设计一个四人表决器，3人及3人以上同意代表通过反之则被否决，用与非门实现

<think>嗯，用户让我设计一个四人表决器，要求3人或以上同意时通过，否则否决，而且必须用与非门实现。首先，我得确定这个问题的逻辑要求。四人表决器，输入是四个人的意见，每个输入有两种状态：同意（1）或不同意（0）。输出则是表决结果，当有至少三个同意时输出1，否则0。 首先，我需要列出所有可能的输入组合，然后确定对应的输出。四个输入的话，共有16种组合。然后找出其中输出为1的情况，也就是同意人数≥3的情况。这种情况包括有3个同意和4个同意的情况。接下来需要将这些情况转化为逻辑表达式。 不过，可能需要用真值表来系统地分析。真值表的输入是四个变量A、B、C、D，输出Y。当A+B+C+D ≥3时，Y=1。那么，具体来说，哪些组合满足这个条件呢？比如，当四个变量中有三个是1的时候，或者四个都是1的时候。例如，ABCD=1110，1101，1011，0111，1111等等。需要把所有这些情况列出来，然后写出对应的最小项，再合并这些最小项得到一个最简的与或表达式。 不过，题目要求用与非门实现，所以可能需要将表达式转换为与非-与非结构。通常，先得到最简的与或式，然后两次取反，并用德摩根定律转换。 但首先，我需要写出输出Y的逻辑表达式。根据真值表，当四个输入中有三个或四个为1时，Y=1。因此，Y可以表示为这些最小项的和。例如，对于四个输入，有三个同意的情况有C(4,3)=4种，四个都同意的情况有1种，所以总共有5个最小项。 具体来说，这些最小项是： - A'BCD（当A=0，B=C=D=1时） - AB'CD（当B=0，其他三个为1） - ABC'D - ABCD' - ABCD（四个都为1） 然后，Y就是这些项的逻辑或。但是，这样的表达式可能比较复杂，需要化简。不过，或许可以找到更简洁的表达式。 或者，可以考虑卡诺图来化简。四个变量的卡诺图，把输出为1的情况填入，然后找出覆盖这些1的最大可能的矩形，合并最小项。不过，可能需要画图，这里可能需要想象一下。 假设填入所有有至少三个1的情况，那么在卡诺图中，这些情况包括所有有三个或四个1的组合。卡诺图的每个格子代表一个四位二进制数，对应的十进制数。例如，当三个变量为1时，对应的十进制数可能是7（0111）、11（1011）、13（1101）、14（1110）、15（1111）等。不过，可能需要更系统的方法。 不过，或许直接写出表达式更高效。例如，当四个变量中有三个或四个为1时，可以用以下方式表达： Y = ABC + ABD + ACD + BCD 不过，这样对吗？因为当有三个变量为1时，任意三个的组合都会被覆盖。例如，ABC表示A、B、C为1，D可以是0或1，但根据原来的条件，只有当三个或四个为1时，所以ABC的组合需要D=0或者D=1。但这样表达式可能不正确，因为ABC项可能包括ABCD的情况，而ABCD已经被包含在四个变量都为1的情况里。不过，原来的表达式可能不够准确，因为它可能遗漏了D的情况。 或者，正确的表达式应该是所有三个变量的组合加上四个变量的组合。例如： Y = (A∧B∧C) ∨ (A∧B∧D) ∨ (A∧C∧D) ∨ (B∧C∧D) ∨ (A∧B∧C∧D) 但这样的话，最后一个项可以省略，因为如果四个变量都为1，那么前面的四个三变量项已经覆盖了。例如，当A、B、C、D都为1时，每个三变量项都为1，所以Y=1。因此，四个变量的情况已经被前面的四个三变量项覆盖，所以不需要单独写出来。因此，Y可以简化为四个三变量与项的或： Y = ABC + ABD + ACD + BCD 这样对吗？例如，当四个变量都为1时，这四个项中的每一个都为1，所以Y=1。当三个变量为1时，对应的三个变量组合的项也会有一个为1，所以Y=1。这样的话，这个表达式是正确的。 接下来需要将这个与或表达式转换为仅使用与非门的形式。根据数字电路的知识，任何逻辑表达式都可以转换为与非-与非形式。方法是先将表达式转换为与或式，然后两次取反，并应用德摩根定律。 