染染船长，扬帆起航！ 在一系列准备工作做完后，染染的船终于出发了。 没过多久，染染就来到了一片复杂的海洋。这片海洋可以看成一个n×m 的网格，网格上的每个格点代表了一片海域。直线通过第 i 行第 j 列的海域需要花费 ti,j ​的时间。除此之外，如果需要转向，还需要额外花费 di,j的时间，当然不管向左转向右转还是掉头都需要额外花费di,j的时间。也就是说，如果要通过第 i 行第 j 列的海域并且中途转向，则需要花费 ti,j+di,j的时间。 规定右方向为列增加的方向，下方向为行增加的方向。染染一开始向右驶入了这片海洋第 1 行第 1 列的海域，他想要从第 n 行第 m 列的海域向下驶出这片海洋，最快需要花费多少时间？注意，通过这片海洋第 1 行第 1 列的海域和第 n 行第 m 列的海域花费的时间也要计算。 本题单个测试点内包含多组测试数据。输入第一行一个正整数 T (1≤T≤20)，表示数据组数。每组数据第一行两个正整数 n,m (1≤n×m≤1e5)，分别表示这片海洋的行数和列数。接下来 n 行，第 i 行m 个非负整数 ti,1,ti,2,⋯,ti,m(0≤ti,j≤1e9)，表示直线通过的时间花费。接下来n 行，第i 行m 个非负整数 di,1,di,2,⋯,di,m(0≤di,j≤1e9)，表示转向的时间花费。保证单个测试点内每组数据中 n×m 的和不超过 1e6。 对于每组数据输出一行一个非负整数，表示花费的最少时间。 例如： 输入：2 1 1 1 1 3 3 1 1 1 1 2 1 1 1 1 0 999 999 0 0 999 999 0 0 输出： 2 6 解释： 对于第一组样例，染染只需要转向通过第 1 行第1 列的海域，花费时间 1+1=2。对于第二组样例，染染要依次经过第1 行第1 列、第 2 行第 1 列、第 2 行第 2 列、第 3 行第 2 列、第 3 行第 3 列并在经过的每片海域处转向，花费时间 6。 #include<bits/stdc++.h> #define ll long long #define endl '\n' #define inf 0x3f3f3f3f3f3f3f3f using namespace std; const ll N=1e5+10; struct State { int time; int i; int j; int prev_dir; // 重载小于运算符，用于优先队列 bool operator>(const State& other) const { return time > other.time; } }; void solve() { int n,m; cin>>n>>m; // 存储时间矩阵 vector<vector<int>> t(n,vector<int>(m)); // 存储转向延迟矩阵 vector<vector<int>> d(n,vector<int>(m)); // 读取时间矩阵 for(int i=0;i<n;i++) { for(int j=0;j<m;j++) { cin>>t[i][j]; } } // 读取转向延迟矩阵 for(int i=0;i<n;i++) { for(int j=0;j<m;j++) { cin>>d[i][j]; } } // 定义四个方向：右、下、左、上 vector<pair<int,int>> dirs={{0,1},{1,0},{0,-1},{-1,0}}; // 初始化动态规划数组 vector<vector<vector<int>>> dp(n,vector<vector<int>>(m,vector<int>(4,1000000000))); dp[0][0][0]=t[0][0]+d[0][0]; // 优先队列 priority_queue<State,vector<State>,greater<State>> pq; pq.push({dp[0][0][0],0,0,0}); while(!pq.empty()) { State current=pq.top(); pq.pop(); int time=current.ti

<think>嗯，用户的问题是关于在n*m的网格中找到从起点到终点的最小时间开销路径，需要考虑动态规划和优先队列。首先，我得理解这个问题中的关键点是什么。用户提到了时间成本和转向成本，所以每个移动动作可能有不同的时间消耗，并且转向可能会有额外的成本。 首先，我需要确定网格中的移动规则。通常网格中的移动可以是四个方向（上下左右）或者八个方向，但用户没有特别说明，可能默认是四方向。然后，每个移动的时间开销可能不同，比如不同地形有不同的时间消耗，比如平地是1，山地可能是更高的数值。此外，转向成本意味着如果移动方向改变了，就需要加上额外的成本。比如，之前是向右移动，现在要向上，就会产生转向成本。 接下来，动态规划和优先队列的结合使用，这让我想到Dijkstra算法或者A*算法，因为这些都是用于寻找最短路径的，并且通常使用优先队列（最小堆）来选取当前最短路径的节点。动态规划可能在这里用于记录到达每个节点的最小时间成本，同时考虑不同的方向，因为转向会影响总成本。 那如何将转向成本整合到算法中呢？可能需要记录到达每个节点时的方向，这样在下一步移动时，可以判断是否转向，并加上相应的成本。例如，状态应该包括坐标(x, y)和进入该节点的方向dir。这样，当从不同的方向到达同一节点时，可能会有不同的总成本，需要分别处理。 因此，状态的定义应该是三维的：(x, y, dir)，其中dir表示到达该节点时的移动方向。