问题 E: 算24 时间限制: 1.000 Sec 内存限制: 128 MB 题目描述 给出4个小于10个正整数，你可以使用加减乘除4种运算以及括号把这4个数连接起来得到一个表达式。现在的问题是，是否存在一种方式使得得到的表达式的结果等于24。 这里加减乘除以及括号的运算结果和运算的优先级跟我们平常的定义一致（这里的除法定义是实数除法）。 比如，对于5，5，5，1，我们知道5 * (5 – 1 / 5) = 24，因此可以得到24。又比如，对于1，1，4，2，我们怎么都不能得到24。 输入 输入数据包括多行，每行给出一组测试数据，包括4个小于10个正整数。最后一组测试数据中包括4个0，表示输入的结束，这组数据不用处理。 输出 对于每一组测试数据，输出一行，如果可以得到24，输出“YES”；否则，输出“NO”。 样例输入 Copy 5 5 5 1 1 1 4 2 0 0 0 0 样例输出 Copy YES NO 提示 用C++

<think>嗯，我现在得解决这个问题，算24点。题目是说给四个小于10的正整数，通过加减乘除和括号，看看能不能组合出24。输入的每组数据，除了最后一个全是0的，都要判断输出YES还是NO。比如样例输入里的5 5 5 1能得到24，而1 1 4 2不能。那我得想想怎么用程序来穷举所有可能的运算方式，然后判断是否有结果等于24的情况。 首先，这个问题看起来需要枚举所有可能的运算顺序和运算符组合。四个数字，顺序可以变化，中间插入不同的运算符，加上括号改变优先级，这似乎很复杂。因为四个数的排列组合很多，运算符的选择也很多，再加上括号的不同方式，直接暴力枚举可能会有很多情况需要考虑。 那如何高效地处理这个问题呢？或许可以用递归的方法，每次合并两个数，然后生成新的数，再继续合并，直到剩下最后一个数，看是否等于24。例如，四个数可以分成两步合并：先合并两个，得到三个数，再合并两个，得到两个数，最后合并成一个。在每一步合并时，需要考虑所有可能的运算符和操作数的顺序。 比如，对于四个数a, b, c, d，先选两个数比如a和b，用加减乘除合并成一个新数，比如a+b，或者a*b等，然后剩下的三个数是new_num, c, d。接着再从这三个数中选两个合并，依此类推，直到只剩一个数。这时候检查这个数是否接近24（因为可能有浮点误差）。 这里需要注意的问题有： 1. 数字的顺序：比如a和b合并时，可能有a+b和b+a两种情况，但对于加法和乘法来说，结果一样，可以不用重复计算。但对于减法和除法，顺序不同结果不同，所以需要分别考虑。 2. 运算符的选择：每个合并步骤可以选择四种运算符中的任意一种，但除法时除数不能为零。 3. 浮点数的精度问题：计算过程中可能会有小数，所以最后判断是否等于24时需要考虑一定的误差范围，比如判断是否与24的差的绝对值小于1e-6。 4. 数字的使用次数：每次合并两个数后，剩下的数需要继续处理，所以要确保每个数都被使用且只使用一次。 可能的解决步骤： - 递归或回溯：每次选择两个数进行运算，生成新的数，并继续处理剩下的数，直到剩下最后一个数。 - 对于每一步，枚举所有可能的两个数，以及所有可能的运算方式。 - 处理括号的方式其实已经被包含在运算顺序中，比如先合并哪两个数就相当于括号的优先级。 举个例子，比如四个数a, b, c, d，可能的合并方式有很多种： - 先合并a和b，得到结果x，然后合并x和c得到y，再合并y和d。 - 或者先合并c和d，得到x，然后合并a和b得到y，再合并x和y。 - 不同的合并顺序对应不同的括号结构。 因此，递归的方法可能比较适合这种情况。具体来说，可以用一个数组保存当前可用的数，每次从中选取两个数进行所有可能的运算，然后将结果放回数组中，继续递归处理。直到数组中只剩一个数时，判断是否为24。 但是，这样的递归会有很多重复的情况，需要剪枝吗？或者因为数字个数少，可能不需要太担心效率问题。因为四个数最多需要进行三次合并操作，每次合并操作的可能情况数目可能还是可以接受的。 具体来说，对于四个数： 第一次合并：选两个数，有C(4,2)=6种选法，每个选法可能有6种运算结果（加减乘除，但有些情况可能无效，比如除数为零），但实际可能更少。例如，a + b和b + a是同样的结果，所以可以减少重复计算吗？或者不，因为合并后的结果可能不同，比如a - b和b - a是不同的。所以，必须枚举所有顺序。 比如选两个数a和b，那么对于每个可能的运算，包括a + b, a - b, b - a（这可能需要吗？或者是否应该将两个数按顺序运算？比如，假设在合并两个数时，总是以第一个数作为左操作数，第二个作为右操作数。但这样可能会漏掉某些情况，比如b - a的情况。或者，应该允许交换顺序，即对于选中的两个数，可以交换顺序再进行运算？ 例如，当选中a和b时，是否需要考虑两种情况：a在前和b在前？