一只经过训练的蜜蜂只能爬向右侧相邻的蜂房，不能反向爬行。请编程计算蜜蜂从蜂房a爬到蜂房b的可能路线数。其中，蜂房的结构如图所示。 image.png 输入描述 输入数据的第一行是一个整数N(1<=n<=1,000,000),表示测试实例的个数，然后是N行数据，每行包含两个整数a和b(0<a<b<50)。 输出描述 对于每个测试实例，请输出蜜蜂从蜂房a爬到蜂房b的可能路线数，每个实例的输出占一行。 用例输入 1 2 1 2 3 6 用例输出 1 1 3 用简便C语言编写

<think>好的，我现在需要解决这个问题：蜜蜂从蜂房a爬到蜂房b的可能路线数。用户希望用C语言编写一个高效的程序来处理最多1,000,000个测试用例，并且a和b的值都小于50。那么我应该怎么思考这个问题呢？ 首先，我得理解问题。蜜蜂只能向右爬行，不能反向。蜂房的结构可能像是一维排列的？或者可能像蜂巢那样六边形结构？但题目中的例子输入输出显示，比如从3到6有3种路线。那可能结构不是线性的，而是像斐波那契数列那样的递推方式？ 比如，当蜂房是排成一排的话，那每次只能走一步，所以路线数是1。但例子中当从3到6时得到3，这可能说明蜂房的结构是类似每向右可以选择不同的路径。比如，可能每个蜂房可以向右或者向右下或者右上？或者可能是像楼梯那样的结构，每个蜂房可以向右或者向右上方走？或者可能蜂房的排列是二维的，例如每个蜂房有两个相邻的右侧蜂房？或者可能结构类似于斐波那契的走法？比如，到达第n个蜂房的路线数等于前两个蜂房的路线数之和？ 比如，假设蜂房的结构是这样的：每个蜂房只能向右或者向右上走，那么路线数可能类似于斐波那契数列。例如，从a到b的可能路线数等于斐波那契数列的第(b - a)项。例如，当从1到2的时候是1步，所以斐波那契数F(1)=1？而当从3到6，差是3，所以F(3)=3？这样斐波那契数列的初始条件是F(1)=1，F(2)=2，F(3)=3，F(4)=5？或者可能需要重新观察例子。 例子中的第二个测试用例是3到6，输出3。那么b -a等于3。假设当差为3时结果是3。那斐波那契数列的第三项是3。假设斐波那契数列的递推式是F(n) = F(n-1) + F(n-2)，而初始条件是F(1)=1，F(2)=1的话，那第三项是2，不符合。或者初始条件是否是F(1)=1，F(2)=2？这样F(3)=3，F(4)=5，这样就符合例子中的情况。比如，当差为3时得到3，差为4时得到5，等等。那可能每个步骤的选择类似于爬楼梯的问题，每次可以走一步或者两步？ 或者，可能蜜蜂每次只能移动到右侧相邻的蜂房，但是蜂房的排列可能允许两种方式？例如，比如，每个蜂房可能有两个右侧的路径？或者这可能是一个斐波那契问题的变形，每一步的路线数等于前两步的和。例如，到达第n个蜂房的路线数是斐波那契数列的第n项。 这时候需要分析问题。比如，假设蜜蜂在蜂房k，那么它下一步只能走到k+1或者k+2？或者只能走到k+1？如果只能走到k+1的话，那么路线数只能是1，但例子中的第二个测试用例输出是3，所以显然不是这种情况。 那可能蜂房的排列不是线性的。比如，可能每个蜂房右侧有多个蜂房可以到达。例如，在蜂巢结构中，每个蜂房可能有两个相邻的右侧蜂房。例如，当从蜂房a到a+1，只能走一步；到a+2的可能路线数等于到a+1的路线数加上到a的路线数？这可能需要重新考虑。 比如，假设到达蜂房n的路线数f(n)等于f(n-1) + f(n-2)。这样的话，f(1)=1，f(2)=1，f(3)=2，f(4)=3，f(5)=5，f(6)=8。那当差为3的时候（比如从3到6，差是3），那路线数应该是f(3+1)？或者可能需要重新计算差值的对应关系。例如，如果从a到b的差是d = b -a，那么路线数是f(d +1)。例如，在用例输入1中的第二个测试用例，3到6，差是3，所以答案是f(4)=3。因为当差为1时f(2)=1，这样第一个用例的输出是1，对吗？ 这个时候，我需要确定正确的递推关系。假设当差为d的时候，路线数是斐波那契数列的第d+1项？或者类似的情况。 例如，假设当d=1的时候，差是1，路线数是1；d=2的时候路线数是2；d=3的时候路线数是3；d=4的时候路线数是5，等等。这符合斐波那契数列的F(2)=1，F(3)=2，F(4)=3，F(5)=5？那可能初始条件是F(1)=1，F(2)=1，F(3)=2，F(4)=3，这样递推式是F(n) = F(n-1) + F(n-2)，但初始条件可能不同？ 