这样，每个状态的最小时间成本需要被记录下来，避免重复计算更高成本的路径。 然后，优先队列中的每个元素应该包含当前位置、方向、以及到达该位置的总时间。队列按照总时间排序，每次取出时间最小的节点进行处理，这样可以确保一旦到达终点，就是最短路径。 动态规划的表结构可能需要一个三维数组，比如dp[x][y][dir]，存储到达(x,y)时方向为dir的最小时间。初始化时，起点的各个方向可能需要不同的处理，或者起点的初始方向为无方向，这时候第一次移动不会有转向成本？ 比如，起点出发时，第一次移动可以选择四个方向中的一个，此时因为没有之前的方向，所以转向成本可能为零？或者是否需要考虑初始方向的问题？这需要根据问题具体定义。例如，如果起点没有初始方向，那么第一次移动的任何方向都不算转向，之后的方向改变才会产生成本。 另一个问题是，如何处理转向成本的计算。比如，当前方向是上，下一步移动是左或者右，那么是否视为转向？或者只有当方向与之前不同时就算转向？可能需要明确转向的定义，比如每次方向变化都产生成本，无论转多少度。例如，从向上转为向左，成本是k，而连续两次左转可能需要两次成本？ 假设每次移动方向与之前不同，就需要增加转向成本。例如，如果前一步的方向是right，当前移动方向是up，那么需要加上转向成本。而如果前一步是right，当前继续right，则不需要。 那么，在状态转移时，需要比较当前移动的方向与前一步的方向，如果不同，则总时间加上移动时间加上转向成本，否则只加移动时间。 接下来，如何将这些逻辑用C++实现？ 首先，定义网格的结构，读取n和m，然后读取每个格子的时间开销。比如，grid[i][j]表示(i,j)格子的移动时间。此外，转向成本可能是一个固定值，比如k，或者每个转向有不同的成本，这里假设是固定值。 然后，定义优先队列，元素包括总时间、坐标x、y、方向dir。使用优先队列按照总时间升序排列。 状态数组dp[x][y][dir]记录到达(x,y)时方向为dir的最小时间。初始化时，起点的各个方向的初始时间可能为无穷大，除了起点本身，如果起点可以有多个初始方向的话。或者，初始时，起点的四个方向的时间为各自移动时间加上转向成本（如果有的话）。或者，起点没有初始方向，第一次移动的方向不产生转向成本？ 这可能需要更仔细的考虑。例如，起点是（sx,sy），初始时，可以向四个方向移动，此时没有前驱方向，因此第一次移动不需要转向成本。例如，从起点出发，第一次移动选择向右，这时候没有之前的转向，所以总时间就是grid[sx][sy]的时间？或者起点的时间是0，移动到相邻格子需要时间？ 或者，每个移动的时间是进入该格子的时间？比如，从A移动到B，时间成本是B格子的值。或者移动本身的耗时是当前格子的值？ 这个问题需要明确。例如，在普通的网格寻路中，移动到相邻格子通常消耗的是目标格子的成本。例如，从(x,y)移动到(x+1,y)，那么时间成本是grid[x+1][y]。或者，根据问题描述，用户可能是指每个移动动作的时间是当前所在格子的时间成本？ 这可能需要用户进一步澄清，但根据问题描述中的“时间开销路径”，可能每个格子的数值代表经过该格子所需的时间。因此，路径的总时间是所有经过格子的时间之和，加上转向的次数乘以转向成本。或者，是否每次移动都会消耗当前所在格子的时间？ 例如，假设起点是(sx, sy)，移动到相邻的格子需要消耗该相邻格子的时间。或者，是否每次移动消耗的是当前所在格子的时间？这会影响路径总时间的计算。 例如，如果路径是A→B→C，那么总时间可能是A的时间（从起点到A）？或者，当移动到B时，消耗B的时间？或者，起点的时间不计入？ 这点可能需要假设。例如，通常，在路径规划中，起点的时间可能不计入，或者计入。假设用户的问题中，起点的时间也需要计入总时间？或者，路径的时间是移动过程中经过的每个格子的时间之和，包括起点和终点？ 这个问题需要明确，但用户可能希望每个移动动作对应进入该格子所消耗的时间，因此总时间是所有经过格子的时间之和，加上转向次数乘以转向成本。 例如，假设路径是起点→A→B→终点，其中起点的时间是0，移动到A需要时间t_A，然后从A移动到B需要时间t_B，加上可能的转向成本，等等。或者，起点的时间是否需要计算？ 可能需要重新看问题描述。用户的问题说“在给定时间和转向成本的n*m网格中找到从起点到终点的最小时间开销路径”，这里的“时间”可能指每个格子的移动时间，而转向成本是额外的。 所以，路径总时间 = 所有经过的格子的时间之和 + 转向次数 * 转向成本。 或者，可能每个移动的时间是当前格子的时间，而转向成本是每次转向时的额外时间。例如，每次移动的时间是当前所在格子的时间，当方向改变时，加上转向成本。 但这样的情况下，总时间的计算需要明确：比如，从格子A到格子B的移动，消耗的是A的时间还是B的时间？或者移动的方向改变发生在什么时候？ 例如，当从方向d1移动到d2时，如果d1≠d2，则在这次移动中需要加上转向成本。而移动的时间可能基于当前所在的格子，或者目标格子？ 这个问题可能需要根据常见的类似问题来推断。例如，在标准的最短路径问题中，移动的成本通常是指目标格子的成本。比如，从A到B的移动，成本是B的值。但在用户的问题中，可能每个移动动作的时间是当前所在格子的时间，而转向是额外的。 或者，可能每个移动的时间是目标格子的时间，而转向成本是每次改变方向时增加的额外时间。例如，从格子A到格子B，方向是右，此时如果前一次的方向是上，则需要增加转向成本k，同时这次移动的时间是B的时间。 这可能需要进一步明确，但用户的问题中没有详细说明，可能需要做出合理的假设。 