或者，在枚举所有可能的数对时，是否已经考虑了所有顺序？ 比如，假设当前数组中有a, b, c, d。当选中a和b时，运算包括a + b，a - b，a * b，a / b（如果b不为零），以及b + a，b - a，b * a，b / a（如果a不为零）？这似乎重复，因为加法和乘法是交换律的，但减法和除法不是。所以，对于选中的两个数，需要考虑顺序，即不同的操作顺序得到不同的结果。 那这个时候，应该如何处理？比如，在每次选取两个数的时候，是否需要考虑这两个数的顺序？ 举个例子，假设数组中存在数x和y，那么合并的时候，可以选x和y，或者选y和x。或者，是否应该将所有的排列组合都考虑进去？ 例如，如果当前数组是[a, b, c, d]，那么选两个数的所有排列组合是4*3=12种可能（因为顺序不同），比如选a然后选b，或者选b然后选a。这种情况下，合并的顺序不同，会导致不同的运算结果。例如，a - b和b - a是不同的。因此，必须枚举所有的排列组合，即所有可能的顺序。 所以，在每次合并的时候，需要遍历所有可能的两数顺序，然后对每个顺序进行可能的四种运算。 那这样的话，递归的每一步需要处理的情况会很多。但四个数的情况可能还是可以处理的，因为递归的深度只有3层。 那具体来说，递归函数的参数可以是一个数组，包含当前剩下的数字。每次递归时，从数组中取出两个不同的数，进行所有可能的运算，然后生成一个新的数，将剩下的数字和新生成的数合并成一个新的数组，继续递归。当数组只剩一个数时，检查是否等于24。 但需要注意，每次取两个数的时候，要遍历所有可能的有序对，即i和j的位置不同，每个i和j的组合都要考虑。例如，在数组的索引中，遍历所有i和j（i≠j），然后取出第i个和第j个数，进行运算。然后将剩下的数（即除了i和j之外的其他数）与新生成的结果合并，形成新的数组，继续递归。 这样，每次递归调用会减少数组的大小一个（因为两个数合并成一个数）。 例如，初始数组是四个数。第一次合并后，数组变为三个数；第二次合并后，数组变为两个数；第三次合并后，数组变为一个数。这时候判断是否等于24。 如何处理这种情况？ 可能的实现步骤： 1. 递归函数，参数是当前数组的列表。 2. 如果数组的大小为1，则检查是否接近24，返回true或false。 3. 否则，遍历数组中的所有可能的有序对（i,j），其中i≠j。 4. 对于每对i,j，取出a = nums[i], b = nums[j]。 5. 生成一个新的数组，其中移除了a和b，然后添加了所有可能的运算结果（加减乘除）。 6. 对于每个可能的运算结果，递归调用函数，如果任何一次返回true，则整体返回true。 7. 如果所有情况都尝试过但都没有返回true，则返回false。 但这里需要注意，合并后的数组中需要包含剩下的其他元素加上新的运算结果。例如，原数组是nums，取i和j的元素后，剩下的元素应该是除了i和j之外的所有元素，再加上新的结果。 或者，更准确地说，当取出i和j两个元素后，剩下的元素是原数组中除了这两个以外的其他元素，然后将运算结果加入其中。例如，原数组是[a,b,c,d]，取出i=0和j=1，那么剩下的元素是 c和d，加上运算后的结果，所以新数组是 [result, c, d]。或者是否需要保持顺序？比如，原数组的元素是否顺序有影响？ 比如，对于不同的i和j的组合，合并后的数组中的顺序可能不同，但可能不需要考虑顺序，因为后面的递归处理会继续枚举所有可能的顺序。例如，合并a和b之后，得到的结果和剩下的c、d的顺序可能不影响后续的处理，因为在后续步骤中，会再次枚举所有可能的数对。 因此，在构造新数组的时候，可以取出除i和j之外的所有元素，然后将运算结果添加进去，顺序可能无关紧要，因为后面的递归处理会遍历所有可能的组合。 这样，在每次处理的时候，都需要遍历所有可能的有序对（i,j），即i和j是不同的索引，然后取出对应的两个数，然后生成所有可能的运算结果，然后递归处理新的数组。 例如，对于数组nums的当前长度是n，每次递归调用需要生成n*(n-1)种可能的数对，每个数对生成四种可能的运算结果（注意除法是否允许），然后每个结果生成新的数组，进行递归。 现在，如何处理除法的情况？比如，当运算为除法时，除数不能为零。所以在生成除法结果的时候，要检查除数是否为零，如果是，就跳过这个运算。 另外，关于运算结果的可能情况： - 加法：a + b - 减法：a - b - 乘法：a * b - 除法：a / b（当b不为零时） 此外，还有是否需要考虑b + a？比如，加法是交换的，所以a + b和b + a的结果相同，不需要重复计算。但对于减法，a - b和b - a是不同的，所以必须分别处理。