P1009 [NOIP 1998 普及组] 阶乘之和c++

<think>好的，我现在需要解决用户关于如何用C++实现P1009 NOIP 1998普及组的阶乘之和问题。首先，我得仔细理解题目要求。题目是计算S=1!+2!+3!+…+n!，其中n的范围可能很大，导致结果超出普通整数类型的范围，所以必须使用高精度计算。 根据用户提供的引用，特别是引用[2]和引用[5]，提到n的数据范围较大，普通的unsigned long long都不够，所以必须用高精度。而且引用[5]还提到，原书中的方法只能处理n≤20的情况，而实际题目可能需要更大的处理能力。这说明直接使用普通数据类型是不行的，必须模拟手工计算的大数处理方式。 接下来，我需要回忆高精度计算的实现方法。通常，高精度计算会用数组来存储每一位数字。比如，每个数组元素代表一位数字，然后进行逐位的乘法和加法，同时处理进位。例如，计算阶乘时，每个阶乘i!可以通过前一个阶乘(i-1)!乘以i得到，这涉及到高精度乘法。然后将每个阶乘的结果累加到总和中，这又涉及到高精度加法。 现在，如何具体实现呢？根据引用[1]中的代码片段，他们使用了两个数组sum和last_sum，分别存储当前的阶乘和总和。sum数组初始化为1，因为1! =1，然后逐步乘以i得到后面的阶乘。每次计算完i!后，将其加到last_sum中，也就是总和S中。 不过引用[1]中的代码似乎是伪代码或存在错误，比如变量名可能不一致，循环变量的使用也可能有问题。例如，第一个循环里用了n作为乘数，但实际应该是循环变量i从1到n。这说明需要更仔细地设计循环结构。 正确的步骤应该是这样的：首先初始化总和数组为0，然后对于每个i从1到n，计算i的阶乘，然后将这个阶乘加到总和中。计算阶乘时，初始为1! =1，然后每次乘以i得到下一个阶乘，直到i=n。 例如，当i=1时，阶乘是1，总和变为1。i=2时，阶乘是2，总和变成1+2=3。i=3时，阶乘是6，总和是3+6=9，依此类推。每次阶乘都是前一个阶乘乘以当前的i，而每次加法需要将阶乘的每一位加到总和的对应位上，并处理进位。 需要注意的是，高精度乘法和加法的实现细节。例如，在乘法时，每个数字位乘以当前的i，然后处理进位到高位。而在加法时，每个位相加，同样处理进位。数组通常是从低位到高位存储，比如数组的第0位是个位，第1位是十位，以此类推。 另外，关于数组的大小，引用中提到使用2000位的数组，因为n的值虽然输入可能不大，但阶乘增长非常快，比如20!已经是19位，50!就有65位，所以需要足够大的数组来容纳结果。比如，题目中n可能到某个较大的值，导致阶乘之和的位数较多，所以设定一个足够大的数组长度是必要的，比如2000位。 现在，具体到代码结构。首先，需要初始化两个数组：一个用于存储当前的阶乘（比如factorial），初始为1；另一个用于存储总和（sum_result），初始为0。然后循环从1到n，每次将当前阶乘乘以i，然后将阶乘加到总和里。 例如，初始化factorial数组为1，sum_result为0。当i=1时，factorial是1，加到sum_result中，sum_result变为1。然后i=2时，factorial乘以2变为2，加到sum_result中，得到3。i=3时，factorial乘以3得到6，sum_result变为9，依此类推。 在乘法过程中，每一位都要乘以i，然后处理进位。例如，当前factorial数组中的每一位数字乘以i，加上进位，然后取模10得到当前位的值，进位则是除以10的结果。这个过程需要遍历整个数组，直到所有位数处理完毕，包括可能的最高位进位。 同样地，加法过程需要将factorial的每一位加到sum_result的对应位上，同样处理进位。进位可能来自当前位的和超过10的情况，需要将多余的进位加到高位。 此外，输出结果时需要从最高位开始找到第一个非零数字，然后逆序输出，因为数组存储的是低位在前，高位在后。例如，数组第0位是个位，第1位是十位，所以输出时应该从最高非零位开始，倒序输出每一位数字。 现在，结合引用中的例子，比如引用[1]中的代码，虽然可能有错误，但可以借鉴其结构。例如，初始化sum数组为1（可能代表阶乘的初始值），然后循环处理。但可能需要调整变量名和循环逻辑。 另外，要注意代码中的循环变量是否正确，比如在引用[1]中，第一个循环可能是在计算当前阶乘乘以i，但变量名可能写成了n，这可能是错误，应改为循环变量i。因此，代码需要调整。 总结实现步骤： 1. 初始化阶乘数组factorial为1，总和数组sum_result为0。 2. 对于i从1到n： a. 计算当前阶乘factorial = factorial * i（高精度乘法） b. 将factorial加到sum_result中（高精度加法） 3. 输出sum_result的值，注意去除前导零并按正确顺序输出。 现在，如何具体编写高精度乘法和加法的函数？ 