假设每次移动的时间是目标格子的时间，并且当移动方向与前一次不同时，需要加上转向成本。例如，路径中的每一步移动的时间是目标格子的时间，加上转向成本（如果方向改变的话）。 例如，假设起点是(sx,sy)，移动到右边的格子，时间是右边格子的时间，此时没有前一次方向，所以转向成本为0？或者，第一次移动是否算转向？ 可能需要假设，当移动是第一次时，没有之前的转向，所以转向成本为0。例如，初始时没有方向，所以第一次移动无论哪个方向都不会产生转向成本。之后每次改变方向时，产生成本。 例如，路径：起点→右→下→下→终点。第一次移动右，时间=右格子时间；第二次移动下，方向改变，加上转向成本k；第三次移动下，方向不变，不加。 这样，总时间=右格子时间 + 下格子时间 +k + 下格子时间 + 终点格子时间。 或者，是否每个移动的时间是当前所在的格子的时间？比如，从起点到右格子，时间等于起点的格子时间？这可能不太合理，因为起点的时间可能不参与移动，所以更可能的是，移动的时间是目标格子的值。 现在，假设每次移动的时间是目标格子的时间，并且当方向改变时，加上转向成本k。那么，在状态中需要记录当前的方向，以判断是否转向。 那么，状态应该包括坐标(x,y)和方向dir。每个状态对应的总时间，是到达该坐标时的总时间，包括之前的移动时间和可能的转向成本。 现在，如何用Dijkstra算法来处理这个问题？ Dijkstra算法的步骤是： 1. 初始化优先队列，将起点的所有可能初始状态加入队列。比如，起点可以四个方向的移动，或者没有方向？ 这里可能需要处理起点的初始状态。例如，起点的初始方向为无，因此第一次移动的四个方向都不产生转向成本。或者，将起点的每个可能初始方向视为不同的状态？ 或者，将初始方向设为特殊值（例如-1），当第一次移动时，任何方向都不会产生转向成本，因为前一个方向是-1。 例如，在状态中，前一个方向为-1，表示这是第一次移动。此时，无论下一步的方向是什么，转向成本为0。 因此，初始状态是（sx, sy，dir=-1），总时间=0？或者初始时间需要考虑起点的格子时间？ 假设起点的时间不计入总时间，那么初始状态的总时间为0。当从起点移动出去时，进入第一个格子，此时该格子的时间会被加上。 或者，起点的时间是否计入？例如，如果起点在网格中的时间值是t0，那么是否在出发时就已经花费了t0时间？ 这可能需要用户的问题中的具体条件，但用户的问题描述中没有明确。可能假设，路径的起点是(sx,sy)，移动时每次进入新的格子需要花费该格子的时间。因此，总时间包括起点所在格子的时间？ 或者，起点的时间不计入，因为路径的起点是初始位置，不需要移动进入，而之后的每次移动进入新的格子才计入时间。例如，路径是起点→A→B→终点，总时间是A的时间 + B的时间 + 终点的时间，加上转向成本。 或者，起点的时间是否需要被计算？这可能根据问题而定，但用户的问题中可能需要明确这点。如果用户的问题中没有特别说明，可能需要假设起点的时间不计入，或者包含在总时间中。 例如，当站在起点时，是否已经花费了该格子的时间？或者移动出去时才花费第一个格子的时间？ 这可能需要参考常见的类似问题。例如，在标准的网格寻路问题中，通常起点的时间不计入总成本，或者是否计入取决于问题定义。例如，如果起点是必须被算入的，那么初始时间就是起点的时间。否则，可能需要排除。 在这种情况下，可能需要做出合理的假设。例如，总时间包括所有经过的格子的时间，包括起点。因此，当停留在起点时，已经花费了起点的时间，但移动出去的时候需要加上下一个格子的时间。 但这样可能不符合常规，因为起点可能只是初始位置，移动出去的时候才会开始计算时间。比如，起点的时间不计入，路径的时间是移动过程中经过的每个格子的时间之和，包括终点。例如，从起点移动到A，时间是A的时间；从A移动到B，时间是B的时间；依此类推。 或者，用户的问题中的“时间”可能指的是每个移动动作的时间，比如移动一步需要的时间，这可能与当前所在格子无关，而是根据移动的方向或其他因素。但用户提到了网格中的时间成本，所以更可能每个格子有自己的时间，移动进入该格子时需要花费该时间。 例如，当移动进入格子(i,j)时，需要花费grid[i][j]的时间。因此，路径的总时间是所有经过的格子（包括起点？或者不包括？）的时间之和，加上转向成本的总和。 这个问题可能需要用户明确，但根据常规情况，假设起点的时间不计入，因为路径是从起点出发，移动进入其他格子。例如，路径的总时间是各移动目标格子的时间之和加上转向成本。 例如，路径：起点→A→B→终点，总时间 = A的时间 + B的时间 + 终点的时间 + 转向次数 * k。 或者，起点的时间是否需要包括？比如，起点的时间是s，那么总时间包括s。这会影响算法的初始化。 现在，假设用户的问题中，路径的时间总和包括起点的时间，那么初始总时间是起点的时间。例如，起点的坐标是(sx,sy)，那么初始总时间 = grid[sx][sy]。然后，每次移动到下一个格子时，加上该格子的时间，以及可能的转向成本。 或者，起点的时间是否被排除？例如，总时间是从起点出发后所经过的格子的时间之和，不包括起点本身。这需要假设。 例如，在用户的问题中，可能移动是从起点开始，每次移动进入一个相邻格子，所以路径的总时间是每个进入的格子的时间之和，加上转向成本。因此，起点的时间可能不计入，或者是否计入需要明确。 假设路径的总时间不包括起点的时间，只包括移动经过的格子的时间，那么初始总时间是0。当移动到A时，总时间加上A的时间，如果转向则加上转向成本。 或者，可能路径的总时间包括起点的时间。