不过，在当前的数对遍历方式中，如果遍历所有i和j的有序对（i≠j），那么比如当i=0，j=1时处理a和b的顺序，而当i=1，j=0时处理b和a的顺序。但这样的话，可能会重复计算某些情况，比如i=0,j=1和i=1,j=0的组合，是不是应该被当作不同的数对处理？ 举个例子，假设原数组是 [a, b, c, d]。当i=0,j=1的时候，处理的是a和b的顺序；当i=1,j=0的时候，处理的是b和a的顺序。这可能导致两个不同的运算，比如a - b和b - a。所以，必须遍历所有i和j的可能，其中i≠j。例如，在循环中，i的范围是0到n-1，j的范围是0到n-1，但i≠j。这会生成所有可能的有序对，这样每个顺序都会被处理。 所以，这一步可能需要双重循环，i从0到n-1，j从0到n-1，当i != j时，进行处理。 但是，这样的方式会导致遍历的次数较多。例如，当数组长度为4时，有4*3=12种有序对。对于每个有序对，生成四个可能的运算结果（加减乘除，其中除法要考虑除数是否为零）。 例如，对于每对i,j： a = nums[i] b = nums[j] 然后，生成： a + b → 结果加入新数组，递归 a - b → 结果加入新数组，递归 a * b → 结果加入新数组，递归 a / b → 如果b不为零，结果加入新数组，递归 此外，是否还需要处理b + a的情况？比如，如果i和j交换后，比如i=1,j=0，这时候的a是nums[1]，b是nums[0]。此时，加法的情况是b + a，即等同于a + b，所以可能会生成相同的结果。因此，在这种情况下，这样的重复是否必要？ 比如，当遍历i=0,j=1和i=1,j=0的时候，如果处理的是同一个数对的不同顺序，那么生成的加法结果是相同的。但是，这样的重复在递归过程中会被处理吗？或者是否会导致重复计算？ 这可能影响程序的效率，但因为题目中的n很小（每个测试用例最多四个数），所以可能可以接受。否则，可能需要优化，比如只处理i<j的情况，然后将两个数的顺序调换进行减法或除法。但这样可能会比较复杂。 所以，为了正确性，可能必须遍历所有i和j的有序对，即i≠j的情况，这样所有的运算顺序都被考虑到了。 现在，关于递归函数的实现： 函数原型可能类似于bool canReach24(vector<double>& nums)，其中nums是当前数组中的数值，包括浮点数（因为除法可能产生小数）。 处理步骤： 1. 如果nums的大小是1，返回是否接近24（比如abs(nums[0]-24) < 1e-6）。 2. 否则，遍历所有i和j的有序对（i≠j）。 3. 对于每个i和j，取出a = nums[i]，b = nums[j]。 4. 生成新的数组new_nums，其中包含除了i和j之外的所有元素。例如： vector<double> new_nums; for (int k=0; k<nums.size(); k++) { if (k != i && k != j) { new_nums.push_back(nums[k]); } } 5. 然后，对a和b进行加减乘除运算，生成可能的结果，并将每个结果加入到new_nums中，形成新的数组，进行递归。 例如，生成四个可能的运算结果： - a + b → new_num = a + b → 新数组是 new_nums + [new_num] - a - b → new_num = a - b → 新数组是 new_nums + [new_num] - a * b → new_num = a * b → 新数组是 new_nums + [new_num] - a / b → 如果b !=0 → new_num = a / b → 新数组是 new_nums + [new_num] 对于每个运算结果，生成一个新的临时数组，然后递归调用canReach24，如果任一返回true，则整个函数返回true。 6. 如果所有可能的运算和数对都尝试过了，但没有返回true，则返回false。 需要注意的是，每次递归调用的时候，new_nums的大小是原nums.size() -1（因为移除了两个元素，加入一个结果）。比如，原nums有4个元素，处理后是3个元素。下一次递归处理3个元素时，合并两个，得到2个，再递归处理得到1个。 这样递归下去，直到只剩一个元素。 这样的方式是否能够覆盖所有可能的运算顺序和括号情况？ 例如，考虑5*(5 - 1/5)的情况： 原数组是5,5,5,1。 可能的合并顺序是： 首先合并1和5，得到0.2。然后数组变为5,5,0.2。然后合并5和0.2，得到5-0.2=4.8。数组变为5,4.8。最后合并5*4.8=24。 所以，在递归过程中，这个路径会被覆盖吗？ 是的。因为在第一次合并时，可以选择1和5，得到0.2。然后剩下的5,5,0.2。接着合并5和0.2得到4.8，剩下的5和4.8合并得到24。 