题目描述 商店里有 n 个武器，第 i 个武器的强度为 p i ​ ，花费为 c i ​ 。 小杨想要购买一些武器，满足这些武器的总强度不小于 P，总花费不超过 Q，小杨想知道是否存在满足条件的购买方案，如果有，最少花费又是多少。 输入格式 第一行包含一个正整数 t，代表测试数据组数。 对于每组测试数据，第一行包含三个正整数 n,P,Q，含义如题面所示。 之后 n 行，每行包含两个正整数 p i ​ ,c i ​ ，代表武器的强度和花费。 输出格式 对于每组测试数据，如果存在满条件的购买方案，输出最少花费，否则输出 -1。

<think>嗯，这个问题看起来像是一个动态规划的背包问题变种。让我仔细读一遍题目。题目是说，商店里有n个武器，每个武器有强度p_i和花费c_i。小杨需要选一些武器，使得总强度至少是P，总花费不超过Q。然后要判断是否存在这样的方案，如果有的话，找出最小的花费。输出每组测试的结果，没有的话输出-1。 首先，我得确定这个问题属于哪类背包问题。普通的0-1背包是总重量不超过容量，求最大价值。而这里的情况是总强度至少为P，总花费不超过Q，求是否存在且最小花费。这更像是一个混合了最小花费和约束条件的背包问题。 那如何处理总强度至少P的条件呢？可能要把强度作为状态的一维，而花费作为另一维，或者反过来。比如，动态规划的状态可以定义为处理前i个武器，总强度为j时的最小花费。但这样的话，当j >= P的时候，我们都可以视为满足条件，这时候要找花费的最小值，同时总花费不超过Q。或者，可能需要找到所有可能的强度组合，然后从中选出满足总强度≥P的最小花费。 但这样的状态可能很大，因为P的值可能很大。比如，如果每个武器的p_i都是1，而n是100，那么总强度可以达到100，此时P如果是1e5的话，这样的状态可能无法处理，导致内存和时间不够。但题目中的输入规模可能有限制，比如t的大小，n的大小，或者P的大小。题目中给出的输入条件没有明确说明，所以需要考虑可能的优化方法。 假设n的范围比较小，比如最多到100，那么可以考虑动态规划。比如，动态规划的状态可以是总强度，而每个状态保存当前的最小花费。然后，对于每个武器，可以选择选或者不选。如果选的话，总强度增加p_i，花费增加c_i。但这样，如果总强度超过P，仍然视为等于P，这样可以减少状态的数量。例如，当总强度已经达到或超过P时，后续的选择不需要再增加强度，只需要最小化花费。这可能是一个关键点。 举个例子，假设当前总强度是s，如果加上p_i后，s+p_i >= P，那么可以把总强度视为P。这样，状态的上限就是P，而不需要记录超过P的部分。这样，动态规划的状态空间可以控制在P的大小内。但P的范围是多少呢？如果题目中的P可以达到1e5或者更大，这种方法可能不可行。但如果n比较小，比如每个武器的p_i都很大，可能还是可以处理。 所以，问题的关键在于如何处理总强度至少为P的条件。这里可能需要将总强度的维度压缩到最多P的值。例如，当总强度超过P时，统一处理成P。这样，状态转移方程可以这样设计： dp[i][j] 表示前i个武器中，总强度为j时的最小花费。这里的j最大是P，因为当总和超过P时，可以视为P。 那么状态转移的时候，对于每个武器i，我们可以选择选或者不选： 如果不选，那么状态不变，dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i-1][j]) 如果选，那么新的总强度是 j + p_i，如果超过P的话，就取min(j + p_i, P)。然后，新的花费是原来的花费加上c_i。所以转移方程是： dp[i][min(j + p_i, P)] = min(dp[i][min(j + p_i, P)], dp[i-1][j] + c_i) 初始状态是dp[0][0] = 0，其他为无穷大。 这样处理的话，状态的大小是n * P。如果n是100，P是1e4的话，这样的状态空间是1e6，可能可以处理。但如果P是更大的数值，比如1e5的话，可能需要优化。 但题目中的P的范围不确定。需要看输入的约束。