例如，Y = ABC + ABD + ACD + BCD 可以写成Y = (ABC) + (ABD) + (ACD) + (BCD) 两次取反：Y = ¬¬(ABC + ABD + ACD + BCD) = ¬(¬ABC ∧ ¬ABD ∧ ¬ACD ∧ ¬BCD) 但这样可能需要用或非门，但我们需要用与非门。另一种方法是，将每个或操作转换为与非门的形式。或者，更直接的方法是对整个表达式取两次反，然后应用德摩根定律： Y = ( (ABC)' ∧ (ABD)' ∧ (ACD)' ∧ (BCD)' )' 但这样是否正确？原式是四个项的或，所以根据德摩根定律，Y = ( (ABC)' ∧ (ABD)' ∧ (ACD)' ∧ (BCD)' )' 这样，整个表达式就可以用与非门实现。因为每个项ABC可以用一个三输入与非门，然后取反，但这里可能需要分解为两输入与非门，因为通常与非门是两输入的，但题目没有说明是否允许使用多输入的与非门。假设允许使用三输入和四输入的与非门，那么可能可以直接实现，但实际中可能更常用两输入的与非门组合。 不过，题目可能希望使用两输入的与非门，因此需要将表达式转换为仅用两输入的与非门。 首先，原式Y = ABC + ABD + ACD + BCD 可能需要分解这些三输入与项。例如，ABC可以表示为 (AB) 与 C，然后每个两输入与非门加上反相器。不过，因为最终要用与非门，所以可能需要找到一种方式将每个与项转换为与非门加上反相器。 或者，考虑将整个表达式转换为与非-与非形式： Y = ABC + ABD + ACD + BCD = [ (ABC)' ∧ (ABD)' ∧ (ACD)' ∧ (BCD)' ]' 但这里每个项如ABC可以用一个三输入与非门，然后取反，得到ABC。然后四个这样的项取与非，得到最终的Y。但这样是否正确？ 假设允许使用三输入与非门，那么可以这样实现： 每个三输入与项如ABC可以表示为 (A NAND B NAND C)'，即三个输入先经过一个三输入与非门，再取反，相当于与门。不过，实际上，三输入与非门接一个反相器就相当于三输入与门。但这样需要额外的反相器，而题目要求仅用与非门，因此可能需要用两输入的与非门来构造三输入的与门。 例如，ABC可以表示为 ((A NAND B) NAND C) NAND 1，这可能不太对。或者，使用两输入与非门来构建三输入与门：ABC = (A NAND B)' NAND C)'，即先计算A NAND B，然后取反（用另一个与非门，比如将两个输入连在一起），得到A AND B，然后再与C进行NAND，再取反。这可能比较复杂，但可行。 不过，或许更简单的方式是，先将Y的表达式转换为与非-与非形式。例如，原式Y = ABC + ABD + ACD + BCD。我们可以将其转换为： Y = ( (ABC)' ∧ (ABD)' ∧ (ACD)' ∧ (BCD)' )' 这样，Y就是四个三输入与非的结果再进行一次四输入与非。因此，如果存在四输入与非门和三输入与非门，可以直接实现。但若只能用两输入与非门，就需要分解这些多输入门为两输入的组合。 例如，对于ABC，可以用两输入与非门实现：首先计算A NAND B = (AB)'，然后将其结果与C进行NAND，得到 ( (AB)' NAND C ) = (AB)C' )'，但这可能不是直接的ABC。或者，可能需要另一个步骤：例如，A NAND B得到 (AB)'，然后再与 C 进行NAND，得到 ((AB)' ∧ C)' = (AB)'' + C' = AB + C'，这显然不是ABC。所以这样不行。 因此，可能需要使用与非门来构造与门，这需要两个步骤：例如，A AND B = (A NAND B)'，即用两个与非门，第一个是A NAND B，第二个是将结果输入到与非门的两端，得到 ( (A NAND B) NAND (A NAND B) ) = (A NAND B)' 。 同理，三输入与门ABC可以通过先计算A NAND B得到 (AB)'，然后将其与C进行NAND，得到 ((AB)' NAND C) = (AB)'' + C' = AB + C'，这不对。所以正确的做法是先得到A AND B，然后与 C进行AND。