或者，可能当从a到b，蜜蜂每次可以选择走一步或者两步？例如，比如，当d=3时，可能的走法是： 1步+1步+1步 → 1种 1步+2步 → 两种顺序（先1后2，或者先2后1）？ 或者，这样的方式总共有3种？例如，这可能对应于斐波那契数列的第d项。例如，当d=3时，斐波那契数列的第3项是3（如果初始条件是F(1)=1， F(2)=2， F(3)=3）。这样，问题转化为求斐波那契数列的第d项，其中d = b - a。 那么，当测试用例为3到6时，d=3，结果是3。而当d=1时结果是1。那斐波那契数列的初始条件可能是这样的：F(1)=1，F(2)=1，F(3)=2，F(4)=3？或者需要重新调整初始条件？ 或者，可能路线数的递推关系是F(n) = F(n-1) + F(n-2)，其中F(1)=1， F(2)=2。例如： F(1)=1 →差为1的时候，路线数是1。 F(2)=2 →差为2的时候，有两种路线（例如，每次走一步，或者一次走两步）。 F(3)=F(2)+F(1)=3 →对应差为3的情况，路线数是3。这与第二个测试用例的情况吻合。这时候，当差为d时，路线数是F(d)，其中F(1)=1，F(2)=2，F(3)=3，F(4)=5，等等。这样，当d=3时，输出3；当d=4时，输出5，依此类推。这样，这个递推关系成立。 所以，正确的递推式应该是斐波那契数列，初始条件为F(1)=1，F(2)=2，然后之后的每个数是前两个数的和。或者，可能初始条件不同？ 或者，另一个可能性是，这个问题中的路线数等于斐波那契数列的第d+1项。例如，当d=1时，斐波那契数列的第二项是1，d=2时第三项是2，d=3时第四项是3，d=4时第五项是5。这需要看斐波那契数列的索引方式。 比如，斐波那契数列通常定义为F(0)=0，F(1)=1，F(2)=1，F(3)=2，F(4)=3，F(5)=5，F(6)=8等。但此时，对于差d=1的情况，可能对应的斐波那契数列中的项是F(2)=1；差d=3对应F(4)=3。例如，若路线数是F(d+1)，其中F(1)=1， F(2)=1， F(3)=2， F(4)=3， F(5)=5。那么，当d=3时，F(3+1)=F(4)=3。所以这可能更合适。 所以，为了找出正确的递推关系，我需要重新考虑问题中的移动方式。 假设蜂房的结构类似于这样的排列：每个蜂房的右侧有两个相邻的蜂房，或者有多个路径可以选择。例如，蜜蜂在蜂房i，可以移动到i+1或i+2，或者其他类似的选择。那么，这样的递推关系可能成立。 比如，假设蜜蜂只能向右移动，但每次可以移动一步或者两步。那么，到达蜂房n的路线数等于到达n-1的路线数加上到达n-2的路线数。这类似于斐波那契数列。此时，当从a到b的差是d时，路线数等于斐波那契数列的第d+1项。 例如，当d=1时，路线数等于1（F(2)=1）；当d=2时，有两种方式，比如两次一步或者一次两步，所以F(3)=2；当d=3时，F(4)=3。例如，用户给出的第二个用例的差是3，输出是3，符合条件。这样，斐波那契数列的索引可能需要调整。 所以，假设我们需要预先计算出斐波那契数列的值，直到d=49（因为题目中的b - a <50）。那么，对于每个测试用例，计算d = b - a，然后输出F(d)的值，其中F(1)=1， F(2)=2， F(3)=3， F(4)=5，等等？ 或者，或者，斐波那契数列的索引是F(0)=1，F(1)=1，F(2)=2，F(3)=3，这样？ 这个时候，我需要根据例子来验证： 比如，测试用例1：输入1到2，差是1。输出是1。假设此时对应的斐波那契项是F(1)=1。测试用例2：3到6，差是3，输出3，对应的斐波那契项是F(3)=3。这时候，斐波那契数列的定义可能为F(1)=1，F(2)=2，F(3)=3，F(4)=5，F(5)=8等。这符合斐波那契数列的递推式，但初始条件为F(1)=1，F(2)=2。 那么，如何得到这个数列？ 递推式：F(n) = F(n-1) + F(n-2), 初始条件F(1)=1， F(2)=2. 计算： F(1) =1 F(2)=2 →差为2时，路线数是2？ 比如，当差是2的时候，可能的路线数是否为2？例如，比如从a到a+2，可以走两步，或者走两次一步？但根据蜜蜂只能向右移动到相邻的蜂房，可能这里的蜂房结构允许不同的移动方式？ 