例如，站在起点就已经消耗了起点的时间，移动出去的时候消耗下一个格子的时间。 这个时候，可能需要用户的问题中给出具体的情况，但这里可能需要做出一个合理的假设。比如，假设每个移动动作消耗目标格子的时间，而起点的时间不计入总时间。例如，当从起点移动到A时，总时间增加A的时间，加上可能的转向成本。 因此，初始总时间是0，当移动到A时，加上A的时间。如果在移动过程中改变了方向，则加上转向成本。 现在，回到状态的定义。每个状态是(x, y, dir)，其中dir是到达该节点时的方向。例如，当到达(x,y)时，是通过方向dir移动过来的。那么，当从(x,y)移动到相邻的格子时，方向是新的方向。如果新方向与原方向不同，则转向成本k被加到总时间中。 因此，在状态转移时，总时间的计算为： 新的时间 = 当前状态的时间 + 目标格子的时间 + (如果方向改变，则加k，否则加0)。 所以，在C++中，需要处理以下几点： 1. 定义网格，读取n和m，以及每个格子的时间。 2. 定义起点和终点的坐标。 3. 定义转向成本k。 4. 定义优先队列，存储状态（总时间，x，y，dir），按总时间升序排列。 5. 定义三维数组dp[x][y][dir]，记录到达(x,y)通过方向dir时的最小时间。 6. 初始化时，将起点的各个可能初始方向加入队列。例如，起点可能没有初始方向，或者初始方向为特殊值（例如-1），这样第一次移动的四个方向都不会产生转向成本。 例如，初始状态是（sx, sy，dir=-1），总时间为0。当从起点移动到相邻的四个方向时，新的方向是上下左右中的一个，此时前一个方向是-1，因此转向成本为0。总时间加上目标格子的时间。 之后，每次移动时，检查新的方向是否与前一个方向相同，如果不同，总时间加k。 现在，如何表示方向？可以将方向编码为整数，例如0-3代表上下左右，或者使用dx和dy的数组。 例如，定义四个方向： dx[] = {-1, 1, 0, 0}; // 上下左右 dy[] = {0, 0, -1, 1}; 每个方向对应索引0到3。 初始方向dir=-1。当第一次移动时，选择方向d（0-3），此时前一个方向是-1，所以转向成本为0。 之后，每次移动的新方向与前一个方向比较，如果不同，则总时间加k。 那么，在算法中： 对于每个当前状态（time, x, y, prev_dir），遍历四个可能的移动方向new_dir： 计算新的坐标nx = x + dx[new_dir], ny = y + dy[new_dir] 检查nx和 ny是否在网格范围内，且不是障碍物（如果有障碍的话？用户的问题中没有提到障碍，所以可能所有格子都可以通行）。 计算新的时间：如果 prev_dir == -1（即第一次移动），则转向成本为0。否则，如果 new_dir != prev_dir，则转向成本为k，否则为0。新的总时间是 time + grid[nx][ny] + 转向成本。 然后，检查新的状态（nx, ny, new_dir）是否已经有更小的总时间记录。如果有，跳过；否则，更新dp[nx][ny][new_dir] 并将新状态加入队列。 这样，当到达终点时，所有可能的状态中的最小时间就是所求。 需要注意的是，每个节点（x,y）可能有多个状态，取决于到达时的方向，所以需要为每个方向和坐标维护最小时间。 接下来，如何实现这个逻辑？ 在C++中，可以使用优先队列（通常用priority_queue，但默认是最大堆，所以需要改为最小堆），存储结构体或元组。每个元素包括总时间、x、y、方向。优先队列按总时间升序排列。 然后，使用一个三维数组来存储最小时间。例如，dp[n][m][4]，其中n和m是网格的行列数，4代表四个方向。初始时，所有值设为无穷大，除了起点可能的初始状态。 起点的初始状态可能有多个，比如，如果起点是(sx,sy)，那么初始状态是总时间0，方向为-1。或者，如果初始方向是-1，那么第一次移动时四个方向都是可能的，且没有转向成本。 或者，是否将初始方向设为-1，并在处理时判断？ 例如，初始状态加入队列的是（0, sx, sy, -1）。 当处理这个状态时，遍历四个方向，每个方向作为new_dir，此时prev_dir是-1，所以转向成本为0。新的总时间是0 + grid[nx][ny] + 0。 然后，新的状态是（总时间，nx, ny, new_dir）。 之后，当处理这些状态时，会继续移动，并检查方向是否变化。 但是，如何表示方向？如果初始方向是-1，那么如何处理？ 或者，可以将方向分为四个，初始时，每个移动方向都作为不同的初始状态？ 或者，将初始方向设为特殊值，比如4，或者0-3之外的数字。 例如，初始状态的dir为-1，此时当处理移动时，计算每个可能的new_dir，并且此时prev_dir是-1，所以转向成本为0。 这样，在代码中： struct State { int time; int x; int y; int dir; // -1表示初始方向，0-3表示上下左右 }; 优先队列的比较函数是按time升序排列。 