最小二乘法b样条曲线平滑路径

### 使用最小二乘法实现B样条曲线的路径平滑 #### B样条曲线基础理论 B样条曲线是由控制点定义的一类参数化曲线，在计算机图形学和几何建模中有广泛应用。对于给定一组离散的数据点，可以通过调整这些控制点来拟合一条光滑的B样条曲线。 #### 最小二乘法简介 最小二乘法是一种统计学习方法，旨在通过最小化误差平方和来估计模型的最佳函数匹配。当应用于B样条曲线时，目标是最小化实际测量值与预测值之间的差异[^1]。 #### 构造目标函数 为了应用最小二乘准则到B样条曲线上，需要构建如下形式的目标函数： \[ E(\mathbf{c})=\sum_{i=0}^{n}\left\| \mathbf{x}_i-\sum_{j=0}^{m}N_j(u_i)\cdot c_j \right\|^2 \] 其中： - \( n \) 是样本数量； - \( m \) 表示控制顶点的数量； - \( N_j() \) 代表第\( j \)个基函数； - \( u_i \) 和 \( \mathbf{x}_i \) 分别表示对应于采样位置上的参数值及其坐标向量； - \( \mathbf{c}=[c_0, ..., c_m]^T \) 则是待求解的未知数——即各阶段对应的权重系数矩阵。 该表达式的含义是在所有已知数据点处计算出由当前设定下的近似曲线所给出的位置，并将其同真实观测结果相比较；随后累加每一对偏差项并取其二次幂作为整体损失度量标准。 #### 解决方案推导过程 上述方程可以转化为线性代数问题解决。具体来说就是寻找使得E达到极小化的那一组特定条件下的权值集合C。这通常涉及到建立正规方程组并通过数值手段求得解析解或迭代逼近最优解。 ```python import numpy as np from scipy.interpolate import BSpline def least_squares_bspline(x_data, y_data, degree=3, num_control_points=None): """ 计算使用最小二乘法拟合的B样条曲线 参数: x_data (array_like): 输入X轴数据序列. y_data (array_like): 对应Y轴数据序列. degree (int): 花费次数，默认为三次多项式. num_control_points (int or None): 控制点数目; 如果设置为None，则自动确定. 返回: tuple: 包含两个元素的结果元组， 第一个是BSpline对象, 第二是用于绘制最终图像所需的所有节点数组. 注意事项: * 需要安装SciPy库才能运行此代码片段。 """ if not isinstance(degree, int) or degree < 1: raise ValueError('Degree must be a positive integer') # 自动决定控件点数目的策略 if num_control_points is None: num_control_points = min(len(x_data), max(4, round((len(x_data)+degree)/2))) tck = [] knots = np.linspace(min(x_data)-1e-6,max(x_data)+1e-6,num=len(x_data)+degree+1)[degree:-degree] basis_matrix = [] for i in range(num_control_points): temp_basis = BSpline.basis_element(knots[i:i + degree + 2]) basis_matrix.append([temp_basis(xi).item() for xi in x_data]) A = np.array(basis_matrix).transpose() b = np.vstack(y_data) control_points_y = np.linalg.lstsq(A,b,rcond=-1)[0].flatten() spline_curve = BSpline(np.pad(sorted(list(set(knots))), (0, degree+1-len(set(knots)%num_control_points)), 'edge'),control_points_y, k=degree) return spline_curve, sorted(list(set(knots))) ``` 这段Python脚本实现了利用最小二乘法对二维空间内一系列离散点集执行B样条插值得功能。这里采用了`scipy.interpolate.BSpline`来进行具体的运算操作。