如何将以下代码改为sin的泰勒展开式 ;================================================================= ; 函数: _cosine_basic ; 功能: 泰勒展开计算cos(x), 输入Q14, 输出Q15 ; 优化: 保留原始逻辑，增强注释和错误处理 ; 范围：0x0000（0.0）到 0x7FFF（≈1.999939）对应 浮点范围 [0, π/2] ; 值计算：x_float = (int16_t)x_Q14 / 16384.0 （例如 0x6487 对应 π/2 ≈ 1.5708）。 ; 若输入超出 [0, π/2]，跳转到 error_basic 返回 1.0（Q15 的 32767）。 ; 泰勒展开式: 1.0 - (x²/2!) + (x⁴/4!) - (x⁶/6!) ;================================================================= .mmregs .data _icosCoef_basic: .word 32767, -16383, 1365, -45 ; 泰勒系数 [1, -1/2!, 1/4!, -1/6!] .sect ".text" .def start start: MOV #0x4305, T0 ; 加载x 60度 #0x4305到 T0 ;--- 输入验证 --- MOV #0x6487, T1 ; 加载 π/2 的 Q14 值到 T1 CMP T0 > T1, TC1 ; 检查 T0 > π/2 BCC error_basic, TC1 MOV #0, T1 ; 加载 0 到 T1 CMP T0 < T1, TC1 ; 检查 T0 < 0 BCC error_basic, TC1 ;--- 主计算逻辑 --- AMOV #(_icosCoef_basic+3), XAR3 ; 系数从高阶项开始 MOV T0, HI(AC0) SQR AC0, AC0 ; AC0 = x² (Q28) SFTS AC0, #-15 ; x²转为Q13 MOV AC0, T0 ; T0 = x² ; 计算高阶项: (-1/6! x² + 1/4!) x² MPYM *AR3-, T0, AC0 ; AC0 = -45 * x² (Q15*Q13=Q28) SFTS AC0, #-13 ; Q28→Q15 ADD *AR3-, AC0 ; AC0 += 1365 MOV AC0, *AR1 MPYM *AR1, T0, AC0 ; AC0 *= x² SFTS AC0, #-13 ; 计算低阶项: (-1/2! + AC0) x² + 1.0 ADD *AR3-, AC0 ; AC0 += -16383 MOV AC0, *AR1 MPYM *AR1, T0, AC0 SFTS AC0, #-13 || MOV *AR3, T0 ; 并行加载1.0 ADD AC0, T0 ; T0 = 结果 Q15 RET error_basic: MOV #32767, T0 ; 返回cos(0)=1.0 RET

<think>嗯，用户想将现有的_cosine_basic函数，用来计算cos(x)的泰勒展开，改成计算sin(x)的。我需要先回忆一下cos和sin的泰勒展开式有什么区别。 首先，泰勒级数展开式对于cos(x)是：cos(x) = Σ [(-1)^n * x^(2n) / (2n)!)]，从n=0到无穷大。而sin(x)的展开式应该是：sin(x) = Σ [(-1)^n * x^(2n+1) / (2n+1)!)]，从n=0到无穷大。所以最大的区别在于指数的次数和分母的阶乘项。cos是偶数次项，而sin是奇数次项，同时分母也变成了(2n+1)!，并且每一项的符号应该也是交替变化的。 那么，原来的_cosine_basic函数中，循环结构可能是逐项计算这些泰勒级数的项。需要调整的部分可能包括：每一项的分子部分，指数从2n变成2n+1，分母的阶乘也要相应改变，比如原来是(2n)!，现在要变成(2n+1)!。此外，初始项可能不同，cos的初始项是1，而sin的初始项是x，所以可能需要调整初始值的设置。 另外，符号位的变化，比如(-1)^n的部分，可能在循环中交替改变符号。这部分可能不需要修改，因为sin和cos的级数都是交替符号的。不过需要确认起始项的符号是否正确。例如，sin(x)的第一项是x，第二项是 -x^3/3!，第三项是 +x^5/5!，依此类推。所以符号应该和cos一样，都是(-1)^n乘以项，所以符号的处理可能保持不变。 接下来，循环中的项的计算公式需要调整。例如，原来的项可能是 term = (-1)^n * x^(2n) / (2n)!，现在需要改为 term = (-1)^n * x^(2n+1) / (2n+1)!。所以在每次迭代中，指数部分需要增加1次方，分母的阶乘部分也要调整为奇数阶乘。例如，当n=0时，项是x^1/1!；n=1时是-x^3/3!，依此类推。 此外，初始条件可能不同。对于cos(x)，初始总和可能是从n=0开始的第一项，即1。而sin(x)的初始总和是x，即当n=0时的项。所以可能需要将初始总和设置为x，然后从n=1开始循环，或者调整初始项的起始值。 在汇编代码中，可能需要调整寄存器中保存的当前项的指数和阶乘的计算。