所以A AND B AND C = ( (A NAND B)' AND C ) = ( ( (A NAND B)' NAND C )' ) 因此，ABC可以表示为 ((A NAND B)' NAND C)'。这需要三个两输入与非门：第一个计算A NAND B，第二个将结果取反得到A AND B，第三个将A AND B与C进行NAND，然后取反得到ABC。 所以每个三输入与项需要三个两输入与非门。然后，四个这样的项进行或操作，而或操作可以通过与非门实现，因为A + B = (A' ∧ B')'，即用与非门实现需要将A和B分别取反，然后输入到与非门。但这里Y是四个项的或，即Y = ABC + ABD + ACD + BCD = (ABC) + (ABD) + (ACD) + (BCD)，而每个项已经是与项，所以需要将这四个与项或起来。 或者，根据之前的转换，Y = ( (ABC)' ∧ (ABD)' ∧ (ACD)' ∧ (BCD)' )' 因此，可以用四个三输入与非门（每个项取反），然后四输入与非门得到最终的Y。但若只能用两输入与非门，就需要分解这些多输入门。 这可能变得非常复杂，但或许可以找到更简化的方式。 另一个思路是，观察原始表达式是否有因式分解的可能。例如： Y = ABC + ABD + ACD + BCD 可以提取公共因子，比如： Y = AB(C + D) + CD(A + B) 但不确定是否有帮助。或者，可以写成： Y = AB(C + D) + CD(A + B) 然后，C + D可以通过与非门实现，即 (C' D')' = C + D。但这样可能需要更多的步骤。 不过，可能更直接的方式是接受需要较多的与非门，并逐步构建每个部分。 回到最初的转换： Y = ABC + ABD + ACD + BCD = [ (ABC)' ∧ (ABD)' ∧ (ACD)' ∧ (BCD)' ]' 因此，若允许使用三输入和四输入的与非门，那么实现起来比较直接。每个三输入与非门生成 (ABC)', (ABD)', 等，然后四输入与非门将这些结果取反并相与，得到Y。 但题目并没有说明是否允许使用多输入的与非门，通常在实际中，可能更倾向于使用两输入的与非门来构建所有逻辑。因此，可能需要分解这些多输入门为两输入的与非门组合。 例如，对于三输入与非门，可以分解为两个两输入与非门。例如，A NAND B NAND C 可以分解为首先计算A NAND B = (AB)'，然后将结果与 C 进行NAND，得到 ((AB)' C)' = AB + C'。这显然不是三输入的与非结果，所以这可能不是正确的方法。因此，可能需要另一种方式。 正确的三输入与非门是输出为 (A ∧ B ∧ C)'。要使用两输入与非门实现三输入与非门，可以用级联的方式：首先计算A NAND B = (A ∧ B)'，然后将这个结果与 C 进行NAND，得到 ((A ∧ B)' ∧ C)' = (A ∧ B) ∨ C'。这显然不等于 (A ∧ B ∧ C)'。所以这样不行。 因此，必须寻找另一种方法。例如，三输入与非门可以通过组合多个两输入与非门来实现。例如： (A ∧ B ∧ C)' = ((A ∧ B) ∧ C)' = (A ∧ B)' ∨ C' 而根据德摩根定律，这等于 (A' ∨ B') ∨ C' = A' ∨ B' ∨ C' 但如何用两输入与非门实现这个呢？另一种方式：可以通过两次两输入与非操作。例如，首先计算A NAND B = (A ∧ B)'，然后将其与 C 进行NAND，得到 ((A ∧ B)' ∧ C)' = (A ∧ B) ∨ C'，这仍然不等于 A' ∨ B' ∨ C'。所以可能需要更多的步骤。 另一种方法：要得到 (A ∧ B ∧ C)'，可以这样做： 首先计算A NAND B = (A ∧ B)' 然后计算这个结果与 C 的或非门，即 ((A ∧ B)' ∨ C)' = (A ∧ B) ∧ C'，这也不对。 看来直接用两输入与非门实现三输入与非门并不容易。可能需要使用三个两输入与非门。例如： 要得到 (A ∧ B ∧ C)'，可以： 1. 