python头歌作业计算圆周率

### 使用Python计算圆周率 可以通过多种方法来实现 Python 中的圆周率 π 的计算。以下是基于 Chudnovsky 算法以及 Monte Carlo 方法和级数展开的方法。 #### 基于 Chudnovsky 算法 Chudnovsky 算法是一种高效的高精度圆周率计算方法，其核心公式如下： \[ \frac{1}{\pi} = 12 \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k (6k)! (13591409 + 545140134k)}{(3k)!(k!)^3 640320^{3k + 3/2}} \] 下面是一个使用 `decimal` 模块实现该算法的例子[^1]： ```python from decimal import Decimal, getcontext def compute_pi(chudnovsky_iterations): getcontext().prec = chudnovsky_iterations * 14 # 设置精度 C = 426880 * Decimal(10005).sqrt() M = 1 L = 13591409 X = 1 K = 6 S = L for i in range(1, chudnovsky_iterations): M = (K ** 3 - 16 * K) * M // i ** 3 L += 545140134 X *= -262537412640768000 S += Decimal(M * L) / X pi = C / S return str(pi)[:chudnovsky_iterations] print(compute_pi(10)) ``` 此代码利用了大整数运算，并通过调整迭代次数控制精度。 --- #### 基于 Monte Carlo 方法 Monte Carlo 方法是一种统计学上的近似方法，它通过随机采样估算圆周率。具体原理是在单位正方形内均匀分布点，并判断这些点是否落在四分之一圆内部[^3]。 下面是其实现代码[^4]: ```python import random from time import perf_counter DARTS = 1000000 # 投掷次数 hits = 0 start = perf_counter() for _ in range(DARTS): x, y = random.random(), random.random() distance = pow(x**2 + y**2, 0.5) if distance <= 1.0: hits += 1 pi_estimate = 4 * (hits / DARTS) end_time = perf_counter() - start print(f"圆周率值是: {pi_estimate}") print(f"运行时间是: {end_time:.5f}s") ``` 这种方法简单易懂，但收敛速度较慢，适合用于教学演示而非高精度需求场景。 --- #### 基于无穷级数 一种经典的级数展开方式是莱布尼茨级数，尽管它的收敛速度很慢，但对于理解基本概念很有帮助。 ```python def calculate_pi_with_series(iterations): pi_approximation = 0 for k in range(iterations): term = (-1)**k / (2*k + 1) pi_approximation += term return 4 * pi_approximation print(calculate_pi_with_series(1000000)) ``` 另一种更快速的方式是基于 Ramanujan 或 Machin 类型的公式，它们能够显著提高效率。 --- ### 总结 上述三种方法各有优劣：Chudnovsky 算法适用于极高精度的需求；Monte Carlo 方法直观但低效；而级数展开则适合作为入门学习工具。