因此，递归的方法能够覆盖这种情况。 那现在，如何处理浮点数的精度问题？比如，当运算结果可能非常接近24时，比如23.9999999999或者24.000000001，应该认为这是正确的。所以在判断的时候，应该用绝对值小于一个很小的epsilon，比如1e-6。 所以，在递归函数的终止条件中，判断是否abs(nums[0] -24) < 1e-6。 另外，对于输入的四个整数，需要将它们转换为double类型来处理，因为中间结果可能为小数。 现在，如何优化递归过程？例如，当有重复的数时，可能会有重复的计算，但可能无法避免。 对于四个数来说，递归的深度是三次，每次处理的数据规模递减。所以可能不会太慢。 但需要测试，比如对于全1的情况，是否能够快速返回NO。 那现在，编写C++代码的大体思路： - 使用一个函数，接受一个vector<double>参数，判断是否能得到24。 - 对于输入的每组数据（除了全0的情况），将四个数转为double，调用该函数，输出结果。 - 注意输入的结束条件是四个0，所以当输入的四个数都为0时结束。 现在，代码结构： 读取输入的每一行，直到四个0为止。 对于每组输入： 如果四个数都是0，跳过处理。 否则，将四个数转为double，调用计算函数，输出YES或NO。 现在，编写递归函数： bool canReach24(vector<double> nums) { if (nums.size() == 1) { return fabs(nums[0] -24) < 1e-6; } int n = nums.size(); for (int i=0; i<n; ++i) { for (int j=0; j<n; ++j) { if (i == j) continue; vector<double> new_nums; for (int k=0; k<n; ++k) { if (k != i && k != j) { new_nums.push_back(nums[k]); } } double a = nums[i], b = nums[j]; // 加法 new_nums.push_back(a + b); if (canReach24(new_nums)) return true; new_nums.pop_back(); // 减法 new_nums.push_back(a - b); if (canReach24(new_nums)) return true; new_nums.pop_back(); // 乘法 new_nums.push_back(a * b); if (canReach24(new_nums)) return true; new_nums.pop_back(); // 除法 if (b != 0) { new_nums.push_back(a / b); if (canReach24(new_nums)) return true; new_nums.pop_back(); } } } return false; } 这样的代码是否正确？ 可能存在一个问题：每次循环i和j的时候，new_nums会被重复构造多次。例如，对于同一个i和j的不同运算结果，new_nums的基础部分（即除i和j外的其他元素）是相同的。所以，可以将构造new_nums的步骤提前，即在i和j的循环内部，先构造new_nums_base，其中包含除i和j外的元素。然后，对每个运算结果，生成new_nums_base加上运算结果，然后递归。 比如： for (int i=0; i <n; i++){ for (int j=0; j <n; j++){ if (i ==j) continue; vector<double> new_base; for (int k=0; k<n; k++){ if (k !=i && k !=j) new_base.push_back(nums[k]); } double a = nums[i], b = nums[j]; vector<double> temp; // 加法 temp = new_base; temp.push_back(a +b); if (canReach24(temp)) return true; // 减法 temp = new_base; temp.push_back(a -b); if (canReach24(temp)) return true; // 乘法 temp = new_base; temp.push_back(a *b); if (canReach24(temp)) return true; // 除法 if (b !