n * x + a_{n-1}) * x + ...) * x + a_1 ) * x + a_0\] 这样一来每次只需要一次乘法和一次加法即可完成一轮迭代。 ### 改写成秦九韶形式 给定的四阶多项式 f(x)=3x⁴+x²+2x+1 可以改写为秦九韶形式: f'(x)=( ((3)*x + 0 )*x + 1 )*x + 2 )*x + 1 这里注意到原式中缺少三次方项所以系数置为零补充完整。 - **秦九韶算法** - 乘法次数：4 （每一步都需要一次乘法） - 加法次数：4 （除了最外层括号内的常数项以外每一级都要加上对应的系数） - **逐项计算法则** - 乘法次数：(4*5)/2=10 (因为涉及到平方、立方等) - 加法次数：3 (三个非零项相加) ### Python 实现比较 下面是两种不同算法的具体Python实现，并对比它们的结果及其执行效率。 ```python import timeit def qinjiushao_eval(coefficients, x): """Evaluate polynomial using Qin Jiushao's method.""" result = coefficients[0] for coeff in coefficients[1:]: result *= x result += coeff return result def direct_evaluation(a4,a2,a1,a0,x): """Direct evaluation of the given polynomial formula""" return a4*(x**4) + a2*(x**2) + a1*x + a0 if __name__ == '__main__': import random test_value = round(random.uniform(-10, 10),2) print(f"Testing with value {test_value}") coeffs_qj=[3,0,1,2,1] # Coefficients list following Qin Jiushao form. # Note that we include all powers including those with zero coefficient. start_time=timeit.default_timer() res_qj=qinjiushao_eval(coeffs_qj,test_value) elapsed_ms_qj=(timeit.default_timer()-start_time)*1000 print("Qin Jiushao Evaluation:",res_qj," Time(ms): %.9f"%elapsed_ms_qj) start_time=timeit.default_timer() res_direct=direct_evaluation(3,1,2,1,test_value) elapsed_ms_dir=(timeit.default_timer()-start_time)*1000 print("Direct Evaluation :",res_direct,"Time(ms): %.9f"%elapsed_ms_dir) if abs(res_qj-res_direct)<1e-6: print("Results match!") else: print("Warning! Results do not match.") ``` 这段代码会随机选取一个测试数值用于评估两个版本的表现差异，同时打印各自耗时情况供参考。请注意实际环境中由于系统调度等因素影响可能会造成微秒级别的误差波动，因此通常我们会认为两者结果若差距非常小则视为一致。 为了方便提交作业，建议您运行以上代码片段并将输出连同源码一同保存下来作为附件。此外记得截屏展示最终的命令行窗口内容包括但不限于时间戳信息。