对于高精度乘法，假设当前阶乘存储在数组factorial中，乘以i： - 遍历factorial的每一位，乘以i，并处理进位。 - 例如，初始进位carry为0。对于每一位j： temp = factorial[j] * i + carry factorial[j] = temp % 10 carry = temp / 10 - 处理完所有位后，如果carry不为0，需要将carry添加到更高位，直到carry为0。例如，若factorial数组长度为2000，可能需要循环直到j < 2000且carry不为零。 对于高精度加法，将factorial数组加到sum_result数组： - 遍历每一位，sum_result[j] += factorial[j] - 处理进位： carry = sum_result[j] / 10 sum_result[j] %= 10 sum_result[j+1] += carry 这样，每一位都处理进位。 在代码中，需要注意数组的初始化。例如，factorial数组初始时只有factorial[0] =1，其余为0。sum_result数组初始全为0。 此外，在处理阶乘时，每次i的循环，factorial数组需要乘以i，然后将结果加到sum_result中。例如，对于i=1到n： 当i=1时，factorial为1，sum_result加1，变为1。 i=2时，factorial乘以2变为2，sum_result加2，变为3。 i=3时，factorial乘以3变为6，sum_result加6，变为9，依此类推。 在代码实现中，可能需要用两个数组：一个保存当前阶乘，另一个保存总和。或者，可以每次计算阶乘后立即加到总和中。 现在，考虑C++的具体代码结构。使用数组来存储数字，每个元素代表一位，低位在前，高位在后。例如： const int MAX_LEN = 2000; // 足够大的位数 int factorial[MAX_LEN] = {0}; // 初始化阶乘数组，初始为1，所以factorial[0] =1 int sum_result[MAX_LEN] = {0}; // 初始总和为0 初始化factorial[0] =1，其余为0。sum_result全为0。 然后循环i从1到n： // 计算当前阶乘 = factorial * i int carry =0; for(int j=0; j < MAX_LEN; j++){ int temp = factorial[j] * i + carry; factorial[j] = temp %10; carry = temp /10; } // 注意这里可能carry不为0，但原代码中可能未处理，因为数组长度足够大，可能假设carry会被处理到后续位？或者需要继续处理到carry为0？ 然后，将factorial数组加到sum_result中： carry =0; for(int j=0; j < MAX_LEN; j++){ sum_result[j] += factorial[j] + carry; carry = sum_result[j] /10; sum_result[j] %=10; } // 这里可能有错误，应该先加factorial[j]，然后处理进位。或者应该分开处理加法进位？ 或者正确的加法步骤应该是： 对于每一位j，sum_result[j] += factorial[j]，然后处理进位： int carry_add =0; for(int j=0; j < MAX_LEN; j++){ int temp = sum_result[j] + factorial[j] + carry_add; sum_result[j] = temp %10; carry_add = temp /10; } 这样，每次加法都处理进位，直到所有位处理完毕。 现在，结合这些步骤，编写C++代码的大纲： #include <iostream> using namespace std; const int MAX_LEN = 2000; int main() { int n; cin >> n; int factorial[MAX_LEN] = {0}; factorial[0] = 1; // 初始为1! =1 int sum_result[MAX_LEN] = {0}; for(int i=1; i<=n; i++) { // 计算阶乘 *=i int carry_mul =0; for(int j=0; j<MAX_LEN; j++) { int temp = factorial[j] * i + carry_mul; factorial[j] = temp %10; carry_mul = temp /10; } // 将阶乘加到sum_result中 int carry_add =0; for(int j=0; j<MAX_LEN; j++) { int temp = sum_result[j] + factorial[j] + carry_add; sum_result[j] = temp %10; carry_add = temp /10; } } // 输出结果，找到最高位非零的位置 int high_pos = MAX_LEN -1; while(high_pos >0 && sum_result[high_pos] ==0) high_pos--; for(int j=high_pos; j>=0; j--) { cout << sum_result[j]; } cout << endl; return 0; } 不过，这里可能存在几个问题： 1. 