M. 多重背包（1） 题目描述 有 � N 种物品和一个容量是 � V 的背包。 第 � i 种物品最多有 � � s i ​ 件，每件体积是 � � v i ​ ，价值是 � � w i ​ 。 求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。 输出最大价值。 输入 第一行两个整数， � N， � V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。 接下来有 � N 行，每行三个整数 � � , � � , � � v i ​ ,w i ​ ,s i ​ ，用空格隔开，分别表示第 � i 种物品的体积、价值和数量。 数据范围： 0 < � , � ≤ 100 0<N,V≤100, 0 < � � , � � , � � ≤ 100 0<v i ​ ,w i ​ ,s i ​ ≤100。 输出 输出一个整数，代表最大价值。 样例

<think>好的，我现在需要解决用户关于多重背包问题的动态规划算法实现的问题。首先，我需要回忆一下多重背包问题的定义和动态规划的基本思路。多重背包问题与01背包和完全背包不同，每种物品有数量限制，不能无限取也不能只取一次。用户提供的引用内容提到，可以使用类似完全背包或01背包的方法来修改解决，所以我要先理清这两种方法的区别。 首先，多重背包的状态定义通常是dp[i][j]，表示前i个物品在容量j下的最大价值。状态转移方程需要考虑物品的数量限制。对于每个物品i，最多可以选s次，所以在状态转移时，需要遍历选取0到s个的情况，取最大值。这可能涉及到三层循环：物品、容量、数量。但这样的话时间复杂度会很高，尤其是当s很大时。不过用户提到的引用[3]提到有两种解法，一种是基于完全背包的修改，另一种是基于01背包的修改。这里可能需要展开这两种方法。 另外，用户提供的引用[1]和[3]都提到了状态转移方程，但具体方程可能有所不同。比如，引用[1]的状态转移方程可能类似于dp[j] = max(dp[j], dp[j - k*weight[i]] + k*value[i])，其中k是选取的数量，不超过s_i且k*weight[i] <= j。这需要三层循环：物品i、容量j从大到小遍历，然后k从0到最大可能数量。或者，是否有优化的方法，比如二进制拆分，将多重背包转化为01背包问题，这样可以减少物品数量，从而降低时间复杂度。这可能是在第二种解法中提到的基于01背包的修改。 现在，我需要整理这些思路，确定如何一步步解释动态规划的实现。首先，明确问题定义：有N种物品，每种物品有重量weight[i]、价值value[i]、数量s[i]。背包容量为V，求最大价值。接下来，动态规划的状态定义，可能是一维数组dp[j]，或者二维数组。考虑到空间优化，通常会用一维数组，类似01背包的处理方式。 然后，状态转移方程。对于每个物品i，遍历背包容量j从大到小（因为是01背包的思路，每个物品选多次需要正序，但这里可能因为数量限制需要不同的处理）。或者，当使用二进制拆分时，将每个物品拆分为多个二进制组合的物品，转化为01背包问题，这样可以应用01背包的一维数组解法。 但用户要求的是动态规划的实现，所以可能需要先讲解基础的三层循环方法，再介绍优化方法。比如，基础方法是对于每个物品i，每个容量j，遍历选0到s[i]个该物品的情况，找到最大价值。但这的时间复杂度是O(N*V*S)，可能较高。然后，可以讲解二进制优化的方法，将每个物品拆分为多个二进制项，转化为01背包问题，这样时间复杂度降为O(N*V*logS)。 接下来，我需要编写具体的算法步骤。例如，对于基础解法： 初始化dp数组为0，容量从0到V。 遍历每个物品i： 遍历容量j从V到weight[i]（逆序）： 遍历k从1到s[i]，并且k*weight[i] <= j： dp[j] = max(dp[j], dp[j - k*weight[i]] + k*value[i]) 不过，这可能有问题，因为逆序遍历容量时，如何同时处理多个k的情况。或者，可能需要正序遍历k，但这样可能会重复计算。或许基础的三层循环是按每个物品的数量逐个处理，类似01背包的扩展，把每个物品的s个数量当作s个不同的物品，但这样时间复杂度很高，尤其是当s很大时。因此，二进制优化是更高效的方法，将s拆分为1,2,4,...,2^k的数，使得这些数的组合可以组成1到s的任意数量，从而转化为01背包问题。 