计算A NAND B = (A ∧ B)' → S1 2. 计算 S1 NAND C → ((A ∧ B)' ∧ C)' = (A ∧ B) ∨ C' → S2 3. 计算 S2 NAND S2 → (S2)' = ((A ∧ B) ∨ C')' = (A ∧ B)' ∧ C → S3 这似乎也不对。可能我需要重新思考。 或者，或许更直接的方法是，将三输入与门用两输入与非门构建，例如： A ∧ B ∧ C = (A ∧ B) ∧ C = ((A NAND B)' ∧ C) = ((A NAND B)' NAND C')' 但这需要反相器，而反相器可以用与非门实现，例如，输入接同一个信号到两个输入端：C' = C NAND C. 因此，具体步骤： 1. 计算 A NAND B → (A ∧ B)' → S1 2. 计算 S1' → 使用S1 NAND S1 → (S1 ∧ S1)' = S1' → S2 = A ∧ B 3. 计算 C' → C NAND C → S3 = C' 4. 计算 S2 NAND S3 → (S2 ∧ S3)' = ( (A ∧ B) ∧ C' )' → S4 = (A ∧ B ∧ C')' 5. 但我们需要的是 (A ∧ B ∧ C)'，即当A、B、C都为1时输出0，否则1。而上述步骤得到的S4是当A和B为1，C为0时输出0，其他时候为1，这并不等同于三输入与非门的功能。 看来这方法行不通。或许更好的办法是接受需要使用多输入的与非门，或者寻找另一种表达式形式。 回到原始表达式Y = ABC + ABD + ACD + BCD，或许可以因式分解： Y = AB(C + D) + CD(A + B) 然后，C + D 可以表示为 (C' D')' ，而A + B 同样可以表示为 (A' B')'。这样，整个表达式可以转换为： Y = AB(C' D')' + CD(A' B')' 不过，这样可能更复杂，但或许可以用与非门实现。 例如，AB(C' D')' 可以表示为 AB ∧ (C NAND D)' 同样，CD(A' B')' 是 CD ∧ (A NAND B)' 不过，这可能需要更多的步骤。 或者，Y = AB(C NAND D)' + CD(A NAND B)' 然后，每个项可以分解为与非门组合。 不过，可能这样反而更难转换为仅用与非门的形式。 另一个思路，或许使用卡诺图来化简表达式，找到更合适的表达式形式。例如，四个变量，输出为1的情况是当有三个或四个变量为1。卡诺图中这些情况对应的格子可能形成某种模式，可以合并。 例如，四个变量卡诺图的行列排列为AB和CD，那么当有三个或四个1时，可能覆盖某些相邻的格子。不过，具体合并可能比较复杂，但或许可以找到公共因子。 例如，考虑卡诺图中的所有有三个1的情况，他们可能分布在不同的位置，但或许可以找到共同项。例如，所有有三个1的情况都包含至少三个变量为1，可能可以分解为多个项的和。 不过，可能回到原来的表达式Y = ABC + ABD + ACD + BCD，这已经是最简的与或式了，无法进一步合并。 因此，必须接受这个表达式，并将其转换为与非-与非形式。 根据之前的转换，Y = ( (ABC)' ∧ (ABD)' ∧ (ACD)' ∧ (BCD)' )' 因此，如果允许使用三输入和四输入的与非门，那么可以直接实现。每个三输入与非门生成(ABC)', 等，然后四输入与非门将这些结果组合起来，得到Y。 但若必须使用两输入与非门，则需要分解每个三输入与非门和四输入与非门为两输入的结构。 例如，三输入与非门(ABC)' 可以通过以下步骤： 1. 计算A NAND B → S1 = (A ∧ B)' 2. 计算 S1 NAND C → S2 = ((A ∧ B)' ∧ C)' = (A ∧ B) ∨ C' 但这不是(ABC)'，因为(ABC)' = A' ∨ B' ∨ C' 而S2 = (A ∧ B) ∨ C' = A ∧ B ∨ C' 这与(ABC)'不同，除非C'覆盖了其他情况。因此，这方法不可行。 所以可能需要另一种方式，比如将三输入与非门分解为多个两输入与非门和一个或非门，但题目要求只能用与非门。 