假设题目中的P可能很大，比如1e5或者更大，那么这种方法可能无法处理，需要考虑其他方法。 或者，另一个思路是，这可能是一个多重约束的背包问题，需要找到总强度≥P的情况下总花费的最小值，并且总花费≤Q。如果这样的最小值存在且≤Q，则输出该值，否则输出-1。 那如何计算这个最小值呢？可以转换为典型的背包问题，其中目标是求满足条件的总花费的最小值。这类似于0-1背包问题中的“恰好”或“至少”问题，但求的是最小值而不是最大值。 对于这样的问题，动态规划的思路可能需要将状态设计为总强度，然后记录对应的最小花费。比如，dp[j]表示总强度为j时的最小花费。然后，对于每个武器，遍历j的可能值，更新更高j的状态。 初始化时，dp[0] = 0，其余为无穷大。然后，对于每个武器，从高到低遍历j的可能值，以避免重复选取同一武器。然后，对于每个j，如果dp[j] + c_i <= Q，那么新的j' = min(j + p_i, P)，而新的花费是dp[j] + c_i。此时，如果这个值比当前的dp[j']小，就更新。 这样，最终我们需要查看所有j >= P的dp[j]，找到其中最小的花费。但这样可能不太方便。于是，可以将j的上限设为P，因为在计算过程中，如果j+p_i >= P，就统一视为P。这样，最后只需要查看dp[P]的值是否≤Q。但这样的话，是否可能漏掉某些情况？ 比如，假设P是100，当某个武器的p_i是50，当前j是60，那么加上后变成110，超过P，所以存入j=100的状态。这样，不管总强度实际有多大，只要达到或超过P，就统一处理成P。这样，最后只需要看dp[P]是否≤Q。这样是否正确？ 是的，因为题目只需要总强度≥P，所以不管总强度是正好等于P还是超过，都满足条件。所以在动态规划的过程中，可以将总强度的上限设为P，这样所有的超过情况都视为P。这样，最终只要dp[P]的值≤Q的话，就存在解，否则不存在。 那这样的动态规划方法的时间复杂度是O(n * P)。如果n是100，P是1e4，那总共有1e6次操作，这在时间上是可行的。但假设P是1e5的话，那么n=100的话，就是1e7次操作，可能还可以接受。但如果P更大，比如1e9，那这种方法显然不可行。但题目中的输入可能限制P的大小。 但题目中没有给出具体的输入范围，所以需要假设P的取值范围在合理范围内，比如1e3或1e4。否则，可能需要其他方法，比如贪心或者数学优化，但可能不存在这样的解法。 因此，我认为这是一个典型的动态规划问题，状态设计为总强度（不超过P），然后每个状态保存最小的花费。 那具体怎么实现呢？ 首先，初始化一个数组dp，大小为P+1，初始时设为无穷大，dp[0] = 0。 然后，对于每个武器i，其p_i和c_i： 我们需要从后往前更新dp数组，避免重复选取。也就是，对于每个可能的j，从P到0，依次处理。对于每个j，如果dp[j]不是无穷大，那么可以选择是否购买当前武器。如果购买，新的强度是j + p_i，如果超过P的话，就变为P。对应的新花费是dp[j] + c_i。此时，如果新花费比当前的dp[new_j]小，就更新。 举个例子，假设当前的j是50，p_i是60，那么j + p_i=110，超过P=100。所以new_j是100。此时，如果原来的dp[100]是200，而新的花费是dp[50]+c_i，比如是150，那么更新dp[100]为150。 这样，遍历完所有武器后，检查dp[P]的值。如果这个值<=Q，那么输出这个值；否则输出-1。 那问题中的总花费不超过Q的条件是否要在动态规划的过程中处理？比如，如果某个状态的花费已经超过了Q，那么可以直接跳过。例如，当处理到某个j时，dp[j] + c_i如果超过Q的话，那么即使更新到new_j，这个状态的花费也会超过Q，所以不需要考虑。所以在更新的时候，可以提前判断是否可能超过Q，从而避免无效的更新。 例如，在遍历每个武器时，对于每个j，如果dp[j] + c_i > Q，那么不需要处理这个转移。这样可以减少不必要的计算。 因此，动态规划的状态转移可以优化为：只有当dp[j] + c_i <= Q时，才进行转移。