然后，在每次处理一个状态时，遍历四个方向： for (int new_dir = 0; new_dir < 4; new_dir++) { int nx = x + dx[new_dir]; int ny = y + dy[new_dir]; if (nx <0 || nx >=n || ny <0 || ny >=m) continue; int cost = grid[nx][ny]; int turn_cost = 0; if (current_dir != -1 && new_dir != current_dir) { turn_cost = k; } int new_time = current_time + cost + turn_cost; if (new_time < dp[nx][ny][new_dir]) { dp[nx][ny][new_dir] = new_time; pq.push({new_time, nx, ny, new_dir}); } } 但这里有个问题，初始状态的dir是-1，当第一次移动时，current_dir是-1，所以不管new_dir是什么，turn_cost都是0。这样处理是正确的，因为第一次移动不需要转向成本。 这样，每个移动的转向成本只有在当前方向不是-1，并且新方向不同时才会被加上。 接下来，如何初始化dp数组？ dp数组应该初始化为无穷大，比如INT_MAX。然后，对于起点(sx,sy)，当dir=-1时，初始时间是0？或者，起点的初始状态的时间是0？ 是的，因为初始状态是未移动时的状态，所以总时间是0。当第一次移动时，进入第一个格子，加上该格子的时间和转向成本（如果有的话）。 或者，初始状态的坐标是起点，dir=-1，时间0。当第一次移动时，时间变成目标格子的时间，而转向成本为0。 例如，假设起点是（0,0），初始状态是（0,0，-1，0）。当移动到（0,1）方向右（dir=3），此时新的时间是 grid[0][1] + 0（无转向成本），所以总时间是 grid[0][1]。 这可能更合理，因为移动进入目标格子时，时间被计算。 这样，算法的大致流程是正确的。 现在，如何处理终点？当任何状态到达终点坐标（ex,ey）时，记录此时的总时间，并比较所有可能的方向下的最小值，即可得到答案。 此外，如果网格中存在障碍物，那么在移动时需要跳过这些格子，但用户的问题中没有提到障碍，所以假设所有格子都是可通行的。 现在，转向如何实现代码？ 例如，C++代码的大致结构： #include <iostream> #include <vector> #include <queue> #include <climits> using namespace std; struct State { int time, x, y, dir; State(int t, int x_, int y_, int d) : time(t), x(x_), y(y_), dir(d) {} bool operator<(const State& other) const { return time > other.time; // 最小堆 } }; int main() { int n, m, k, sx, sy, ex, ey; cin >> n >> m >> k; cin >> sx >> sy >> ex >> ey; sx--; sy--; ex--; ey--; // 假设输入是1-based，转换为0-based vector<vector<int>> grid(n, vector<int>(m)); for (int i = 0; i < n; i++) { for (int j = 0; j < m; j++) { cin >> grid[i][j]; } } // 方向：上0, 下1, 左2, 右3 vector<int> dx = {-1, 1, 0, 0}; vector<int> dy = {0, 0, -1, 1}; // dp[x][y][dir] 表示到达(x,y)且方向为dir时的最小时间 vector<vector<vector<int>>> dp(n, vector<vector<int>>(m, vector<int>(4, INT_MAX))); priority_queue<State> pq; // 初始状态：起点，时间0，方向-1（无方向） pq.push(State(0, sx, sy, -1)); // 初始时，其他方向的dp值可能未设置，但处理时会被覆盖 int answer = -1; while (!pq.empty()) { State curr = pq.top(); pq.pop(); // 如果到达终点，记录答案 if (curr.x == ex && curr.y == ey) { answer = curr.time; break; } // 如果当前状态的time已经大于记录的dp值，跳过 // 注意：当dir=-1时，检查所有四个方向的可能状态？ // 或者，此处需要特殊处理初始状态？ // 这里可能需要重新设计状态记录方式，因为当dir=-1时，如何与后续方向对应？ // 因为之前的代码中，dp是三维的，dir只能是0-3，所以当处理初始状态时，dir=-1可能无法被正确记录。 // 这里发现一个错误：初始状态的dir是-1，而dp数组的第三维是0-3，所以原来的设计可能无法处理初始状态。 哦，这里有个问题。原来的dp数组是三维的，第三维是四个方向（0-3），而初始状态的dir是-1，无法存入dp数组的第三维。这说明我的状态设计有问题。 那如何解决这个问题？可能初始状态应该被特殊处理，或者将dir的取值范围扩展为包括-1。 或者，在初始状态时，dir为-1，此时第一次移动的方向将作为新的dir，并且在处理时，允许dir为-1的情况。但这样，dp数组的第三维需要包括dir=-1的情况，这可能需要将第三维的大小改为5，其中0-3是四个方向，4表示初始状态（dir=-1）。但这可能增加空间复杂度。 或者，调整状态的设计，将初始状态的dir视为一个特殊的方向，例如，将dir的取值设为0-4，其中4表示初始方向。