这时候可能意识到，或许原始表达式可以重新整理，使得可以使用两输入的与非门结构。 例如，Y = ABC + ABD + ACD + BCD = AB(C + D) + CD(A + B) 然后，将C + D转换为与非门表达式：C + D = (C' ∧ D')' = (C NAND D)' 同样，A + B = (A NAND B)' 因此，表达式变为： Y = AB ( (C NAND D)' ) + CD ( (A NAND B)' ) 然后，AB可以表示为 (A NAND B)' ，所以： Y = (A NAND B)' * (C NAND D)' + (C NAND D)' * (A NAND B)' 不过，这可能不太对，需要重新检查。 原式Y = AB(C + D) + CD(A + B) = AB*(C+D) + CD*(A+B) 将C+D替换为 (C NAND D)'，A+B替换为 (A NAND B)'： Y = AB*(C NAND D)' + CD*(A NAND B)' 然后，AB可以表示为 (A NAND B)'，同样，CD可以表示为 (C NAND D)'： Y = (A NAND B)' * (C NAND D)' + (C NAND D)' * (A NAND B)' 这看起来重复了，可能可以简化： Y = (A NAND B)'*(C NAND D)' + (C NAND D)'*(A NAND B)' = 2*(A NAND B)'*(C NAND D)'，这显然不对，说明我在转换过程中有误。 可能更好的方法是，将AB*(C+D)转换为用与非门表达： AB*(C+D) = (A NAND B)' * (C NAND D)'' 但这里可能需要更多的步骤。 或者，考虑将整个表达式转换为与非形式： Y = AB(C+D) + CD(A+B) 可以表示为： Y = (AB(C+D))'' + (CD(A+B))'' 根据德摩根定律，这等于 ( (AB(C+D))' ∧ (CD(A+B))' )' 但这仍然需要进一步分解每个项。 AB(C+D) 可以表示为 (A NAND B)' ∧ (C NAND D)'' 同样，这可能需要更多的与非门步骤。 看来这个过程变得非常繁琐，可能我需要接受需要较多的与非门，并逐步构建每个部分。 总结一下，正确的步骤应该是： 1. 写出真值表，确定输出为1的条件。 2. 导出逻辑表达式，化简为最简与或式。 3. 将表达式转换为与非-与非形式。 4. 用与非门实现每一步。 具体步骤： 1. 真值表：四个输入A、B、C、D，输出Y。当A+B+C+D ≥3时，Y=1。共有5个最小项：1110, 1101, 1011, 0111, 1111。 2. 最简与或式：Y = ABC + ABD + ACD + BCD（四个三输入与项的或）。 3. 转换为与非-与非式：Y = ( (ABC)' ∧ (ABD)' ∧ (ACD)' ∧ (BCD)' )' 4. 用与非门实现每个三输入与项的反，然后四输入与非门。 假设允许使用三输入和四输入的与非门，那么电路图包括四个三输入与非门，每个处理ABC, ABD, ACD, BCD，然后四输入与非门连接这四个的输出，得到Y。 但若只能用两输入的与非门，则需要分解每个三输入与非门和四输入与非门为两输入的结构，这会增加门数量，但最终仍然可行。 因此，最终的电路设计步骤为： - 对每三个变量的组合（ABC, ABD, ACD, BCD），使用三输入与非门，得到它们的反相输出。 - 将这四个输出作为输入，连接到四输入与非门，得到最终的Y。 但实际中可能需要更多的与非门来分解这些多输入门。 例如，三输入与非门可以用两输入与非门构建： (A ∧ B ∧ C)' = ((A ∧ B)' ∧ C)' 即，首先计算A和B的与非，得到S1 = (A NAND B)，然后将S1与C进行与非，得到S2 = S1 NAND C = ((A ∧ B)' ∧ C)' = (A ∧ B) ∨ C'，这并不等于 (A ∧ B ∧ C)'，所以这种方法不对。 