=0){ temp = new_base; temp.push_back(a /b); if (canReach24(temp)) return true; } } } 这样，每个运算结果都是基于new_base加上运算结果，构造新的数组。 这似乎更有效率，因为构造new_base只需要一次。 那这个函数的递归可能正确。 但需要注意的是，当i和j的循环中，例如，i=0,j=1和i=1,j=0的情况，是否会导致重复处理？比如，假设在第一次循环中i=0,j=1，a是nums[0]，b是nums[1]，然后生成加法结果。而当i=1,j=0时，a是nums[1]，b是nums[0]，同样生成加法结果，这实际上是交换顺序后的加法。但加法是交换的，所以两次的运算结果相同，导致重复递归调用。这是否会影响性能？ 不过，对于四个数的情况，这可能不会太严重，因为每个测试用例的递归次数可能还是可以接受的。 现在，测试样例： 比如输入5 5 5 1，期望输出YES。 当递归处理这四个数的时候，需要找到合并的路径。例如： 合并1和5，得到0.2 → 数组变为5,5,0.2 → 合并5和0.2，得到4.8 → 数组变为5,4.8 → 合并5*4.8=24 → 返回true。 在递归过程中，这样的路径会被处理吗？ 是的。例如，在第一次循环中，i和j可能是第3和第0的元素（假设数组中的顺序是5,5,5,1）。假设i=3，j=0，那么取出1和5，运算得到0.2。然后，新的数组是5,5,0.2。然后递归处理这三个数。在递归的过程中，同样的方式合并，直到得到24。 另一个样例输入是1 1 4 2，期望输出NO。所有可能的组合都无法得到24。 那么，这样的递归函数是否能够处理这些情况？ 可能可以，但需要测试。 另一个问题，如何处理运算顺序的不同，比如不同的括号结构是否都被覆盖？ 例如，表达式 (a + b) * (c + d) 这样的结构是否会被递归覆盖？ 假设初始数组是a,b,c,d。假设第一次合并a和b得到a+b，同时合并c和d得到c+d。然后，合并这两个结果得到 (a+b)*(c+d)。但按照递归函数的处理方式，每次合并只能处理两个数，所以这种情况下，这种合并方式是否会被覆盖？ 例如，第一次合并a和b，得到a+b → 数组变为 [a+b, c, d]. 然后第二次合并c和d得到c+d → 数组变为 [a+b, c+d]. 第三次合并这两个得到 (a+b)+(c+d)或其他运算。所以，这样无法得到(a+b)*(c+d)的结果？ 或者，我是否漏掉了这种情况？ 比如，假设第一次合并c和d得到c+d，那么剩下的数组是 [a, b, c+d]. 第二次合并a和b得到a*b → 数组变为 [a*b, c+d]. 第三次合并这两个得到 a*b + (c+d) ? 这样，表达式是 (a*b) + (c+d) ，而不是 (a + b) * (c + d)。 哦，这似乎无法生成这样的表达式。因为递归函数的处理方式是每次合并两个数，生成一个结果，剩下的数和新结果一起处理。所以，在这种情况下，只有当两个数被合并时，生成的结果才能参与后续的合并。例如，要得到 (a+b) * (c+d)，必须在某次递归中合并a+b和c+d这两个结果。然而，在递归的过程中，这四个数必须被合并成两个中间结果，然后合并这两个中间结果。 比如，假设在第一次递归合并a和b，得到a+b → 数组变为 [a+b, c, d]。第二次合并c和d，得到c+d → 数组变为 [a+b, c+d]. 第三次合并这两个得到 (a+b) * (c+d) → 结果是否是24？ 所以，在这种情况下，递归函数会覆盖这种情况吗？ 是的。因为在递归的第二次调用时，合并c和d得到c+d，然后第三次合并这两个结果。 所以，这种情况下，递归函数能够覆盖这种情况。 所以，递归的方法能够覆盖所有可能的运算顺序，包括括号的不同结构。 那现在，这样的递归函数是正确的吗？ 可能需要更多的测试，比如考虑输入5,5,5,1的情况。 现在，编写C++代码，需要注意： - 输入的每个测试用例，读取四个整数，直到四个0为止。 - 将这四个数转为double，存入vector，调用canReach24函数。 - 输出YES或NO。 现在，关于浮点数的精度问题，比如在中间步骤可能会有很多小数，但递归的每一步都保留所有可能的精度，所以最后判断是否接近24的时候，使用epsilon比较。 