例如，将物品i的数量s拆分为二进制数，比如s=7，拆为1,2,4，这样可以用这三个数组合出0-7的任何数量。这样每个物品被拆分为log2(s)个新物品，每个新物品的数量为1，重量和价值对应原来的k倍。然后，对这些新物品使用01背包的方法处理。 接下来，我需要考虑如何将这些步骤转化为代码。例如，二进制拆分的实现：对于每个物品i，计算其s的数量，然后进行拆分，生成新的物品列表。然后对这些新物品应用01背包的动态规划。 用户提供的引用中有提到多重背包问题的两种解法，所以可能需要分别说明这两种方法，并给出对应的代码示例。例如，基于数量遍历的基础解法和基于二进制优化的解法。 另外，需要注意代码的正确性，比如循环的顺序、数组的初始化等。例如，在基础解法中，是否应该逆序遍历容量，或者正序。这里可能需要类似01背包的逆序，因为每个物品的数量有限，不能重复选取多次，但实际在基础解法中，每个物品i的处理可能允许选取多个，但不超过s次，所以可能需要不同的处理方式。或者，是否应该将每个物品的k个选取视为不同的情况，逐个处理，这可能需要正序或逆序。 比如，当处理物品i时，对于每个可能的k（1到s），然后更新dp[j]。但这里可能需要调整循环的顺序，比如先遍历物品，再遍历容量，再遍历k。或者，另一种方式是将k的循环合并到容量循环中，类似完全背包的处理，但需要考虑数量限制。 这个时候可能需要参考引用中的状态转移方程。引用[1]中提到状态转移方程是dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j - k*weight[i]] + k*value[i])，其中k的范围是0到s[i]。这可能对应于二维数组的情况。但为了优化空间到一维数组，可能需要逆序遍历容量，类似于01背包的处理，因为每个物品只能选有限次，所以每次处理时，需要保证之前的状态不被覆盖。 例如，使用一维数组的解法，遍历每个物品i，然后逆序遍历容量j从V到weight[i]，然后在内层循环中遍历k的数量，从1到s[i]，但此时可能需要比较不同的k值。不过这样可能还是会有问题，因为k的多个取值可能需要多次比较。 或者，另一种思路是，对于每个物品i，在容量j的情况下，最多可以放入t = min(s[i], j//weight[i])个该物品。因此，dp[j] = max(dp[j - k*weight[i]] +k*value[i])，其中k从0到t。这需要对于每个j，找到最大的k值对应的dp[j -k*weight] +k*value，这可能需要遍历k的所有可能值，导致O(NVS)的时间复杂度。这在物品数量多时可能不高效，所以需要优化。 这时，二进制优化的方法就能派上用场，将每个物品拆分为多个二进制组合的物品，转化为01背包问题，从而将时间复杂度降为O(NV logS)。 现在，我需要将上述思路整理成步骤，并给出对应的代码实现。例如，首先讲解基础的三层循环方法，然后介绍二进制优化的方法，并给出Python代码示例。 在代码实现中，需要注意输入格式，比如物品的重量、价值、数量如何输入，背包容量是多少。例如，可以假设输入为一个列表，每个元素是(weight, value, s)。然后，对于二进制优化，需要处理每个物品的数量，拆分为二进制数，并生成新的物品列表，每个新物品的weight和value是原物品的k倍，数量为1。然后，对新的物品列表应用01背包的动态规划。 例如，二进制拆分的函数可能如下： def binary_split(items): new_items = [] for w, v, s in items: k = 1 while k <= s: new_items.append((w * k, v * k)) s -= k k *= 2 if s > 0: new_items.append((w * s, v * s)) return new_items 然后，对new_items进行01背包的处理： 初始化dp数组为0，容量V。 对于每个新物品的w, v in new_items: for j in range(V, w-1, -1): dp[j] = max(dp[j], dp[j -w] +v) 这样就能得到最大价值。 而基础解法的代码可能如下： 初始化dp数组为0。 