这样可以剪枝一些不可能的情况。 那这样，动态规划的正确性如何？ 是的，因为最终的解必须满足总花费<=Q，所以在动态过程中，所有可能的花费都不能超过Q。因此，如果某个转移会导致花费超过Q，那么该状态是无效的，可以忽略。 综上，动态规划的步骤大致如下： 1. 初始化dp数组，dp[0] = 0，其余为无穷大（例如，一个很大的数）。 2. 对于每个武器p_i, c_i： a. 从后往前遍历当前的dp数组，j从当前的max_possible到0： b. 如果dp[j] + c_i > Q，那么跳过，因为无法转移到任何可能的状态。 c. 否则，计算new_j = min(j + p_i, P) d. 如果 dp[new_j] > dp[j] + c_i，那么更新dp[new_j]为 dp[j] + c_i。 3. 所有武器处理完毕后，检查dp[P]的值。如果它<=Q，那么输出该值；否则输出-1。 那这样的方法是否正确？ 举个例子，假设P=5，Q=10。武器有两个，分别是p=3, c=4和p=3, c=5。 初始化dp[0]=0，其他为INF。 处理第一个武器： 遍历j从0到当前最大的可能值（此时只有j=0）。 j=0：dp[0] = 0。c_i=4。0+4=4 <=10。new_j=0+3=3。所以dp[3] = min(INF, 0+4)=4. 处理第二个武器： 此时dp数组是：0:0, 3:4，其他INF。 从后往前处理，即j=3，0。 对于j=3，c_i=5。dp[3]=4+5=9 <=10。new_j=3+3=6，超过P=5，所以new_j=5。此时dp[5] = min(INF,9) →9. 对于j=0，c_i=5。0+5=5 <=10。new_j=0+3=3。当前dp[3]的值是4，所以如果更新的话，4+5=9 >4，所以不更新。 最终dp[5]=9，小于等于Q=10，所以输出9。 正确，因为两个武器都选的话总强度3+3=6>=5，总花费4+5=9<=10，所以正确。 另一个例子：如果P=5，Q=3。武器同上，那么处理第一个武器后，dp[3]=4>3，无法选。第二个武器处理后，dp[5]的值是9>3。所以无法满足，输出-1。 那这个动态规划的方法是正确的。 接下来需要考虑的是如何处理多个测试用例。对于每组测试用例，需要重新初始化dp数组，并处理对应的武器列表。 那么问题的时间复杂度如何？假设每组测试用例的n是到100，P是到1e4，那么每组的时间复杂度是O(n*P)。如果有t=100组的话，总时间可能是1e6次操作，这在编程竞赛中应该是可以接受的。 那现在如何实现这个算法？ 代码的大致结构应该是： 读取t组测试用例。 对于每组测试用例： 读取n, P, Q. 然后读取n个p_i和c_i。 然后初始化dp数组。注意，这里的dp数组需要是当前能达到的各个总强度对应的最小花费。初始时，只有0强度，花费为0。 然后，对每个武器，遍历当前的dp数组，更新可能的new_j的状态。 最终，检查dp[P]是否<=Q。如果是，输出该值；否则输出-1。 需要注意的是，在实现中，如何处理new_j的计算，以及如何优化遍历的顺序。 此外，当P是0的时候，这种情况可能需要特殊处理。但题目中的输入中的P是正整数，所以无需考虑。 现在，编写代码的大致步骤： 使用Python的话，可以这样实现： 对于每组测试用例： n, P_input, Q = map(int, input().split()) 然后读取n个p_i和c_i，保存为一个列表。 然后，初始化dp数组的大小为 P+1。这里，P是题目中的P，即所需的总强度。因为当总和超过P时，视为P。所以，dp的长度是P+1。每个元素初始化为一个很大的值（比如inf），除了dp[0] = 0。 然后，对于每个武器p, c in列表： 遍历j从当前可能的最高值到0。