正确的方式应该是： 要得到 (A ∧ B ∧ C)'，可以这样做： 1. 计算A NAND B = (A ∧ B)' → S1 2. 计算 S1 NAND C → ((A ∧ B)' ∧ C)' = (A ∧ B) ∨ C' → S2 3. 计算 S2 NAND 1（假设存在高电平）→ S2' = (A ∧ B) ∨ C')' = (A ∧ B)' ∧ C → S3，这仍然不对。 看来无论如何，使用两输入与非门难以直接构建三输入与非门。因此，可能需要重新考虑逻辑表达式，寻找可以用两输入与非门实现的其他形式。 或者，可能我需要回到原始表达式，寻找不同的因式分解方式。 例如，Y = ABC + ABD + ACD + BCD = AB(C + D) + CD(A + B) 然后，将C+D和A+B用与非门表示： C + D = (C' D')' = (C NAND D)' A + B = (A NAND B)' 因此，Y = AB*(C NAND D)' + CD*(A NAND B)' 然后，AB可以表示为 (A NAND B)'，同理CD = (C NAND D)' 所以，Y = (A NAND B)' * (C NAND D)' + (C NAND D)' * (A NAND B)' 这似乎重复了，可能应该简化为： Y = (A NAND B)' * (C NAND D)' + (C NAND D)' * (A NAND B)' = 2*(A NAND B)'*(C NAND D)'，这显然有问题，说明我的推导有误。 可能需要重新处理： Y = AB*(C + D) + CD*(A + B) = AB*( (C NAND D)' ) + CD*( (A NAND B)' ) 然后，AB = (A NAND B)'， CD = (C NAND D)' 所以，代入得到： Y = (A NAND B)' * (C NAND D)' + (C NAND D)' * (A NAND B)' 这实际上是 Y = 2*(A NAND B)'*(C NAND D)'，显然哪里出错了。 原来正确的表达式应该是： Y = AB*(C + D) + CD*(A + B) 替换C+D和A+B： Y = AB*( (C NAND D)' ) + CD*( (A NAND B)' ) 但AB可以表示为 (A NAND B)'，同样，CD是 (C NAND D)' 所以： Y = (A NAND B)' * (C NAND D)' + (C NAND D)' * (A NAND B)' 这其实是 Y = 2*(A NAND B)'*(C NAND D)'，显然错误，说明我在因式分解时犯了错误。 正确的因式分解应该是： Y = AB(C + D) + CD(A + B) = AB*C + AB*D + CD*A + CD*B = ABC + ABD + ACD + BCD，即原来的表达式，所以这个分解是正确的。但转换为与非门时，可能并不容易。 另一个可能的途径是，将Y的表达式转换为两个因式的乘积，但暂时想不到。 或许，我必须接受需要较多的与非门，并详细列出每个步骤。 例如，Y = ABC + ABD + ACD + BCD 要将其转换为与非-与非形式： Y = ( (ABC)' ∧ (ABD)' ∧ (ACD)' ∧ (BCD)' )' 因此，每个三输入项需要一个三输入与非门，然后四输入与非门。 如果只能用两输入与非门，那么每个三输入与非门需要分解： 例如，ABC' 的实现： 1. 计算A NAND B → S1 = (A ∧ B)' 2. 计算 S1 NAND C → S2 = ((A ∧ B)' ∧ C)' = (A ∧ B) ∨ C' 3. 计算 S2 NAND S2 → S3 = S2' = (A ∧ B) ∨ C')' = (A ∧ B)' ∧ C 但这得到的是 (A ∧ B)' ∧ C，这并非我们需要的ABC项的反，即 (ABC)' = A' ∨ B' ∨ C' 因此，这种方法无法正确实现。 看来必须使用三输入与非门才能有效实现，否则电路会变得非常复杂。