for i in range(n): w, v, s = items[i] for j in range(V, w-1, -1): k = 1 while k <= s and j >= k * w: dp[j] = max(dp[j], dp[j -k*w] +k*v) k += 1 不过，这可能不正确，因为逆序容量循环中，每个k的处理可能没有正确更新。或者，可能应该对每个k进行单独处理，但这样时间复杂度很高。或者，另一种方式是使用滑动窗口或其他优化方式来减少时间复杂度，但基础解法可能确实需要三层循环。 因此，在回答中需要明确说明两种方法的不同，以及它们的优缺点。例如，基础解法适用于小规模数据，而二进制优化适用于大规模数据，因为时间复杂度更低。 总结，我需要分步骤解释多重背包的动态规划实现，包括状态定义、状态转移方程、基础解法和二进制优化的实现，并提供相应的代码示例。同时，根据用户提供的引用内容，引用相关的知识点，比如状态转移方程，并在回答末尾生成相关问题。</think>### 多重背包问题的动态规划实现 #### 问题定义 给定 $N$ 种物品，第 $i$ 种物品的重量为 $w_i$，价值为 $v_i$，数量为 $s_i$。背包容量为 $V$，求在不超过背包容量的前提下，能装入物品的最大总价值。 --- #### 基础动态规划解法（三层循环） 1. **状态定义** 设 $dp[j]$ 表示容量为 $j$ 的背包能装下的最大价值。 2. **状态转移方程** 对于每个物品 $i$，遍历容量 $j$ 从大到小（类似01背包逆序），并枚举选取该物品的数量 $k$（$1 \leq k \leq \min(s_i, \lfloor j/w_i \rfloor)$）： $$ dp[j] = \max\left(dp[j], \ dp[j - k \cdot w_i] + k \cdot v_i\right) $$ 3. **时间复杂度** $O(N \cdot V \cdot S)$，适用于 $S$ 较小的场景。 4. **代码实现** ```python def multiple_knapsack(N, V, items): dp = [0] * (V + 1) for i in range(N): w, v, s = items[i] for j in range(V, w - 1, -1): k_max = min(s, j // w) for k in range(1, k_max + 1): if j >= k * w: dp[j] = max(dp[j], dp[j - k * w] + k * v) return dp[V] ``` --- #### 二进制优化解法（转化为01背包） 1. **优化思路** 将每个物品的 $s_i$ 个数量拆分为二进制组合（如 $1, 2, 4, ..., 2^k$），使得任意 $1 \leq k \leq s_i$ 可由这些数组合得到。例如，$s_i=7$ 拆分为 $1+2+4$。此时总物品数降为 $O(N \log S)$。 2. **代码步骤** - **拆分物品**：生成新物品列表，每个新物品对应二进制组合的倍数。 - **应用01背包**：对新物品使用01背包的动态规划。 3. **时间复杂度** $O(N \cdot V \cdot \log S)$，显著优于基础解法。 4. **代码实现** ```python def binary_knapsack(N, V, items): # 二进制拆分生成新物品列表 new_items = [] for w, v, s in items: k = 1 while k <= s: new_items.append((w * k, v * k)) s -= k k *= 2 if s > 0: new_items.append((w * s, v * s)) # 01背包动态规划 dp = [0] * (V + 1) for w, v in new_items: for j in range(V, w - 1, -1): dp[j] = max(dp[j], dp[j - w] + v) return dp[V] ``` --- #### 对比与引用 - **基础解法**直接遍历物品数量，逻辑简单但效率低[^3]。 - **二进制优化**通过数学技巧降低时间复杂度，是实际应用中的首选方法[^1]。 ---