函数：编写程序实现如下功能： 定义一个函数，接受一个正整数的输入，判定其是否为素数。

<think>嗯，用户想用Python定义一个函数来判断一个正整数是否为素数。首先，我得回忆一下素数的定义：素数是大于1的自然数，除了1和它本身之外没有其他正因数的数。那基本的思路应该是，对于输入的数n，检查从2到n的平方根之间是否有能整除n的数。如果有的话，n就不是素数；否则就是素数。 不过，得先处理一些特殊情况。比如，如果n小于等于1，直接返回False，因为素数必须大于1。然后是2，这是唯一的偶数素数，可以直接返回True。对于其他偶数，可以立即判断为非素数，不需要再做进一步的检查。 接下来是循环部分。通常的做法是从3开始，每次加2，只检查奇数，这样可以减少一半的计算量。循环的上限是n的平方根，因为如果n有一个大于平方根的因数，那么对应的另一个因数一定小于平方根，所以只需要检查到平方根就可以了。这里需要注意的是，平方根需要取整，比如用int(math.sqrt(n)) + 1，因为range函数是左闭右开的。 然后要考虑代码的效率问题。比如，先判断是否为偶数，可以快速排除大部分情况。这样处理之后，剩下的数都是奇数，只需要检查奇数因数即可。另外，平方根的计算可以用math库的sqrt函数，不过要记得导入math模块。 还有，用户提到要定义一个函数，所以需要定义函数的结构，参数是正整数n。在函数内部，先处理特殊情况，然后进入循环。循环中逐个测试除数是否能整除n，如果能，则返回False，否则循环结束后返回True。 另外，可能需要考虑输入验证，但用户的问题中明确说是正整数，所以可能不需要处理非整数或负数的情况，但为了健壮性，可以添加判断，不过用户可能只需要基础功能。 现在，参考用户提供的引用内容，比如引用[2]中提到函数体只能有一条return语句，不能有控制和赋值语句。不过在这个问题中，需要多个条件判断，所以可能需要多个return，但根据用户的问题，可能不需要严格遵循引用中的限制，因为引用[2]是关于另一个函数compose1的例子，可能不适用此处。不过需要确认用户是否有其他限制，但根据问题描述，用户主要关心如何正确实现素数判断，所以可以按照常规方式编写。 综合以上思路，代码的大致结构应该是： 导入math模块，定义函数is_prime(n)，处理n<=1返回False，n==2返回True，n是偶数返回False，然后循环从3到sqrt(n)，步长2，检查是否能整除。如果找到因数返回False，否则循环结束后返回True。 测试一下例子，比如n=2是素数，n=9不是素数（3*3），n=17是素数，n=1返回False，n=4返回False。确保这些情况都能正确处理。 可能的错误点：忘记处理n=2的情况，或者循环的上限不正确，比如没有加1导致平方根为整数时漏掉情况。例如，n=9，sqrt(n)=3，如果循环到3，则3会被检查到，所以正确。但如果是n=25，sqrt(n)=5，循环到5，同样正确。因此，正确的循环范围应该是从3到sqrt(n)+1，步长2。 然后，编写代码时需要注意语法，比如正确使用math.sqrt，取整，以及range函数的参数是否正确。比如，range(3, upper_bound + 1, 2)，其中upper_bound是int(math.sqrt(n))。 最后，将代码整合成一个函数，并添加必要的注释。可能用户希望代码简洁，但也要确保可读性。比如： import math def is_prime(n): if n <= 1: return False if n == 2: return True if n % 2 == 0: return False sqrt_n = int(math.sqrt(n)) + 1 for i in range(3, sqrt_n, 2): if n % i == 0: return False return True 这样应该可以正确判断大部分情况。但需要测试边界条件，比如n=3，应该返回True；n=4返回False；n=25返回False，因为能被5整除。但上面的循环范围是从3到sqrt_n，步长2。对于n=25，sqrt(n)=5，所以sqrt_n=int(5)+1=6，循环是range(3,6,2)，即3和5。当i=5时，25%5==0，返回False，正确。 再比如n=49，sqrt是7，循环到7，检查7，49%7==0，返回False。正确。 这样看来，代码是正确的。</think>要判断一个正整数是否为素数，可以按照以下步骤实现： ### 素数判断函数实现步骤 1. **处理特殊情况**： - 所有 ≤1 的数都不是素数 - 2 是最小的素数 - 排除所有偶数 2. **试除法验证**： - 只需检查到平方根范围 - 仅测试奇数除数 ```python import math def is_prime(n): if n <= 1: return False if n == 2: return True if n % 2 == 0: return False sqrt_n = int(math.sqrt(n)) + 1 for i in range(3, sqrt_n, 2): if n % i == 0: return False return True ``` ### 代码说明 1. **特殊值处理**： - `n ≤ 1` 直接返回 `False` - `n=2` 直接返回 `True` - 排除偶数后，后续只需验证奇数除数 2. **试除优化**： - 循环范围 $3$ 到 $\sqrt{n}+1$ [^1] - 步长设为2跳过偶数 - 发现可整除立即返回 `False` ### 使用示例 ```python print(is_prime(17)) # True print(is_prime(100)) # False print(is_prime(2)) # True ``` ### 性能分析 该算法时间复杂度为 $O(\sqrt{n})$，空间复杂度 $O(1)$，比暴力算法（检查到n-1）效率提升约 $\sqrt{n}$ 倍[^1]。

代码如下： ```python def is_prime(n): if n <= 1: return False for i in range(2, int(n ** 0.5) + 1): if n % i == 0: return False return True n = int(input("请输入一个正整数：")) if is_prime(n): print("{}是素数".format(n)) else: print("{}不是素数".format(n)) ``` 运行结果示例： ``` 请输入一个正整数：17 17是素数 ``` ``` 请输入一个正整数：15 15不是素数 ```