简单迭代法
时间: 2025-03-15 11:12:19 浏览: 18
### 简单迭代法的概念与实现
#### 什么是简单迭代法?
简单迭代法是一种用于求解非线性方程 \( f(x) = 0 \) 的数值方法。其核心思想是通过将原方程转化为形如 \( x = g(x) \) 的形式,从而构建一个迭代序列来逼近根的值[^1]。
具体来说,假设我们有一个方程 \( f(x) = 0 \),可以通过某种方式将其改写为等价的形式 \( x = g(x) \)[^4]。如果初始猜测值 \( x_0 \) 已知,则可以按照如下公式逐步迭代:
\[
x_{k+1} = g(x_k), \quad k = 0, 1, 2, \ldots
\]
当满足一定的终止条件(例如相邻两次迭代的结果差小于给定误差阈值),则认为当前近似值即为目标根。
---
#### 收敛条件
为了使简单迭代法能够有效收敛到目标根,函数 \( g(x) \) 需要满足一些特定条件:
1. **局部收敛性**:在某个区间内存在固定点 \( p \),使得对于任意接近该固定点的初始值 \( x_0 \),由上述迭代过程产生的序列均能逐渐趋近于 \( p \)[^4]。
2. **全局收敛性**:更严格的情况下,\( |g'(x)| < 1 \) 对整个定义域成立时,无论选取何种合理的初始值,都可以保证算法最终会收敛至唯一固定的解。
这些理论依据有助于判断所选变换是否适合实际应用中的问题解决需求。
---
#### MATLAB 实现示例
以下是利用MATLAB编写的一个简单的例子展示如何运用此技术寻找指定多项式的零点位置之一[^2]:
```matlab
% 定义符号变量并设置显示格式
syms x;
format long;
% 原始方程式子以及转换后的表达式G(x)=x
f = @(x) sin(x)^3 + cos(x)^3 - 0.5;
G = @(x) acos((sqrt(3)/2-sin(x).^3).^(1/3));
% 初始化参数
tolerance = eps*1e6; % 设定允许的最大绝对误差限界
maxIter = 100; % 设置最大循环次数以防无限运行下去
initialGuess = pi / 4 ; % 提供初步估计作为起点尝试靠近真实答案区域附近
disp('Iteration Results:');
fprintf('%8s\t%17s\n','Index', 'Approximation');
for n = 1:maxIter
nextValue = G(initialGuess);
fprintf('%8d\t%.16f\n',n,nextValue);
if abs(nextValue-initialGuess)<tolerance
break ;
end
initialGuess=nextValue;% 更新旧估值准备下一轮运算操作
end
if(n==maxIter)
disp(['Maximum number of iterations reached without convergence.',...
' Last approximation:',num2str(nextValue)]);
else
disp(strcat({'Root found at approximately ', num2str(nextValue)}));
end
```
---
#### C++ 实现示例
下面给出一段C语言风格程序片段说明同样原理下的另一种编码实践途径[^3]:
```cpp
#include<stdio.h>
#include<math.h>
#define INIT_GUESS 3 // 初值设定
#define MAX_ITERATIONS 1000 // 最大重复上限控制
#define TOLERANCE 0.5E-6 // 计算精度标准
#define TRANSFORM_FUNCTION(X) pow(sin(X)+12*X-1,1./3.) // 自定义映射关系F(x)->X
int main(){
int counter;
double current_x=INIT_GUESS,new_x=INIT_GUESS;
printf(" Iteration Index Approximate Value:\n");
for(counter=0;counter<MAX_ITERATIONS;counter++){
new_x=TRANSFORM_FUNCTION(current_x);
printf("%9d %.15lf\n",counter,new_x);
if(fabs(new_x-current_x)<TOLERANCE){
printf("\nThe root is approximated as:%.15lf after %d steps.\n",new_x,counter);
return EXIT_SUCCESS;
}
current_x=new_x;// 准备进入下一个周期继续精炼结果直至达标为止
}
puts("\nExceeded maximum allowed attempts.No solution detected within tolerance.");
return EXIT_FAILURE;
}
```
---
阅读全文
相关推荐