现在，编写代码的大体结构： #include <iostream> #include <vector> #include <cmath> using namespace std; bool canReach24(vector<double> nums) { if (nums.size() == 1) { return fabs(nums[0] - 24) < 1e-6; } int n = nums.size(); for (int i = 0; i < n; ++i) { for (int j = 0; j < n; ++j) { if (i == j) continue; vector<double> new_nums; for (int k = 0; k < n; ++k) { if (k != i && k != j) { new_nums.push_back(nums[k]); } } double a = nums[i], b = nums[j]; // 加法 vector<double> temp_add = new_nums; temp_add.push_back(a + b); if (canReach24(temp_add)) return true; // 减法 vector<double> temp_sub = new_nums; temp_sub.push_back(a - b); if (canReach24(temp_sub)) return true; // 乘法 vector<double> temp_mul = new_nums; temp_mul.push_back(a * b); if (canReach24(temp_mul)) return true; // 除法 if (b != 0) { vector<double> temp_div = new_nums; temp_div.push_back(a / b); if (canReach24(temp_div)) return true; } } } return false; } int main() { int a, b, c, d; while (cin >> a >> b >> c >> d) { if (a == 0 && b ==0 && c ==0 && d ==0) { break; } vector<double> nums = {(double)a, (double)b, (double)c, (double)d}; if (canReach24(nums)) { cout << "YES" << endl; } else { cout << "NO" << endl; } } return 0; } 这样的代码是否能通过样例测试？ 测试第一个样例输入：5 5 5 1 → 应该输出YES。 递归函数会找到正确的路径吗？是的，如前所述。 第二个样例输入：1 1 4 2 → 输出NO。 另一个测试用例是1 2 3 4。可能的结果是24，比如 (1+2+3)*4=24，或者 1*2*3*4=24。所以，这个输入应该返回YES。 那这样的代码是否正确？ 可能需要考虑其他情况，例如，当合并两个数的顺序不同，导致不同的中间结果，但最终是否都能被覆盖。 现在，关于代码的效率问题。对于每个测试用例，递归的深度是3层。每层的循环次数： - 第一层：四个数，循环次数是4*3=12次。每个循环生成四个运算（可能更少，如果除数为零）。 对于每个循环，生成新的数组（三个元素），然后递归调用。 - 第二层：三个元素，循环次数是3*2=6次。每个循环生成四个运算，得到两个元素的数组，递归调用。 - 第三层：两个元素，循环次数是2*1=2次。生成四个运算，得到一个元素的数组，判断是否接近24。 所以，总的操作次数大约是： 第一层：12次，每个生成3元素的数组，每个可能进入第二层。 第二层：每个第一层调用可能有6次，每个生成2元素的数组，进入第三层。 第三层：每个第二层调用可能有2次，每个生成1元素，判断结果。 所以，总共有大约12*6*2 = 144次循环，每次循环有四个可能的运算。但实际数目可能更少，因为除法可能被跳过。不过，对于计算机来说，这样的计算量非常小，所以程序可以处理。 所以，这样的代码在时间限制下是可行的。 可能的优化点： - 在递归的时候，如果已经找到一种可能的路径，可以立即返回true，无需继续其他运算。 当前的代码已经这样处理，因为一旦某个递归调用返回true，函数就会立即返回true。 现在，测试样例： 样例输入1： 5 5 5 1 → 输出YES. 程序应该返回true。 样例输入2： 1 1 4 2 → 输出NO. 程序应该返回false. 另一个测试用例：1 2 3 4 → YES. 假设程序处理正确。 但是，是否存在某些情况，程序无法覆盖？ 例如，对于输入 8,8,3,3 → 应该可以得到 8/(3-8/3) = 24. 这个表达式需要合并顺序： 首先，8/3=2.666..., 3-2.666...=0.333..., 8/0.333...=24. 递归函数是否能处理这种情况？ 步骤： 原数组是8,8,3,3. 第一次合并选择3和8（顺序可能不同），得到3/8=0.375。这一步是否会被处理？ 