阶乘的计算是否正确？例如，当i=1时，初始的factorial是1，乘以i=1，得到1，正确。然后i=2，乘以2得到2，正确。但是在循环中，每次都是将当前的factorial乘以i，而i在循环中是递增的。例如，当i=1时，计算的是1!，当i=2时，乘以2得到2!，对吗？ 是的，因为初始的factorial是1!（i=1时），然后i从1到n，每次循环处理i+1？或者可能循环变量的逻辑有问题？ 比如，当i=1的时候，计算的是1!吗？ 初始时，factorial数组是1，对应1!。在循环中，i从1到n： 第一次循环i=1，将factorial乘以1，得到1!，然后加到总和中。这样总和是1!。然后i=2，乘以2得到2!，加到总和，总和是1!+2!。这样对吗？ 不对，因为循环变量i应该从1到n，计算i的阶乘，然后加到总和。但当前的做法是，在循环中，每次乘以i，这样得到的是i!，对吗？ 比如，初始factorial是1（对应1!）。当i=1时，乘以1，得到1!，加到总和中。然后i=2，乘以2，得到2!，加到总和中。然后i=3，乘以3，得到3!，依此类推。是的，所以这样循环是正确的，i的取值从1到n，每次计算i!，并加到总和中。因此，代码的逻辑是对的。 另一个问题：当计算阶乘时，如果数组长度足够大，比如MAX_LEN=2000，是否能够处理大数？例如，当i很大时，阶乘的位数是否超过2000位？题目中的n的范围可能很大，例如n=100，此时100!有158位，所以2000位足够处理较大的n。引用[5]提到原题数据可能n较大，所以需要足够大的数组。 接下来，测试代码是否正确。例如，当n=3时，总和应该是1!+2!+3! =1+2+6=9。代码中sum_result最后应该是9，即数组的第0位是9，其他为0。输出应该是9。 另一个测试，n=1时，输出1；n=2时，输出3；n=3时，输出9；n=4时，1+2+6+24=33。检查代码是否能够正确得到这些结果。 可能存在的问题：在加法步骤中，是否每次都将当前的阶乘加到总和里？例如，当i=1时，阶乘是1!，总和加上1!，正确。当i=2时，阶乘是2!，总和加上2!，正确。是的。 现在，另一个问题，当计算阶乘时，如何处理进位？例如，当阶乘乘以i时，是否处理了所有可能的进位？当前的代码中，循环到MAX_LEN次，所以如果数组足够大，应该可以处理所有进位。 例如，假设当前阶乘数组的每一位都被处理，乘以i后，进位被传递到下一位。例如，当计算5!时，当前数组是24（即数组为[4,2,0,...]），乘以5时： 4*5=20，进位是2，数组[0, 2+2*5=12？或者，原数组的每一位都要乘以i加上进位。 哦，原代码中的乘法步骤是： carry_mul初始为0。 对于每个j，temp = factorial[j] * i + carry_mul factorial[j] = temp%10 carry_mul = temp/10 例如，初始factorial数组是[4,2,0,...]，即24。 i=5时： j=0: temp =4*5 +0=20 → factorial[0]=0, carry_mul=2 j=1: temp =2*5 +2=12 → factorial[1]=2, carry_mul=1 j=2: temp=0*5 +1=1 → factorial[2]=1, carry_mul=0 后面的j>=3时，temp=0，carry_mul=0，所以数组变成[0,2,1,0,...]，即120，正确，即5! =120。 所以乘法处理正确。 加法步骤是否正确？ 假设当前sum_result是前一次的总和，比如3（即数组[3,0,...]）。现在需要加6（数组[6,0,...]）： 加法循环中，j=0时，sum_result[0] =3+6=9，carry_add=0 → 9%10=9，carry=0。 后面的位都是0，所以总和数组变成[9,0,...]，正确。 另一个例子，当阶乘是24（数组[4,2,0,...]），加到总和数组中原来的3（数组[3,0,...]）： 加法后sum_result[0] =3+4=7，sum_result[1]=0+2=2 → 数组是[7,2,0,...]，即27，正确。 