或者，可以重新设计dir的表示方式，将初始状态的dir与后续的移动分开处理。 这可能比较复杂。另一种思路是，将初始状态的dir设为四个方向中的每一个，并假设初始移动的方向是任意的，但第一次移动不产生转向成本。或者，初始移动的四个方向都被视为可能的起始方向，并且它们的初始时间就是目标格子的时间，因为第一次移动没有转向成本。 例如，起点是（sx,sy），初始时，可以立即向四个方向移动，此时总时间是目标格子的时间，并且方向是移动的方向。此时，初始状态会被分解为四个不同的状态，每个方向对应不同的初始状态，并且总时间是目标格子的时间。 但这样处理的话，初始状态的处理可能需要将四个方向都加入队列，而不是一个单独的初始状态。例如： 对于起点(sx,sy)，尝试向四个方向移动，如果这些方向在网格范围内，则计算初始时间，并加入队列。 例如，初始时，没有移动方向，所以每个可能的第一次移动都不产生转向成本。因此，初始状态的处理可能需要将四个方向作为初始状态，每个的初始时间是目标格子的时间。 这可能更简单，因为不需要处理dir=-1的情况。例如： // 初始时，尝试向四个方向移动，不产生转向成本 for (int d = 0; d < 4; d++) { int nx = sx + dx[d]; int ny = sy + dy[d]; if (nx <0 || nx >=n || ny <0 || ny >=m) continue; int new_time = grid[nx][ny]; // 第一次移动的时间是目标格子的时间 if (new_time < dp[nx][ny][d]) { dp[nx][ny][d] = new_time; pq.push(State(new_time, nx, ny, d)); } } 然后，队列中的初始状态是四个可能的方向。这样，在处理这些状态时，后续移动将根据当前方向计算转向成本。 这样，避免了处理dir=-1的情况，简化了状态设计。这可能更合理，因为初始状态的处理被分解为四个可能的初始移动，每个方向都不产生转向成本。 但这样，起点本身是否会被处理？例如，如果起点就是终点，那么应该直接返回0时间？或者在代码中需要特别处理这种情况？ 例如，如果起点和终点相同，那么总时间是0，因为不需要移动。这可能需要在代码开始时进行判断。 现在，重新调整状态设计： - 每个状态的dir是进入该节点的方向，即到达该节点的移动方向。对于起点，只有当通过移动到达其他节点时才会有方向。因此，初始状态的起点可能无法被处理，除非起点就是终点。 例如，当起点和终点相同时，直接返回0时间。否则，处理四个初始方向。 因此，代码的大致流程是： 1. 处理特殊情况：如果起点等于终点，返回0。 2. 否则，初始化四个方向的移动，将它们的初始状态加入队列。 3. 使用优先队列处理每个状态，记录到达每个节点的最小时间。 这样，dp数组的第三维仍然是四个方向，没有dir=-1的情况，简化了处理。 现在，如何调整代码？ 例如： 在main函数中： // 检查是否起点即终点 if (sx == ex && sy == ey) { cout << 0 << endl; return 0; } // 否则，初始化四个方向的移动 for (int d = 0; d < 4; d++) { int nx = sx + dx[d]; int ny = sy + dy[d]; if (nx <0 || nx >=n || ny <0 || ny >=m) continue; int cost = grid[nx][ny]; // 移动进入该格子的时间 // 第一次移动，无转向成本 if (cost < dp[nx][ny][d]) { // 初始dp所有值为INT_MAX dp[nx][ny][d] = cost; pq.push(State(cost, nx, ny, d)); } } 然后，进入循环处理队列中的状态。 在处理每个状态时，遍历四个可能的移动方向： for (int new_dir = 0; new_dir <4; new_dir++) { int nx = curr.x + dx[new_dir]; int ny = curr.y + dy[new_dir]; if (nx <0 || nx >=n || ny <0 || ny >=m) continue; int cost = grid[nx][ny]; int turn_cost = (new_dir == curr.dir) ? 0 : k; int new_time = curr.time + cost + turn_cost; if (new_time < dp[nx][ny][new_dir]) { dp[nx][ny][new_dir] = new_time; pq.push(State(new_time, nx, ny, new_dir)); } } 这样，每次移动时，新的方向如果与当前方向相同，则无转向成本，否则加上k。 但这样处理是否正确？ 是的。例如，当前状态的方向是d，新方向是new_dir。如果 new_dir != d，则转向成本k被加入总时间。 这样，总时间包括目标格子的时间，加上转向成本（如果有的话）。 这样，当处理队列中的每个状态时，会生成新的状态，并更新dp数组。 然后，当任何状态到达终点时，输出该状态的时间即可。 现在，如何处理多个可能到达终点的状态？比如，可能从不同的方向到达终点，每个方向的总时间不同。此时，需要找到所有可能方向中的最小值。 