#include<algorithm> #include <iostream> #include <string.h> #include <stdlib.h> #include <stdio.h> #include <math.h> #include <time.h> #include <vector> #include <queue> #include <map> #include <set> using namespace std; typedef long long LL; const int N=1000005,M=80000005; int n,m,rt[N],lc[M],rc[M],tot,ccc; LL Ans; inline void Ins(int &x,int y,int t) { ccc++; x=++tot; if(y>=0) if(t&(1<<y)) Ins(rc[x],y-1,t); else Ins(lc[x],y-1,t); } inline int Merge(int x,int y) { ccc++; if(!x||!y) return x+y; int z=++tot; lc[z]=Merge(lc[x],lc[y]);rc[z]=Merge(rc[x],rc[y]); return z; } inline void solve(const vector<int>& V,int t) { if(V.size()<2) return; if(t<0) return; vector<int> A,B;int rt=0,totnow=tot; for(int i=0;i<V.size();i++) if(rc[V[i]]) A.push_back(rc[V[i]]),rt=Merge(Merge(rt,rc[V[i]]),lc[V[i]]); else B.push_back(lc[V[i]]); if(A.size()) Ans+=(1ll<<t)*(A.size()-1),solve(A,t-1),B.push_back(rt); solve(B,t-1);tot=totnow; } int main() { scanf("%d%d",&n,&m); vector<int> V; for(int i=1,t;i<=n;i++) scanf("%d",&t),Ins(rt[i],m,t),V.push_back(rt[i]); solve(V,m); cout<<Ans<<endl; return 0; }分析复杂度

<think>好的，我现在需要分析用户提供的这段01trie树合并代码的时间复杂度。首先，我需要理解这段代码的结构和功能。 首先，看到代码中有Ins函数，用于插入节点到trie树中。插入操作通常是沿着二进制位递归创建节点，每次处理一个位，因此插入的时间复杂度应该是O(m)，其中m是位数，也就是树的高度。 然后是Merge函数，这个函数合并两个trie树。代码中Merge函数递归地合并左右子树，每次合并会创建新节点。如果两个节点都存在，就递归合并左右子节点，生成新的节点z。这里可能的时间复杂度需要考虑合并的节点数量。假设两棵树的节点数量分别是N1和N2，那么合并的时间复杂度可能与它们的节点数之和相关，但具体要看实际合并时的情况。 接下来是solve函数，看起来是处理一组trie树，根据当前位t进行分组。将存在右子节点（即当前位为1）的树分为A组，否则分为B组。然后递归处理A组和B组。这里可能存在分治的策略，每次将问题分解为两个子问题，处理A和B。关键是如何计算递归的次数和每次处理的节点数。 主函数中，先插入n个数到trie树中，形成n个根节点，然后调用solve函数处理这些根节点集合V，初始时t=m，也就是最高位。 现在需要分析整个算法的时间复杂度。可能需要考虑以下几点： 1. Ins函数的调用次数：每个数插入生成一个trie树，每个插入操作是O(m)的时间，因此总共有n*m的时间。 2. Merge函数的调用次数：每次合并两个节点生成新节点，这可能涉及到多个合并操作。尤其是在solve函数中，处理A组时会合并rc和lc，这可能导致大量的节点生成。 3. solve函数的递归过程：每次递归处理t的某一位，从m开始到0。每次将当前组的节点分为A和B，处理A之后再将结果合并到B中。这里可能需要分析递归的次数以及每次处理的数据规模。 观察到在solve函数中，当处理A组时，Ans会累加上(1<<t)*(A.size()-1)，这可能是在计算某种异或和的最大值，比如利用trie树结构来寻找最大异或对。而递归处理A和B时，A组的处理可能会生成新的节点，然后合并到B组中。 对于时间复杂度，需要考虑每次递归调用solve时，处理的节点数量和合并操作的开销。假设每次递归处理的节点数减少一半，那么可能形成类似于归并排序的递归树，时间复杂度为O(n log n)。但需要结合Merge函数的具体实现来看。 另外，代码中使用了tot和totnow来记录节点总数，并在递归后恢复tot的值，这可能意味着每次递归调用solve时创建的节点仅在当前递归层有效，避免重复计数。这样的设计可能减少空间占用，但时间复杂度是否受影响？ Merge函数每次合并两个节点时都会创建新节点，因此合并两个树的时间复杂度可能与两棵树的节点数有关。最坏情况下，如果两棵树结构相同，合并时需要递归合并每个对应的节点，时间复杂度为O(min(N1, N2))，其中N1和N2是两棵树的节点数。因此，多次合并可能导致总的时间复杂度较高。 在solve函数中，处理A组时，对A中的每个元素调用Merge，可能生成新的树rt。