这里，可以用一个循环从当前的P downto 0： for j in range(P, -1, -1): if dp[j] + c > Q: # 总花费不能超过Q，所以如果当前的花费加上c_i后超过Q，则跳过 continue new_j = min(j + p, P) if dp[new_j] > dp[j] + c: dp[new_j] = dp[j] + c 这样处理每个武器。 最后，检查dp[P]是否<=Q。如果是，则输出，否则输出-1. 但需要注意，在Python中，循环变量的范围是否正确。例如，当处理j的时候，当P=5，那么range(P, -1, -1)会生成5,4,3,2,1,0。这符合预期。 那这样的代码是否正确？ 再举一个例子： 测试用例： 1 3 10 20 5 5 6 7 4 3 武器列表是三个，p分别为5,6,4，c是5,7,3。要求总强度>=10，总花费<=20. 初始化dp[0] =0. 处理第一个武器（5,5）： j从0开始？或者因为处理顺序是P downto 0，此时P是10，所以第一次处理的时候，j=10 downto 0. 初始时，只有dp[0]是0，其他都是inf。所以当j=0时，处理： new_j = min(0+5,10)=5. dp[5] = min(inf, 0+5)=5. 处理第二个武器（6,7）： 此时，遍历j从10 downto 0： 只有j=0和j=5可能有值。其他j的dp[j]是inf。 对于j=5：dp[j]=5。加上7，总花费是12<=20。 new_j=5+6=11 → min(11,10)=10. dp[10]被更新为5+7=12. 对于j=0：加上7，总花费7 <=20. new_j=0+6=6. dp[6]更新为0+7=7. 处理第三个武器（4,3）： 现在，处理后的dp数组中，可能的状态是： dp[0]=0 → 未被更新？ 原dp数组可能有多个状态。例如，在处理第二个武器后，dp[5]的值是5吗？ 是的，因为处理第二个武器的时候，当处理j=5时，原来的dp[j]是5。加上7，总花费是12。此时，new_j是10，所以dp[10]被更新为12。而原来的dp[5]是否会被覆盖？ 不，因为处理第二个武器的时候，j的遍历顺序是从高到低。例如，当处理j=5的时候，会更新j=10的状态。但原来的j=5的状态保留下来，因为此时处理的是第二个武器，而遍历顺序是反向的，不会覆盖前面的状态？ 或者，可能我在这里需要仔细思考动态规划的更新顺序。 动态规划在处理每个武器时，使用的是逆序遍历j的原因是为了避免重复选取同一个武器多次。例如，在完全背包问题中，正序会导致多次选择同一物品。而0-1背包中，逆序则保证每个物品只能选一次。 所以，这里逆序遍历j是正确的。 现在，第三个武器的处理： 处理每个j从10 downto 0： 对于每个j，如果当前dp[j]不是inf，则考虑选这个武器后的状态。 比如，假设在处理第三个武器前，dp数组的情况： dp[0] =0 dp[5]=5（来自第一个武器） dp[6]=7（来自第二个武器，j=0时处理后的结果） dp[10]=12（来自第二个武器，j=5时的处理） 其他位置是inf。 处理第三个武器p=4，c=3： 对于每个j in 10 downto 0： 当j=10时，dp[10]=12。加上3，总花费15<=20。new_j=min(10+4,10)=10。所以，如果dp[10] >12+3=15？原来的dp[10]是12。所以此时更新为15？但这样会不会更差？所以不会更新，因为15>12。所以状态不改变。 当j=6时，dp[j]=7。加上3是10<=20。new_j=6+4=10。所以dp[10]现在会被比较，当前是12，而7+3=10更小，所以dp[10]更新为10. 当j=5时，dp[j]=5。加上3=8 <=20。new_j=5+4=9。所以dp[9]会被设置为5+3=8. 当j=0时，dp[j]=0。加上3=3<=20。new_j=0+4=4。所以dp[4]被设置为3. 处理完第三个武器后的dp数组中： dp[0]=0 dp[4]=3 dp[5]=5 dp[6]=7 dp[9]=8 dp[10]=10（因为当j=6时，更新后的值是10） 所以，总强度为10的最小花费是10，是否<=20？