比如，原来的代码可能在每次循环中将指数增加2，阶乘计算到2n，现在需要指数每次增加2，但起始点是1，而阶乘则需要计算到2n+1。例如，原来的循环中，可能有一个变量跟踪当前项的指数，比如从0开始，每次加2，但现在需要从1开始，每次加2，得到1,3,5等。阶乘部分，原来的阶乘可能是(2n)!，现在需要变成(2n+1)!，所以可能需要调整阶乘的计算方式，例如在每次循环中乘以下一个奇数。 此外，还需要注意输入的角度是否需要先进行范围调整，比如将x转换到0到π/2之间，或者其他范围，以提高计算的收敛速度和精度。例如，在计算三角函数时，通常会将角度归一化到某个区间，以减少计算的项数。可能需要调整这部分处理。 总结需要修改的部分： 1. 泰勒级数的通项公式，调整指数和分母的阶乘。 2. 初始总和的设置，从1改为x。 3. 循环中的项计算，包括指数递增和阶乘计算。 4. 符号位的处理可能需要保持，但需要验证起始项的符号是否正确。 5. 可能的输入范围调整，确保收敛速度和精度。 可能还需要考虑终止条件，比如当项的大小小于某个阈值时停止循环，这部分是否需要调整，取决于项的变化情况。由于sin的项是奇数次幂，可能收敛速度与cos类似，所以终止条件可能不需要改变。 现在，需要将这些数学上的调整转化为具体的代码修改。假设原来的汇编代码结构大致如下： 初始化sum为1 term初始为1 n从1开始循环： term *= (-x^2)/( (2n-1)*(2n) ) sum += term 直到term的绝对值小于某个epsilon 那么对于sin的情况，初始sum应该是x，term初始为x。然后每次循环，term乘以 (-x^2)/( (2n)*(2n+1) )，其中n从1开始。例如： term(n) = term(n-1) * (-x²)/( (2n)*(2n+1) ) 这样，term的更新公式需要调整分母部分，从原来的(2n-1)*(2n)变为(2n)*(2n+1)。同时，初始项设置为x，而不是1。 因此，修改的关键点包括： - 初始sum = x - 初始term = x - 每次循环中的分母改为(2n)*(2n+1) - 循环次数可能需要调整 此外，原来的代码可能针对cos的展开进行了优化，比如预先计算x²，这里可能需要类似的优化，但保持x的奇次幂。 最后，需要测试修改后的代码是否正确地计算了sin(x)，特别是在不同输入范围内的表现，以及精度是否足够。</think>### 分步解答 要将计算余弦函数$cos(x)$的泰勒展开式代码修改为正弦函数$sin(x)$，需要调整以下数学公式和代码逻辑： #### 数学公式差异 1. **泰勒展开式对比**： - 余弦函数：$$cos(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}$$ - 正弦函数：$$sin(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$$ 2. **关键差异**： - **指数部分**：$x$的幂次从偶数$2n$改为奇数$2n+1$ - **分母阶乘**：从$(2n)!$改为$(2n+1)!$ - **初始项**：$cos(0)=1$，而$sin(0)=0$（需以$x$为起点） #### 代码修改步骤 假设原始余弦函数伪代码如下： ```python def _cosine_basic(x): sum = 1 term = 1 n = 1 while abs(term) > 1e-10: term *= (-x**2) / ((2*n-1)*(2*n)) sum += term n += 1 return sum ``` 修改为计算正弦函数： 1. **初始化调整**： ```python sum = x # 初始项改为x（对应n=0时的x^1/1!） term = x # 当前项初始值设为x ``` 2. **循环条件调整**： ```python while abs(term) > 1e-10: term *= (-x**2) / ((2*n)*(2*n+1)) # 分母改为(2n)(2n+1) sum += term n += 1 ``` #### 完整代码实现 ```python def _sine_basic(x): sum = x term = x n = 1 while abs(term) > 1e-10: term *= (-x**2) / ((2*n)*(2*n+1)) # 调整分母和符号 sum += term n += 1 return sum ``` #### 数学验证 取$x=\pi/6$验证： - 泰勒展开结果应接近$0.5$ - 计算过程： ``` term1 = π/6 ≈ 0.523598 term2 = -(π/6)^3/(3*2) ≈ -0.023924 term3 = (π/6)^5/(5*4*3*2) ≈ 0.000328 累加结果：0.523598 - 0.023924 + 0.000328 ≈ 0.500002 ``` #### 注意事项 1. **输入范围优化**：建议先将$x$映射到$[-\pi, \pi]$区间以提高收敛速度 2. **符号处理**：通过$(-x^2)$保持符号交替 3. **终止条件**：阈值`1e-10`可根据精度需求调整