c++矩阵幂

### C++中矩阵幂运算的实现 在C++中，可以通过定义一个`Matrix`类来封装矩阵的操作，并通过递归或迭代的方式实现矩阵幂运算。以下是具体的实现方式： #### 定义矩阵类 为了方便操作，可以创建一个简单的`Matrix`类，支持基本的加法、乘法以及输入输出功能。 ```cpp #include <iostream> #include <vector> class Matrix { public: int size; std::vector<std::vector<int>> data; // 构造函数 Matrix(int n) : size(n), data(n, std::vector<int>(n)) {} // 矩阵乘法 Matrix operator*(const Matrix& other) const { Matrix result(size); for (int i = 0; i < size; ++i) { for (int j = 0; j < size; ++j) { result.data[i][j] = 0; for (int k = 0; k < size; ++k) { result.data[i][j] += this->data[i][k] * other.data[k][j]; } } } return result; } // 打印矩阵 void print() const { for (int i = 0; i < size; ++i) { for (int j = 0; j < size; ++j) { std::cout << data[i][j] << (j != size - 1 ? ' ' : '\n'); } } } }; ``` 上述代码实现了矩阵的基本结构及其乘法操作[^1]。 #### 计算矩阵幂 利用快速幂的思想，可以在对数时间内完成矩阵幂的计算。具体来说，如果要计算 \( P^k \)，则可以根据以下规则分解问题： - 如果 \( k \) 是偶数，则 \( P^k = (P^{k/2})^2 \)； - 如果 \( k \) 是奇数，则 \( P^k = P \times P^{k-1} \)。 下面是完整的矩阵幂函数实现： ```cpp // 快速幂算法 Matrix matrix_power(const Matrix& base, int exp) { if (exp == 0) { Matrix identity(base.size); for (int i = 0; i < base.size; ++i) { identity.data[i][i] = 1; } return identity; } else if (exp % 2 == 0) { Matrix half = matrix_power(base, exp / 2); return half * half; } else { return base * matrix_power(base, exp - 1); } } ``` 此部分代码基于递归逻辑完成了矩阵幂的高效计算。 #### 输入与输出处理 按照题目中的输入输出要求，编写主程序如下： ```cpp int main() { int n, k; std::cin >> n >> k; Matrix P(n); for (int i = 0; i < n; ++i) { for (int j = 0; j < n; ++j) { std::cin >> P.data[i][j]; } } Matrix result = matrix_power(P, k); result.print(); return 0; } ``` 这段代码读取输入并调用之前定义的功能模块，最终打印结果矩阵[^2]。 --- ### 性能分析 对于大小为\( n \times n \) 的矩阵，单次乘法的时间复杂度为 \( O(n^3) \)。由于采用了快速幂技术，总的复杂度降低到 \( O(\log(k) \cdot n^3) \)。 ---