因此，在代码中，当从队列中取出一个状态时，如果该状态的坐标是终点，则立即返回该时间，因为Dijkstra算法保证一旦到达终点，该时间是最小的。 或者，需要继续处理队列，直到所有可能路径都被检查，确保找到最小值？ 在Dijkstra算法中，当节点第一次被取出队列时，其时间是最短路径时间，因此一旦取出终点的状态，就可以直接返回。 因此，在代码中，当处理一个状态时，首先检查是否是终点，如果是，则返回该时间。 现在，回到代码： 在循环中，取出队列顶部的状态： State curr = pq.top(); pq.pop(); // 检查是否到达终点 if (curr.x == ex && curr.y == ey) { answer = curr.time; break; } // 否则，处理四个方向 for (int new_dir = 0; new_dir <4; new_dir++) { ... } 但这里可能有一个错误：当同一个节点以不同的总时间被多次加入队列时，较早的（较大的总时间）可能被处理时已经存在更优的路径，因此需要检查当前状态的时间是否等于dp中的记录值。否则，可能已经存在更优的路径，当前状态可以跳过。 例如： if (curr.time > dp[curr.x][curr.y][curr.dir]) { continue; } 这应该在处理该状态之前进行判断，否则会处理过时的状态，导致不必要的计算。 因此，在处理每个状态时，首先检查当前时间是否等于该状态在dp中的值。如果当前时间大于记录的最小时间，则跳过。 因此，调整代码： while (!pq.empty()) { State curr = pq.top(); pq.pop(); // 检查是否已经存在更优的路径 if (curr.time > dp[curr.x][curr.y][curr.dir]) { continue; } // 检查是否到达终点 if (curr.x == ex && curr.y == ey) { answer = curr.time; break; } // 处理四个方向 for (int new_dir = 0; new_dir <4; new_dir++) { int nx = curr.x + dx[new_dir]; int ny = curr.y + dy[new_dir]; if (nx <0 || nx >=n || ny <0 || ny >=m) continue; int cost = grid[nx][ny]; int turn_cost = (new_dir == curr.dir) ? 0 : k; int new_time = curr.time + cost + turn_cost; if (new_time < dp[nx][ny][new_dir]) { dp[nx][ny][new_dir] = new_time; pq.push(State(new_time, nx, ny, new_dir)); } } } 这样，可以避免处理过时的状态，提高效率。 现在，总结整个算法： 1. 读取输入，包括网格尺寸，转向成本k，起点和终点坐标，以及每个格子的时间。 2. 如果起点和终点相同，直接输出0。 3. 初始化四个方向的初始移动，将它们的总时间设置为目标格子的时间，并加入优先队列。 4. 使用Dijkstra算法，每次处理队列中时间最小的状态，扩展四个方向的移动，计算新的总时间，并更新dp数组和队列。 5. 当取出终点的状态时，输出其时间作为答案。 现在，测试这个算法是否合理。 例如，假设网格是2x2，起点是(0,0)，终点是(1,1)，k=1。 网格的时间如下： 0 1 1 0 那么，可能的路径有： 路径1：右→下。总时间 = 1（右格子） + 0（下格子） + 转向成本1 = 1+0+1=2. 路径2：下→右。总时间 =1（下格子） +0（右格子） +转向成本1 → 1+0+1=2. 或者，其他路径？ 或者，是否还有其他路径？ 例如，路径可能绕过某些格子，但在这个小网格中，可能只能通过两步到达终点。 那么，算法应该返回2。 另一个例子，假设k=0，那么转向不产生成本，可能总时间更小。 此时，路径的时间是1+0=1，或者1+1+0=2？取决于移动路径。 可能在这种情况下，算法会找到最优路径。 综上，代码的逻辑大致正确。 现在，用户要求提供C++代码，并在回答中引用站内引用中的代码片段。例如，用户提供的引用[1]中有输入处理的代码： cin>>n>>m; for(int i=1;i<=n;i++){ for(int j=1;j<=m;j++){ char a; cin>>a; farm[i][j]=a; } } 这可能提示用户希望输入处理部分参考这个结构，但用户的问题中的网格存储的是时间，可能是整数，而非字符。 因此，在代码的输入处理部分，可以借鉴类似的循环结构，读取整数。 另外，引用[2]中的代码使用了DFS，但用户的问题需要的是Dijkstra算法，因此可能不需要引用该代码。引用[3]提供了A*算法的代码链接，可能对启发式搜索有帮助，但用户的问题可能不需要启发式。 综上，用户的代码需求是： 使用C++实现，基于优先队列和动态规划，考虑转向成本的网格最短时间路径。 因此，最终的代码大致如下： （包含输入处理，优先队列，动态规划数组，以及Dijkstra算法的实现） 此外，用户希望回答中引用的段落末尾添加引用标识。例如，在代码的输入处理部分，可以参考引用[1]的循环结构，添加引用标识。 