或者，可能第一次合并选择3和3，得到3/3=1，或者3-3=0，这可能无法得到正确的路径。 或者，正确的合并步骤应该是： 合并3和8 → 3/8=0.375 → 数组变为8,3,0.375. 然后合并3和0.375 → 3 -0.375=2.625 → 数组变为8,2.625. 最后合并8/2.625=3.047...，这显然不是24。或者，可能我搞错了顺序？ 正确的运算应该是： 8/(3 - (8/3)) → 计算顺序是：先计算8/3，再计算3减去该结果，最后计算8除以这个差值。 所以，在递归处理中，需要合并的顺序是： 首先，合并8和3 → 8/3=2.666..., 数组变为8,3,2.666... ? 或者，可能原数组是8,8,3,3。第一次合并 3和3 → 3/3=1，数组变为8,8,1. 第二次合并8和1 → 8+1=9 → 数组变为8,9. 8*9=72 → 不等于24。或者，可能其他路径？ 或者，正确的路径是： 第一次合并3和8（假设是第三个和第四个元素），得到3/8=0.375 → 数组变为8,3,0.375. 然后合并3和0.375 → 3-0.375=2.625 → 数组变为8, 2.625. 最后合并8 / 2.625 = 3.047… 这不等于24。 哦，这说明我的思路可能有错误。可能正确的合并顺序应该不同？ 比如，正确的表达式是8/(3 - (8/3))。这需要三个步骤： 1. 合并8和3 → 8/3 → 剩下的数是8,3, 8/3. 2. 合并3和8/3 → 3 - (8/3) = 1/3. 3. 合并8和1/3 → 8/(1/3) =24. 那在递归函数中，这样的顺序会被处理吗？ 第一次合并：在数组8,8,3,3中，取出两个数，比如第三个3和第四个3，合并成3-3=0？这可能不是正确的路径。 或者，正确的路径是： 第一次合并选择第三个3和第一个8：得到8/3=2.666... → 数组变为8,3,2.666... 第二次合并剩下的两个元素：3和2.666... → 3-2.666=0.333... 第三次合并8和0.333... → 8/0.333=24. 所以，在递归函数中，是否会出现这样的路径？ 例如，在第一次合并时，取出第三个元素（3）和第一个元素（8）→i=2,j=0。运算得到8/3=2.666...，生成新的数组：8,3,2.666...（原数组中的其他元素是第二个8和第四个3，假设原数组是8,8,3,3。当i=2和j=0时，取出的元素是3（第三个）和8（第一个），剩下的元素是8（第二个）和3（第四个） → 对吗？或者，原数组的顺序是0-based索引，比如： 初始数组：索引0=8, 1=8, 2=3, 3=3. 当i=2, j=0 → 取出元素是3和8，剩下的元素是1号8和3号3。所以，新的数组是 [8（索引1）,3（索引3）, 3/8=0.375]。 然后，第二次递归处理数组 [8,3,0.375]. 在第二次递归调用中，可能的合并方式： 比如，合并第二个3和0.375 → 3 -0.375=2.625 → 新的数组是 [8, 2.625]. 第三次合并得到8/2.625=3.047...，不等于24。 或者，合并8和3 → 8-3=5 → 新数组是 [5, 0.375]. 合并5-0.375=4.625 → 不等于24. 这似乎没有找到正确的路径。这说明当前的递归方式可能存在遗漏？ 或者，是否应该合并不同的元素？ 比如，正确的路径需要合并第二个8和第三个3（初始数组中的索引1和2）？ 或者，原数组的顺序是否影响结果？ 或者，我是否在计算顺序上犯了错误？ 正确的表达式是8/(3 - (8/3))。其中，3是原数组中的第三个元素，8是原数组中的第一个元素吗？ 或者，原数组中的四个元素是8,8,3,3，那么如何组合？ 例如： 步骤一：选择8（索引0）和3（索引2） → 8/3=2.666... 剩下的元素是8（索引1）和3（索引3） → 新数组是 [8,3,2.666...]. 步骤二：选择3（索引1）和2.666...（索引2） → 3 -2.666...=0.333... 新数组是 [8, 0.333...]. 步骤三：8 /0.333...=24 → 正确。 那么，在递归函数中，是否可能生成这样的路径？ 在第一次递归调用时，i=0和j=2，得到8/3 → 新数组是 [8（索引1）、3（索引3）、8/3（结果）]. 然后，在第二次递归调用中，数组有三个元素：8、3、2.666... 循环i和j的可能： 例如，i=1（3），j=2（2.666...），运算得到3-2.666...=0.333... 新数组是 [8, 0.333...]. 第三次递归调用合并这两个数，得到8/0.333...=24 → 正确。 是的，这样的路径是会被处理的。所以在递归函数中，会找到这条路径。 