7-2 整数分解为若干项之和 分数 20 作者 DS课程组 单位 浙江大学 将一个正整数N分解成几个正整数相加，可以有多种分解方法，例如7=6+1，7=5+2，7=5+1+1，…。编程求出正整数N的所有整数分解式子。 输入格式： 每个输入包含一个测试用例，即正整数N (0<N≤30)。 输出格式： 按递增顺序输出N的所有整数分解式子。递增顺序是指：对于两个分解序列N 1 ​ ={n 1 ​ ,n 2 ​ ,⋯}和N 2 ​ ={m 1 ​ ,m 2 ​ ,⋯}，若存在i使得n 1 ​ =m 1 ​ ,⋯,n i ​ =m i ​ ，但是n i+1 ​ <m i+1 ​ ,则N 1 ​ 序列必定在N 2 ​ 序列之前输出。每个式子由小到大相加，式子间用分号隔开，且每输出4个式子后换行。 输入样例： 7 输出样例： 7=1+1+1+1+1+1+1;7=1+1+1+1+1+2;7=1+1+1+1+3;7=1+1+1+2+2 7=1+1+1+4;7=1+1+2+3;7=1+1+5;7=1+2+2+2 7=1+2+4;7=1+3+3;7=1+6;7=2+2+3 7=2+5;7=3+4;7=7 代码长度限制 16 KB 时间限制 800 ms 内存限制 64 MB 栈限制 8192 KB

### 实现正整数 N 的分解为若干正整数之和 为了实现将正整数 \( N \) 分解为若干正整数之和的所有可能方法，并按照递增顺序输出结果，可以采用 **深度优先搜索 (DFS)** 方法来解决此问题。以下是详细的解决方案： #### 解决方案描述 通过 DFS 遍历所有可能的组合方式，确保每次选取的数值不小于之前已选中的值，从而满足递增条件。具体逻辑如下： 1. 定义一个函数 `dfs` 来执行递归操作。 2. 使用一个列表存储当前路径上的分解值。 3. 当路径上所有值的和等于目标值 \( N \)，记录该路径作为有效分解。 4. 如果路径上所有值的和超过 \( N \)，停止进一步探索。 下面是 Python 编程的具体实现代码： ```python def integer_decomposition(n): result = [] # 存储最终的结果 def dfs(current_sum, start, path): if current_sum == n: # 找到了一种有效的分解 result.append(path[:]) # 将当前路径加入结果集中 return for i in range(start, n + 1): # 枚举下一个可能的值 if current_sum + i > n: # 剪枝：如果超出范围，则不再继续 break path.append(i) # 添加当前值到路径中 dfs(current_sum + i, i, path) # 继续递归寻找下一层 path.pop() # 回溯：移除最后添加的值 dfs(0, 1, []) # 初始调用 return result # 测试代码 if __name__ == "__main__": n = 7 decompositions = integer_decomposition(n) for decomposition in decompositions: print("+".join(map(str, decomposition)) + f"={n}") ``` #### 输出解释 以上代码会打印出所有的分解形式，例如输入 \( N = 7 \) 后，程序将输出以下内容[^3]: ``` 1+1+1+1+1+1+1=7 1+1+1+1+1+2=7 1+1+1+1+3=7 1+1+1+2+2=7 ... 7=7 ``` --- #### 关键点分析 1. **剪枝优化**: 在枚举过程中，一旦发现当前累加值已经超过目标值 \( N \)，立即终止后续分支的扩展，减少不必要的计算开销。 2. **递增约束**: 每次只允许选择大于或等于前一个值的新元素，这样能够自然地保证输出结果严格遵循递增顺序的要求。 3. **回溯机制**: 利用栈的思想动态调整候选集合的状态，在尝试过某个可能性之后恢复原状以便测试其他替代选项。 --- #### 时间复杂度与空间复杂度 时间复杂度取决于生成的不同拆分情况的数量级；而空间复杂度主要体现在递归调用栈以及临时保存中间状态所需的额外内存消耗方面。尽管如此，实际运行效率仍然较高，尤其适合处理中小规模的数据实例。 ---