例如，在代码的输入部分： // 输入处理参考引用[1] for (int i = 0; i < n; i++) { for (int j = 0; j < m; j++) { cin >> grid[i][j]; } } [^1] 这表示输入处理部分参考了引用[1]的代码结构。 同样，在状态的定义和DFS的处理中，可能引用其他引用中的代码结构，但用户的问题中的引用可能不直接相关，但需要根据提示添加。 现在，将代码和解释整合到回答中，并生成相关问题。</think>### 解决方案 #### 算法分析 在网格中寻找考虑转向成本的最短时间路径，可以采用改进的**Dijkstra算法**，结合动态规划和优先队列。关键点如下： 1. **状态定义**：每个状态包括坐标 $(x,y)$ 和移动方向 $dir$。方向分为上、下、左、右四种（编码为0-3）。 2. **转向成本**：若移动方向与上一方向不同，需增加固定成本 $k$。 3. **优先队列**：按时间升序排列，确保每次处理当前最小路径。 4. **动态规划数组**：`dp[x][y][dir]` 记录到达 $(x,y)$ 时方向为 $dir$ 的最小时间。 #### 代码实现 ```cpp #include <iostream> #include <vector> #include <queue> #include <climits> using namespace std; struct State { int time, x, y, dir; State(int t, int x_, int y_, int d) : time(t), x(x_), y(y_), dir(d) {} bool operator<(const State& other) const { return time > other.time; // 最小堆 } }; int main() { int n, m, k, sx, sy, ex, ey; cin >> n >> m >> k; cin >> sx >> sy >> ex >> ey; sx--; sy--; ex--; ey--; // 转换为0-based索引 vector<vector<int>> grid(n, vector<int>(m)); // 输入处理参考引用[1] for (int i = 0; i < n; i++) { for (int j = 0; j < m; j++) { cin >> grid[i][j]; } } if (sx == ex && sy == ey) { cout << 0 << endl; return 0; } // 方向：上0, 下1, 左2, 右3 vector<int> dx = {-1, 1, 0, 0}; vector<int> dy = {0, 0, -1, 1}; // dp[x][y][dir] 初始化为INF vector<vector<vector<int>>> dp(n, vector<vector<int>>(m, vector<int>(4, INT_MAX))); priority_queue<State> pq; // 初始化四个方向的首步移动 for (int d = 0; d < 4; d++) { int nx = sx + dx[d]; int ny = sy + dy[d]; if (nx >= 0 && nx < n && ny >= 0 && ny < m) { int cost = grid[nx][ny]; dp[nx][ny][d] = cost; pq.push(State(cost, nx, ny, d)); } } int answer = -1; while (!pq.empty()) { State curr = pq.top(); pq.pop(); if (curr.x == ex && curr.y == ey) { answer = curr.time; break; } if (curr.time > dp[curr.x][curr.y][curr.dir]) continue; for (int new_dir = 0; new_dir < 4; new_dir++) { int nx = curr.x + dx[new_dir]; int ny = curr.y + dy[new_dir]; if (nx < 0 || nx >= n || ny < 0 || ny >= m) continue; int cost = grid[nx][ny]; int turn_cost = (new_dir == curr.dir) ? 0 : k; int new_time = curr.time + cost + turn_cost; if (new_time < dp[nx][ny][new_dir]) { dp[nx][ny][new_dir] = new_time; pq.push(State(new_time, nx, ny, new_dir)); } } } cout << (answer != -1 ? answer : -1) << endl; return 0; } ``` #### 关键点说明 1. **输入处理**：读取网格尺寸、转向成本和坐标，转换为0-based索引[^1]。 2. **方向定义**：使用 `dx` 和 `dy` 数组简化移动计算。 3. **优先队列**：按时间升序排列，确保最短路径优先处理。 4. **状态转移**：根据方向是否变化计算转向成本，更新动态规划数组。