那么，为什么在之前的分析中，似乎没有找到这个路径？可能是我在分析的时候，没有考虑到正确的i和j的索引。 这表明递归函数是正确的，能够处理这种情况。 现在，编写这样的代码是否正确？ 我认为是的。现在，代码是否能正确处理这个情况？ 是的，因为当第一次合并i=0和j=2时，生成的结果是8/3，剩下的元素是索引1和3的8和3。新数组是 [8,3,8/3]. 然后，在第二次递归时，合并3和8/3（i=1和j=2），得到3 - 8/3 = 1/3. 然后，第三次合并8和1/3，得到24。 所以，这样的代码是正确的。 综上，这个递归函数可以处理所有可能的情况，所以该方法是正确的。</think>### 问题 E: 算24 解答 #### **方法思路** 要判断四个数能否通过加减乘除和括号组合得到24，可以采用递归回溯的方法。核心思想是每次从当前数组中任选两个数进行所有可能的运算，生成新的数并递归处理，直到只剩一个数时判断是否等于24。 **关键步骤**： 1. **递归合并**：每次从数组中选取两个数进行四种运算（加减乘除），生成新的数组并递归处理。 2. **精度处理**：浮点数运算存在精度误差，判断结果时需允许一定误差（如 $|结果 - 24| < 10^{-6}$）。 3. **剪枝优化**：若某次递归已找到解，立即返回，避免冗余计算。 --- #### **解决代码** ```cpp #include <iostream> #include <vector> #include <cmath> using namespace std; const double EPS = 1e-6; bool canReach24(vector<double> nums) { if (nums.size() == 1) { return fabs(nums[0] - 24) < EPS; } int n = nums.size(); for (int i = 0; i < n; ++i) { for (int j = 0; j < n; ++j) { if (i == j) continue; vector<double> new_nums; for (int k = 0; k < n; ++k) { if (k != i && k != j) new_nums.push_back(nums[k]); } double a = nums[i], b = nums[j]; // 加法 new_nums.push_back(a + b); if (canReach24(new_nums)) return true; new_nums.pop_back(); // 减法 new_nums.push_back(a - b); if (canReach24(new_nums)) return true; new_nums.pop_back(); // 乘法 new_nums.push_back(a * b); if (canReach24(new_nums)) return true; new_nums.pop_back(); // 除法（除数不为零） if (fabs(b) > EPS) { new_nums.push_back(a / b); if (canReach24(new_nums)) return true; new_nums.pop_back(); } } } return false; } int main() { int a, b, c, d; while (cin >> a >> b >> c >> d) { if (a == 0 && b == 0 && c == 0 && d == 0) break; vector<double> nums = {(double)a, (double)b, (double)c, (double)d}; cout << (canReach24(nums) ? "YES" : "NO") << endl; } return 0; } ``` --- #### **代码解释** 1. **递归函数 `canReach24`**： - **终止条件**：若数组只剩一个元素，判断其是否接近24。 - **枚举所有数对**：通过双重循环遍历所有可能的数对（有序）。 - **生成新数组**：移除当前选中的两个数，加入运算结果后递归处理。 - **四种运算**：依次尝试加法、减法、乘法和除法（除数非零）。 2. **主函数**： - 读取输入数据，直到遇到四个0为止。 - 将整数转为浮点数后调用递归函数，输出结果。 该方法通过递归穷举所有可能的运算顺序和括号组合，确保覆盖所有情况，同时利用动态剪枝提升效率。时间复杂度为 $O(4^3 \cdot n^2)$，适用于题目给定的输入规模。