然后递归处理A组，再处理B组。这里的递归结构可能类似于分治，每次将问题分成两部分，但具体如何分割需要进一步分析。 可能的思路是：对于每个位t，将当前的所有trie树分为有右子树（A组）和无右子树（B组）的部分。处理A组时，合并它们的右子树和左子树，然后递归处理这些合并后的结构。这可能涉及到每个位处理时的合并次数，而每次合并可能需要O(k)的时间，其中k是当前处理的节点数。 假设每个递归层次处理的是不同的位，从m到0，共有m层。每层处理的数据规模可能逐渐减少，或者保持一定数量。例如，对于每个位，处理n个元素，但每个元素对应的trie树在该位的结构可能不同，导致分组后的A和B的大小变化。 不过，具体的时间复杂度分析可能需要数学归纳或递推公式。比如，设T(n, t)为处理n个trie树在t位的时间复杂度，那么每次处理可能分为两个子问题：处理A组的A.size()个树和B组的B.size()个树。假设A.size()为k，则B.size()为n -k + ...（因为处理A后会生成新的rt并加入到B中）。 另外，每次处理A组时，会进行k次Merge操作，合并rc和lc，这可能产生O(k*m)的时间。而递归处理A和B的复杂度则为T(k, t-1)和T(B.size(), t-1)。这可能导致总的时间复杂度为O(n m^2) 或类似的结果。 同时，考虑Merge函数的时间复杂度。每次合并两个trie树的时间与它们的节点数有关。如果每个合并操作的时间是O(m)（因为每个树的高度是m），那么对于n个树的总合并次数可能为O(nm)，导致总的时间复杂度为O(nm^2)。 但用户提供的代码中，solve函数的具体递归结构可能更为复杂。例如，当处理A组时，合并后的结果会加入B组，这可能增加后续递归处理的数据规模，需要更仔细的分析。 另一个角度是观察ccc变量的递增，这可能用于统计Merge和Ins的调用次数。如果在最坏情况下，每次合并都需要创建大量新节点，那么时间复杂度可能与总节点数相关，而总节点数可能为O(nm)，因为每个插入操作最多生成m个节点。因此，合并操作的总次数可能与n^2 m相关，但需要具体分析。 可能的结论是，总的时间复杂度为O(n m^2)，因为每个位处理需要O(n m)的时间，共有m层递归。但需要验证这个结论是否正确。 此外，空间复杂度方面，由于每个Merge操作生成新节点，总节点数可能达到O(nm)，因此空间复杂度为O(nm)。 总结思考，可能的时间复杂度是O(n m^2)，其中n是数的数量，m是位数。但需要更详细地分析代码中的递归和合并过程，确认每一步的时间消耗。</think>以下是对该01trie合并代码的复杂度分析（以m表示二进制位数，n表示元素个数）： $$时间复杂度分析$$ 1. **插入操作**： - 每次`Ins`递归深度为$m+1$（处理0~m位） - 单次插入时间复杂度为$O(m)$ - n次插入总时间：$O(nm)$ 2. **合并操作**： - `Merge`函数采用完全递归合并策略 - 合并两棵树的时间复杂度为$O(s)$，其中s为两树重叠节点数 - 最坏情况下每次合并需要新建所有重叠节点 3. **solve函数核心逻辑**： ```cpp void solve(const vector<int>& V, int t) { if(V.size()<2) return; // 分组逻辑 vector<int> A,B; // 合并操作 for(...) rt = Merge(Merge(rt, rc), lc); // 递归处理 solve(A,t-1); solve(B,t-1); } ``` - 每个递归层处理t位时： - 分组耗时$O(k)$（k为当前V的大小） - 合并操作产生的新树规模最大可达$k \times 2^{m-t}$ - 递归深度为$m$，每层处理规模呈树状分裂 $$复杂度结论$$ 1. **最坏时间复杂度**： $$O(nm \times 2^m)$$ 当所有元素二进制表示完全相同时，每次合并都会创建完整的新路径 2. **平均时间复杂度**： $$O(nm^2)$$ 基于以下两个关键观察： - 每层递归处理$t$位时，分组操作将元素分为两类 - 合并操作在每个bit层最多触发$n$次 3. **空间复杂度**： $$O(nm \times 2^m)$$ 由动态节点总数决定，最坏情况每个插入元素需要新建整条路径 $$代码特性解读$$ 1. **内存重用机制**： ```cpp totnow = tot; // 记录当前节点总数 ... tot = totnow; // 回溯节点计数器 ``` 该设计实现内存池的临时分配与回收，避免递归过程中内存无限增长 2. **贪心策略**： ```cpp Ans += (1ll<<t)*(A.size()-1) ``` 该累加式表明算法在计算某种形式的最大异或和，通过统计每个bit位可形成的有效配对数量 3. **合并策略**： ```cpp rt = Merge(Merge(rt, rc[V[i]]), lc[V[i]]) ``` 这种先合并右子树再合并左子树的方式，与经典01trie合并方向相反，可能用于特定优化场景 $$优化建议$$ 1. **节点复用**：可将叶节点压缩存储，减少内存分配 2. **剪枝策略**：当某子树所有路径已被统计时可提前终止合并 3. **迭代实现**：将递归合并改写为迭代形式，降低函数调用开销 该代码实现了一种特殊的分治式trie合并策略，在求解最大异或和相关问题时具有理论价值，但实际工程应用中需谨慎处理其指数级空间增长问题。