或者，这可能与蜂房的结构有关，可能每个蜂房连接的是右侧的两个蜂房？例如，类似于这样的结构： 蜂房1可以走到蜂房2，而蜂房2可以走到蜂房3或蜂房1？这可能不太对劲。或者，可能每个蜂房只能走到下一个或者下下一个？ 这时候可能需要明确蜂房的结构。题目中提到“蜂房的结构如图所示”，但图片无法查看。所以，我需要根据用例推测结构。 比如，用例中的第二个测试用例，3到6的差是3，路线数是3。可能的情况是： 当差为3时，有3种路线。比如，对于差d=3： 可能的移动方式为： 1. 三次一步 →1种。 2. 一步+两步 →有两种排列方式（比如，先一步后两步，或者先两步后一步？但两次的移动总和是3步？或者是否允许不同的组合？） 例如，如果每次只能移动一步或两步，那么到达d=3的路线数等于： - 1+1+1 →1种 - 1+2 →两种方式？ 或者，总共有3种方式？ 例如，当差为3时，可能的路线数是3，这对应于斐波那契数列的第四项是3的情况。或者，斐波那契数列的索引可能从0开始？ 这时候可能需要重新建立递推关系。 假设当差为d时，路线数为f(d)，那么： f(1) =1 →只能一步。 f(2) =2 →两种情况：1+1，或者一次两步。 f(3)= f(2) + f(1) =3 →例如，到第三步的路线数等于到第二步的路线数（再走一步）加上到第一步的路线数（再走两步）。 所以，f(3)=3，符合用例的输出。 那么，这个递推式是正确的。因此，问题转化为计算斐波那契数列的第d项，其中初始条件为f(1)=1，f(2)=2，f(n)=f(n-1)+f(n-2)。 这样的话，对于每个测试用例，计算d = b -a，然后输出f(d)。例如： 用例1：差1 →输出1。 用例2：差3 →输出f(3)=3. 那如何计算这些值？ 由于b-a的差可能最大为49（因为b<50，a>=1），所以我们可以预先计算斐波那契数列的前50项，然后对于每个测试用例，直接查表即可。这将大大节省时间，特别是当N很大时（如1e6次查询），预处理后每次查询是O(1)的时间。 所以，步骤应该是： 1. 预先计算斐波那契数组，其中f[0]=0（占位），f[1]=1，f[2]=2，f[3]=3，f[4]=5，等等，直到f[49]。 2. 对于每个测试用例，计算d =b -a，然后输出f[d]。 现在的问题是，如何处理大数？因为当d=49时，斐波那契数可能非常大，超过long long的范围？ 例如，计算斐波那契数列到第49项： f(1) =1 f(2)=2 f(3)=3 f(4)=5 f(5)=8 f(6)=13 f(7)=21 ... f(10)= 89 f(20)= 165580141 ? 可能到f(49)时会非常大，可能会溢出C语言中的unsigned long long类型。例如，假设用64位无符号整数，最大值是18446744073709551615。我们需要计算f(49)是多少： 例如，计算斐波那契数列的项： 初始条件：f1=1, f2=2. f3 =1+2=3 f4=2+3=5 f5=3+5=8 f6=5+8=13 f7=8+13=21 f8=13+21=34 f9=21+34=55 f10=34+55=89 →f(10)=89 f(20)= 15127? 或者，需要计算到f(49): 让我们手动算几个较大的项： 例如，用递推式，我们可以得到： 假设使用递推式f(n) = f(n-1) + f(n-2)，初始f(1)=1, f(2)=2. 那么： f(1) =1 f(2)=2 f(3)=3 f(4)=5 →1+2+2？ 不，计算应该是： f(3)=f(2)+f(1) =2+1=3. f(4)=f(3)+f(2)=3+2=5. f(5)=5+3=8. f(6)=8+5=13. f(7)=13+8=21. f(8)=21+13=34. f(9)=34+21=55. f(10)=55+34=89. f(11)=89+55=144. f(12)=144+89=233. f(13)=233+144=377. f(14)=377+233=610. f(15)=610+377=987. f(16)=987+610=1597. f(17)=1597+987=2584. f(18)=2584+1597=4181. f(19)=4181+2584=6765. f(20)=6765+4181=10946. f(21)=10946+6765=17711. f(22)=17711+10946=28657. f(23)=28657+17711=46368. f(24)=46368+28657=75025. f(25)=75025+46368=121393. f(26)=121393+75025=196418. f(27)=196418+121393=317811. f(28)=317811+196418=514229. f(29)=514229+317811=832040. f(30)=832040+514229=1,346,269. f(31)=1,346,269 +832040=2,178,309. f(32)=2,178,309+1,346,269=3,524,578. f(33)=3,524,578 +2,178,309=5,702,887. f(34)=5,702,887 +3,524,578=9,227,465. f(35)=9,227,465 +5,702,887=14,930,352. f(36)=14,930,352 +9,227,465=24,157,817. f(37)=24,157,817 +14,930,352=39,088,169. f(38)=39,088,169+24,157,817=63,245,986. f(39)=63,245,986 +39,088,169=102,334,155. f(40)=102,334,155+63,245,986= 165,580,141. f(41)=165,580,141 +102,334,155=267,914,296. f(42)=267,914,296 +165,580,141=433,494,437. f(43)=433,494,437 +267,914,296=701,408,733. f(44)=701,408,733 +433,494,437=1,134,903,170. f(45)=1,134,903,170 +701,408,733=1,836,311,903. f(46)=1,836,311,903 +1,134,903,170=2,971,215,073. f(47)=2,971,215,073 +1,836,311,903=4,807,526,976. f(48)=4,807,526,976 +2,971,215,073=7,778,742,049. f(49)=7,778,742,049 +4,807,526,976=12,586,269,025. 所以，当d=49时，结果是12,586,269,025。这个数是否超过了C语言中unsigned long long的最大值？ 在C语言中，unsigned long long的最大值是18446744073709551615。而12,586,269,025显然比这个值小很多，所以可以安全地用unsigned long long存储。 因此，我们的预处理数组可以用unsigned long long类型，最大到f[49]是12,586,269,025，这在C语言中是可行的。 因此，解决方案的步骤是： 预处理一个数组fib，其中fib[i]表示当差为i时的路线数。根据递推式fib[i] = fib[i-1] + fib[i-2]，初始条件fib[1] =1，fib[2] =2。 然后，对于每个测试用例，读取a和b，计算d =b -a，输出fib[d]。 现在，如何处理输入？用户给出的输入是N个测试用例，每个用例有两个整数a和b，其中0 <a <b <50。所以，d的范围是1到48（例如，a=1，b=49的话，d=48）。 因此，预处理数组的大小需要至少到d=48+1=49？ 例如，当d的取值范围是1到49？因为当a=0（但题目中a>0），b可能到49，差为49。但根据题目中的输入限制，a和b都小于50，且a <b。所以最大的差是49-1=48？或者当a=1，b=49，则差是48？ 题目中的输入描述中给出“0 <a <b <50”，所以b最大是49。因此，最大的差是49-1=48。所以，d的取值范围是1 ≤d ≤48。所以，预处理数组只需要到d=48。 所以，例如，当d=48时，fib[48]的值是上述计算的7,778,742,049 +4,807,526,976=12,586,269,025？或者之前计算是否有错误？ 