是的。所以输出10。 这确实是正确的，因为第三个武器选后，总强度是5（第一个武器）+6（第二个武器）+4（第三个武器）=15 >=10，总花费是5+7+3=15。或者，有没有更小的花费？ 比如，选第二个和第三个武器：6+4=10强度，花费7+3=10。这确实更优。这说明动态规划的处理正确，因为选j=0（不选任何武器前两个），然后在第三个武器的时候，选j=0+4=4，花费3。但是之后是否还有其他武器？ 哦，第三个武器处理之后，j=0的状态在第三个武器处理的时候被处理，得到new_j=4。但这时候，其他武器已经处理过。所以，最终，当第三个武器处理完毕后，总共有哪些状态？ 哦，这可能需要重新审视问题。 原问题中，第三个武器是最后一个武器。所以在处理完第三个武器之后，dp[10]的最小花费是10。这是如何得到的？ 例如，在第二个武器处理后，j=6的花费是7。处理第三个武器时，对于j=6，此时加上第三个武器的花费3，总花费是7+3=10。而new_j是6+4=10，刚好等于P=10。所以，dp[10]被更新为10。这比之前的12更优。所以最终的最小花费是10，对应的选择是选第二个和第三个武器，总强度6+4=10，花费7+3=10 <=20。所以输出10。 这说明动态规划的处理是正确的。 那这样的代码是否正确？ 是的。所以，现在需要将这个思路转化为具体的代码。 现在，编写Python代码的大致结构： 读取t： t = int(input()) for _ in range(t): n, P, Q = map(int, input().split()) weapons = [] for _ in range(n): p, c = map(int, input().split()) weapons.append( (p, c) ) # 初始化dp数组，大小为P+1 INF = float('inf') dp = [INF] * (P + 1) dp[0] = 0 for p, c in weapons: # 逆序遍历j for j in range(P, -1, -1): if dp[j] != INF: # 当前状态可达 if dp[j] + c > Q: continue # 超过总花费限制，跳过 new_j = min(j + p, P) if dp[new_j] > dp[j] + c: dp[new_j] = dp[j] + c if dp[P] <= Q: print(dp[P]) else: print(-1) 这样是否正确？ 例如，当P=10时，如果有一个武器p=10，c=5，那么处理后的dp[10]是5，输出5。这正确。 那这样的代码是否考虑了所有可能的情况？ 例如，当多个武器的组合总强度刚好等于P，或者超过P的情况？ 是的，因为所有超过的情况都被压缩到P的状态。 那这样的代码是否能通过所有测试用例？ 应该可以。但需要注意一些可能的错误情况： 比如，当所有的武器的p_i的总和不足P的时候，此时无论如何选择，总强度都无法满足要求。此时，动态规划中的dp[P]仍然是无穷大，所以输出-1。 例如，测试用例： 1 2 5 10 1 2 1 3 总强度最多是2 <5，所以输出-1。代码是否正确？ 是的，因为所有处理完后，dp[P] = dp[5]的值还是无穷大。所以输出-1. 另一个测试用例： 1 3 5 10 3 4 3 5 1 1 武器总强度选前两个，总和6≥5，花费9。或者选第一个和第三个：4+1=5，花费5，总强度4。哦，3+1=4，不够。所以必须选前两个或者第三个武器不行。所以正确的解是前两个总花费9，或者有没有其他情况？ 例如，第三个武器的p是1，c是1。此时，如果选三个武器总和是3+3+1=7≥5，花费4+5+1=10。这也满足条件，总花费10<=10。所以此时的最小花费是min(9,10) →9. 根据代码的处理，dp[5]的值应该是9吗？ 是的。因为第三个武器处理的时候： 初始处理第一个武器：dp[3] =4. 