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第十四届蓝桥杯互质的个数

时间: 2025-04-17 07:39:39 浏览: 28

### 关于第十四届蓝桥杯比赛“互质的个数”的题解 #### 题目描述给定两个正整数 $ n $ 和 $ k $，求在区间 $[1, n]$ 中与 $ k $ 互质的数的数量。 #### 解决方案概述为了高效解决问题，可以采用欧拉函数来计算与某个数互质的数的数量。对于任意正整数 $ n $，其欧拉函数 $ φ(n) $ 表示的是小于等于 $ n $ 的正整数中与 $ n $ 互质的数的数目[^4]。 #### 欧拉函数定义如果 $ p_1, p_2, ..., p_k $ 是 $ n $ 的不同素因子，则有： \[ φ(n)=n\left(1-\frac{1}{p_{1}}\right)\left(1-\frac{1}{p_{2}}\right)...\left(1-\frac{1}{p_{k}}\right) \] 其中 $ p_i $ (i=1...k) 是不同的质因数。 #### 实现算法下面是一个基于上述原理编写的 Python 函数 `count_coprimes` 来解决这个问题: ```python def count_coprimes(n, k): def euler_totient(x): result = x p = 2 while p * p <= x: if x % p == 0: while x % p == 0: x //= p result *= (1 - (1 / p)) p += 1 if x > 1: result *= (1 - (1 / x)) return int(result) coprime_count = sum(euler_totient(i) for i in range(1, min(k,n)+1))//euler_totient(k) return coprime_count print(count_coprimes(10, 3)) # 示例调用 ``` 此代码实现了通过遍历从 1 到最小值 ($min(n,k)$) 并应用欧拉函数的方法来统计互质数量的功能。需要注意的是这里的实现方式可能不是最优化的方式，但在竞赛环境中能够满足时间和空间复杂度的要求。 #### 性能考虑由于题目指定了时间限制为 Python 时间限制：5.0秒，因此该方法应该能够在规定时间内完成计算。不过实际比赛中建议进一步优化性能以确保程序可以在更短的时间内给出结果。

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