或者，我可能需要重新计算： 例如，前面计算的fib数组到d=49是12,586,269,025。所以，当d=48时，fib[48]是7,778,742,049？ 是的，根据之前的计算： fib[48] =4,807,526,976（fib[47]） +2,971,215,073（fib[46]）？或者，可能我之前的计算存在错误？ 可能需要重新计算fib数组的正确性。 让我们重新计算fib数组： fib[1] =1 fib[2] =2 fib[3]=fib[2]+fib[1] =3 fib[4]=fib[3]+fib[2}=5 fib[5]=5+3=8 fib[6]=8+5=13 fib[7]=13+8=21 fib[8]=21+13=34 fib[9]=34+21=55 fib[10]=55+34=89 fib[11]=89+55=144 fib[12]=144+89=233 fib[13]=233+144=377 fib[14]=377+233=610 fib[15]=610+377=987 fib[16]=987+610=1597 fib[17]=1597+987=2584 →2584 fib[18]=2584+1597=4181 fib[19]=4181+2584=6765 fib[20]=6765+4181=10946 fib[21]=10946+6765=17711 fib[22]=17711+10946=28657 fib[23]=28657+17711=46368 fib[24]=46368+28657=75025 fib[25]=75025+46368=121393 fib[26]=121393+75025=196418 fib[27]=196418+121393=317811 fib[28]=317811+196418=514229 fib[29]=514229+317811=832040 fib[30]=832040+514229=1346269 fib[31]=1346269 +832040=2178309 fib[32]=2178309 +1346269=3524578 fib[33]=3524578 +2178309=5702887 fib[34]=5702887 +3524578=9227465 fib[35]=9227465 +5702887=14930352 fib[36]=14930352 +9227465=24157817 fib[37]=24157817 +14930352=39088169 fib[38]=39088169 +24157817=63245986 fib[39]=63245986 +39088169=102334155 fib[40]=102334155 +63245986=165580141 fib[41]=165580141 +102334155=267914296 fib[42]=267914296 +165580141=433494437 fib[43]=433494437 +267914296=701408733 fib[44]=701408733 +433494437=1,134,903,170 fib[45]=1,134,903,170 +701,408,733=1,836,311,903 fib[46]=1,836,311,903 +1,134,903,170=2,971,215,073 fib[47]=2,971,215,073 +1,836,311,903=4,807,526,976 fib[48]=4,807,526,976 +2,971,215,073=7,778,742,049 fib[49]=7,778,742,049 +4,807,526,976=12,586,269,025 所以，当d=48时，fib[48] =7,778,742,049。这显然在unsigned long long的范围内。 因此，预处理数组可以预先计算到d=49，然后对于每个测试用例的d，直接输出对应的fib[d]。 现在，如何用C语言编写这个程序？ 步骤： 1. 预先计算fib数组，最大到d=49。 2. 读取N的值。 3. 对于每个N的测试用例，读取a和b，计算d =b -a，输出fib[d]。 但需要注意，在C语言中，处理输入输出对于1e6次测试用例可能需要较快的IO方法。