处理第二个武器：选的话，j=3的情况，花费4+5=9，new_j=6→5.所以dp[5] =9. 然后处理第三个武器，p=1，c=1: 遍历j=5 downto 0. 对于j=5，dp[j] =9. 加上c=1 →10<=Q=10. new_j =5+1=6 →min(6,5) →5.所以new_j是5。此时，新的花费是9+1=10，原dp[5]是9，所以不更新。 所以，最终dp[5]是9，符合要求。所以代码正确。 另一个情况：如果存在多个武器的组合，其中某些组合的总强度超过P，但总花费更小。 比如，P=5，Q=10。武器1：p=5，c=10。武器2：p=6，c=5. 选武器2，总强度6≥5，花费5更小。代码是否能正确处理？ 处理武器1后的dp[5]=10. 处理武器2时，对于j=0，加上c=5<=10。new_j=6→5. dp[5]的当前值为10。所以更新为min(10,0+5=5) →5.所以最终dp[5]=5。输出正确。 所以，代码能够处理这种情况。 综上，这个动态规划的方法是可行的，代码也正确。</think>要解决这个问题，我们需要找到一种购买方案，使得所选武器的总强度不小于给定值 $P$，且总花费不超过 $Q$。若存在这样的方案，还需找到最少花费。这可以通过动态规划（DP）来解决，类似于背包问题的变种。 ### 方法思路 1. **问题分析**：每个武器有两个属性：强度 $p_i$ 和花费 $c_i$。我们需要选择若干武器，使得总强度 $\geq P$，且总花费 $\leq Q$。若存在多个可行方案，选择花费最小的。 2. **动态规划状态定义**：定义 `dp[j]` 表示总强度为 $j$ 时的最小花费。这里 $j$ 的最大值为 $P$，因为当总强度超过 $P$ 时，可以视为 $P$。 3. **状态转移**：对于每个武器，从后向前遍历当前所有可能的强度值 $j$，更新选择该武器后的新状态 `new_j = min(j + p_i, P)`，并检查是否更新最小花费。 4. **结果判断**：最终检查 `dp[P]` 的值是否 $\leq Q$。若是，则输出该值；否则输出 `-1`。 ### 解决代码 ```python t = int(input()) for _ in range(t): n, P, Q = map(int, input().split()) weapons = [] for _ in range(n): p, c = map(int, input().split()) weapons.append((p, c)) INF = float('inf') dp = [INF] * (P + 1) dp[0] = 0 # 初始状态，总强度为0时花费为0 for p, c in weapons: # 逆序遍历以避免重复选取 for j in range(P, -1, -1): if dp[j] != INF: if dp[j] + c > Q: continue new_j = min(j + p, P) if dp[new_j] > dp[j] + c: dp[new_j] = dp[j] + c if dp[P] <= Q: print(dp[P]) else: print(-1) ``` ### 代码解释 1. **输入处理**：读取测试用例数 `t`，每组测试用例的武器数量 `n`，目标强度 `P` 和最大花费 `Q`。 2. **初始化 DP 数组**：`dp` 数组大小为 $P+1$，初始值为无穷大（表示不可达），`dp[0]` 初始化为 0（表示总强度为 0 时花费为 0）。 3. **动态规划更新**：遍历每个武器，逆序遍历当前所有可能的强度值，避免重复选择同一武器。对于每个可能的强度 $j$，若加上当前武器后的总花费不超过 $Q$，则更新对应状态。 4. **结果判断**：检查 `dp[P]` 的值，若其 $\leq Q$ 则输出，否则输出 `-1`。 该方法通过动态规划高效地解决了问题，时间复杂度为 $O(nP)$，适用于 $n$ 和 $P$ 较大的情况。