欧拉角与四元数的

### 欧拉角与四元数的区别 欧拉角是一种通过三个连续旋转角度来描述三维空间中刚体方向的方法，通常称为滚转角（roll）、俯仰角（pitch）和偏航角（yaw）。而四元数则是一种扩展实数系统的数学结构，用于表示三维空间中的旋转。相比欧拉角，四元数能够有效避免万向锁问题，并且计算效率更高。 #### 区别总结 - **表达方式**：欧拉角由三个独立的角度组成，容易理解；四元数是一个具有四个分量的超复数形式。 - **应用范围**：欧拉角适合直观展示姿态变化；四元数更适合数值运算以及计算机图形学领域[^1]。 - **优点对比**：欧拉角易于解释物理意义，但存在奇异点（即万向锁现象），可能导致某些情况下无法唯一确定物体方位；四元数无此缺陷，在插值操作上表现优异[^2]。 --- ### 欧拉角到四元数的转换方法 假设给定一组欧拉角 \((\phi, \theta, \psi)\)，分别对应于绕 \(z\) 轴、\(y\) 轴和 \(x\) 轴的旋转，则可以按照如下公式将其转化为四元数： \[ w = \cos(\frac{\phi}{2}) \cdot \cos(\frac{\theta}{2}) \cdot \cos(\frac{\psi}{2}) + \sin(\frac{\phi}{2}) \cdot \sin(\frac{\theta}{2}) \cdot \sin(\frac{\psi}{2}) \] \[ x = \sin(\frac{\phi}{2}) \cdot \cos(\frac{\theta}{2}) \cdot \cos(\frac{\psi}{2}) - \cos(\frac{\phi}{2}) \cdot \sin(\frac{\theta}{2}) \cdot \sin(\frac{\psi}{2}) \] \[ y = \cos(\frac{\phi}{2}) \cdot \sin(\frac{\theta}{2}) \cdot \cos(\frac{\psi}{2}) + \sin(\frac{\phi}{2}) \cdot \cos(\frac{\theta}{2}) \cdot \sin(\frac{\psi}{2}) \] \[ z = \cos(\frac{\phi}{2}) \cdot \cos(\frac{\theta}{2}) \cdot \sin(\frac{\psi}{2}) - \sin(\frac{\phi}{2}) \cdot \sin(\frac{\theta}{2}) \cdot \cos(\frac{\psi}{2}) \][^3] 上述过程可以通过编程实现自动化处理，例如 Python 中有现成函数 `euler2quat` 可供调用。 ```python import numpy as np def euler_to_quaternion(roll, pitch, yaw): cy = np.cos(yaw * 0.5) sy = np.sin(yaw * 0.5) cp = np.cos(pitch * 0.5) sp = np.sin(pitch * 0.5) cr = np.cos(roll * 0.5) sr = np.sin(roll * 0.5) w = cr * cp * cy + sr * sp * sy x = sr * cp * cy - cr * sp * sy y = cr * sp * cy + sr * cp * sy z = cr * cp * sy - sr * sp * cy return [w, x, y, z] ``` --- ### 四元数到欧拉角的转换方法 如果已知一个单位四元数 \(q = (w, x, y, z)\)，那么其对应的欧拉角可通过以下公式求得： \[ \phi = \arctan2(2(w x + y z), 1 - 2(x^2 + y^2)) \] \[ \theta = \arcsin(2(w y - z x)) \] \[ \psi = \arctan2(2(w z + x y), 1 - 2(y^2 + z^2)) \][^3] 同样也可以借助库函数完成这一逆变换过程。 ```python def quaternion_to_euler(w, x, y, z): import math t0 = +2.0 * (w * x + y * z) t1 = +1.0 - 2.0 * (x * x + y * y) roll_x = math.atan2(t0, t1) t2 = +2.0 * (w * y - z * x) t2 = +1.0 if t2 > +1.0 else t2 t2 = -1.0 if t2 < -1.0 else t2 pitch_y = math.asin(t2) t3 = +2.0 * (w * z + x * y) t4 = +1.0 - 2.0 * (y * y + z * z) yaw_z = math.atan2(t3, t4) return [roll_x, pitch_y, yaw_z] ``` --- ### 总结 无论是从理论推导还是实际编码角度来看，欧拉角与四元数之间都存在着清晰明了的映射关系。这种互换机制不仅有助于解决传统坐标系下的局限性问题，还极大地拓宽了现代工程实践的应用场景。