所以加法处理正确。 综上所述，代码逻辑是正确的。但需要测试是否处理进位完全正确，尤其是在乘法后的进位是否处理到位。例如，在乘法循环中，当j循环到MAX_LEN-1时，如果还有进位，是否会溢出？例如，如果carry_mul在循环结束后仍有值，则数组后面的位置会被覆盖吗？ 例如，假设MAX_LEN=3，计算阶乘到4!，即24，然后乘以i=5，得到120。数组长度为3，此时j循环到0,1,2： j=0: 4*5=20 → 余数0，进位2 → factorial[0]=0 j=1: 2*5=10 +2=12 →余数2，进位1 → factorial[1]=2 j=2: 0*5 +1=1 →余数1，进位0 → factorial[2]=1 此时carry_mul=0，循环结束。数组为[0,2,1]，即120，正确。 如果MAX_LEN不够大，比如阶乘的位数超过数组长度，则会导致错误。因此，必须保证数组足够大。 综上，用户的问题需要实现高精度的阶乘之和，而上述代码可以正确实现。同时，需要注意数组的大小是否足够，比如题目中的n可能到多大的值。根据引用中的信息，例如引用[5]提到原书中的n=20无法通过，可能原题的n更大，所以需要足够大的数组。设置MAX_LEN为2000应该足够。 现在，用户可能还需要输出格式的问题，比如前导零是否需要去除。例如，在输出时，从最高位开始寻找第一个非零数字，然后输出之后的所有数字。代码中的处理是正确的，即从高位向低位找第一个非零位，然后逆序输出。 因此，最终的代码应该如上述结构，并处理这些情况。</think>### C++实现阶乘之和问题（P1009 NOIP 1998普及组） #### 问题分析 题目要求计算 $S = 1! + 2! + 3! + \dots + n!$，其中 $n$ 的范围较大（例如 $n \leq 50$ 时，$50! \approx 3.04 \times 10^{64}$），直接使用普通整型会溢出，因此需通过**高精度计算**模拟手工运算[^2][^5]。 #### 实现思路 1. **高精度乘法**：用数组存储阶乘的每一位，逐位计算并处理进位。 2. **高精度加法**：将每个阶乘的结果累加到总和中，同样处理进位。 3. **数组设计**：数组低位存储数字低位（例如 `factorial[0]` 存储个位），便于扩展位数。 #### 代码实现 ```cpp #include <iostream> using namespace std; const int MAX_LEN = 2000; // 足够存储大数结果 int main() { int n; cin >> n; int factorial[MAX_LEN] = {0}; // 存储当前阶乘 factorial[0] = 1; // 初始化为1! = 1 int sum_result[MAX_LEN] = {0}; // 存储总和 for (int i = 1; i <= n; i++) { // 计算当前阶乘: factorial *= i int carry_mul = 0; for (int j = 0; j < MAX_LEN; j++) { int temp = factorial[j] * i + carry_mul; factorial[j] = temp % 10; carry_mul = temp / 10; } // 将当前阶乘加到总和中 int carry_add = 0; for (int j = 0; j < MAX_LEN; j++) { int temp = sum_result[j] + factorial[j] + carry_add; sum_result[j] = temp % 10; carry_add = temp / 10; } } // 输出结果（去除前导零） int high_pos = MAX_LEN - 1; while (high_pos > 0 && sum_result[high_pos] == 0) { high_pos--; } for (int j = high_pos; j >= 0; j--) { cout << sum_result[j]; } return 0; } ``` #### 代码说明 1. **初始化**：`factorial` 数组初始化为 $1$（对应 $1!$），`sum_result` 初始化为 $0$。 2. **阶乘计算**：通过逐位乘法更新 `factorial`，处理进位。 3. **累加操作**：将当前阶乘逐位加到 `sum_result`，处理进位。 4. **输出优化**：从最高非零位开始逆序输出，避免前导零。 #### 示例测试 - 输入 `n=3`，输出 `9`（$1! + 2! + 3! = 1 + 2 + 6 = 9$）。 - 输入 `n=4`，输出 `33`（$1 + 2 + 6 + 24 = 33$）。 ---