例如，使用scanf和printf可能较慢，但对于题目中的N=1e6次，可能需要更快的IO方式。但用户要求用简便的C语言编写，所以可能需要用标准方法，并希望其足够快。 另一个问题，预处理数组应该如何处理？例如，在main函数之前，或者在运行时计算？ 例如： 在程序中，可以预先生成一个fib数组，其中fib[i]保存差为i时的路线数。 在代码中： #include <stdio.h> int main() { int N, a, b, d; unsigned long long fib[50] = {0}; //索引0没用，从1到49 fib[1] = 1; fib[2] = 2; for(int i=3; i<50; i++) { fib[i] = fib[i-1] + fib[i-2]; } scanf("%d", &N); while(N--) { scanf("%d %d", &a, &b); d = b - a; printf("%llu\n", fib[d]); } return 0; } 这样是否正确？ 测试用例输入1： 2 1 2 →d=1 →fib[1]=1 →输出1. 3 6 →d=3 →fib[3]=3 →输出3. 所以，程序的输出应该正确。那这个程序是否满足条件？ 需要注意几点： 1. fib数组的大小是50，索引从0到49。其中，d的取值最大是48（因为b<50，a≥1，所以b -a最多是49-1=48）。因此，循环生成到i<50时，i可以取到49，但此时fib[49]对应的是d=49的情况。然而，根据题目中的条件，b<50，所以当a=1，b=49时，d=48，此时需要fib[48]。因此，预处理数组需要计算到i=48。或者，当i循环到49，没问题，因为当d最大是48时，数组已经正确填充。 是的，因为在预处理阶段，我们循环i从3到49，这样fib数组中的fib[1]到fib[49]都被正确计算。所以，对于d=48，数组中的fib[48]是正确的。 所以，该程序应该可以正确运行。 另一个需要考虑的问题是在C语言中使用unsigned long long的输出格式是%llu。因此，printf中的格式字符串必须正确，否则会导致错误。例如，使用%llu来输出unsigned long long类型的值。 综上，这个程序应该是正确的。</think>要解决蜜蜂从蜂房 `a` 爬到蜂房 `b` 的路线数问题，可以通过斐波那契数列的递推关系高效计算。以下是具体的实现步骤： ### 方法思路 1. **问题分析** 蜜蜂只能向右爬行，路径数遵循斐波那契数列规律。假设从蜂房 `a` 到 `b` 的差为 `d`，则路径数为斐波那契数列的第 `d` 项（定义 `fib[1] = 1`, `fib[2] = 2`）。 2. **预处理斐波那契数列** 预先计算斐波那契数列的前 50 项，以便快速响应多次查询。 3. **输入输出处理** 读取输入的测试用例数 `N`，然后逐行读取 `a` 和 `b`，计算差 `d = b - a`，直接输出预计算的斐波那契数。 ### 解决代码 ```c #include <stdio.h> int main() { int N, a, b, d; unsigned long long fib[50] = {0}; fib[1] = 1; fib[2] = 2; for (int i = 3; i < 50; i++) { fib[i] = fib[i-1] + fib[i-2]; } scanf("%d", &N); while (N--) { scanf("%d %d", &a, &b); d = b - a; printf("%llu\n", fib[d]); } return 0; } ``` ### 代码解释 1. **预处理斐波那契数列** 数组 `fib` 存储斐波那契数，其中 `fib[i]` 表示从起点到距离 `i` 的路径数。初始化 `fib[1] = 1` 和 `fib[2] = 2`，后续项通过递推公式 `fib[i] = fib[i-1] + fib[i-2]` 计算。 2. **处理输入输出** - 读取测试用例数 `N`。 - 对每个测试用例，读取 `a` 和 `b`，计算差值 `d`。 - 直接查表 `fib[d]` 输出结果，时间复杂度为 $O(1)$。 该方法利用预处理和查表，确保即使在大规模测试用例下也能高效运行。