因此，可能在题目中允许使用多输入的与非门。 因此，最终的电路设计如下： 使用四个三输入与非门，每个门接收三个输入（如A、B、C），输出为(ABC)'，然后将这四个输出连接到一个四输入与非门，得到Y = ( (ABC)' ∧ (ABD)' ∧ (ACD)' ∧ (BCD)' )' 这样，电路由四个三输入与非门和一个四输入与非门组成。 不过，题目要求用与非门实现，所以这样的设计是符合要求的，只要允许使用多输入的与非门。 总结： 四人表决器的逻辑表达式为Y = ABC + ABD + ACD + BCD，用与非门实现需要将其转换为与非-与非形式，即Y = ( (ABC)' ∧ (ABD)' ∧ (ACD)' ∧ (BCD)' )' ，因此需要四个三输入与非门和一个四输入与非门。</think>### 四人表决器设计步骤（使用与非门实现） #### **第一步：确定逻辑功能** - **输入**：4个变量（A, B, C, D），1表示同意，0表示反对。 - **输出**：Y=1（通过）当且仅当≥3人同意，否则Y=0（否决）。 #### **第二步：列真值表** 输出Y=1的条件为以下5种组合： 1. **3人同意**：ABC=1且D=0，ABD=1且C=0，ACD=1且B=0，BCD=1且A=0。 2. **4人同意**：ABCD=1。 | A | B | C | D | Y | |---|---|---|---|---| | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | | 其他情况 | | | | 0 | --- #### **第三步：推导逻辑表达式** 将Y=1的最小项合并，得到最简与或式： $$ Y = ABC + ABD + ACD + BCD $$ --- #### **第四步：转换为与非门实现** 利用**两次取反**和**德摩根定律**，将表达式转换为与非-与非形式： 1. 原式取反： $$ Y = \overline{\overline{ABC} \cdot \overline{ABD} \cdot \overline{ACD} \cdot \overline{BCD}} $$ 2. 最终表达式： $$ Y = \left( (ABC)' \ \text{NAND} \ (ABD)' \ \text{NAND} \ (ACD)' \ \text{NAND} \ (BCD)' \right) $$ --- #### **第五步：电路设计** 使用**三输入与非门**和**四输入与非门**实现： 1. **第一层**：4个三输入与非门，分别计算： - $ (ABC)' = \text{NAND}(A, B, C) $ - $ (ABD)' = \text{NAND}(A, B, D) $ - $ (ACD)' = \text{NAND}(A, C, D) $ - $ (BCD)' = \text{NAND}(B, C, D) $ 2. **第二层**：1个四输入与非门，将上述结果合并： $$ Y = \text{NAND}\left( (ABC)', (ABD)', (ACD)', (BCD)' \right) $$ --- #### **第六步：验证逻辑功能** - 当任意3个或4个输入为1时，第一层的4个与非门中至少1个输出0，导致第二层与非门输出1（Y=1）。 - 其他情况下，第一层所有输出为1，第二层输出0（Y=0）。 --- #### **电路示意图** ``` A ──┐ B ──┼─ NAND3 ─┬─ NAND4 ─→ Y C ──┘ │ A ──┐ │ B ──┼─ NAND3 ─┤ D ──┘ │ A ──┐ │ C ──┼─ NAND3 ─┤ D ──┘ │ B ──┐ │ C ──┼─ NAND3 ─┘ D ──┘ ``` --- #### **关键点总结** 1. **逻辑化简**：通过合并最小项得到最简与或式。 2. **与非门转换**：利用德摩根定律将表达式转换为仅用与非门的形式。 3. **分层设计**：第一层处理3变量组合，第二层汇总结果。