问题描述： Donald 有一些礼品，这些礼品都是 1*1*1 的单位立方体，他需要把这些礼 品打包成一个长方体的包裹(注意：这个长方体不允许有空隙)。编程计算，这个 包裹包装纸的最小面积（即求长方体的表面积）。 输入格式： 第一行为数据组数 t(≤20)；接下来每行一个正整数 n(≤50000)，表示礼品 的个数。 输出格式： 对于每组数据，求出包装纸的最小面积。c++

<think>题目要求：将n个1*1*1的立方体打包成一个没有空隙的长方体，求最小表面积。 长方体的长、宽、高都是正整数，且满足a*b*c=n。表面积S=2(ab+bc+ca) 目标：找到a,b,c（均为正整数）使得a*b*c=n，且S最小。 思路： 由于n最大为50000，我们可以枚举长、宽、高。但是直接三重循环会超时。 优化：固定一个维度（比如a），然后枚举另一个维度（b），第三个维度c由n/(a*b)确定。 条件：a<=b<=c，这样可以避免重复枚举，并且根据数学性质，当三个数越接近时，表面积越小（但并非绝对，需要枚举验证）。 具体步骤： 1. 枚举a：a的范围是[1, n的立方根向上取整]（实际上可以到n^(1/3)），因为a是最小的维度，a最大不超过n^(1/3)（因为a^3<=n）。 2. 枚举b：b的范围是[a, sqrt(n/a)]（因为b*b<=n/a，即b<=sqrt(n/a)），这样保证b<=c（因为c=n/(a*b)>=b，因为a*b<=sqrt(n/a)*sqrt(n/a)=n/a，所以c>=b）。 3. 检查n/(a*b)是否为整数（即n%(a*b)==0），如果是，则令c=n/(a*b)，计算表面积S=2*(a*b+a*c+b*c)，并更新最小值。 注意：由于n可能很大（最大50000），所以枚举a和b的时间复杂度大约是O(n^(1/3)*sqrt(n))，对于50000来说，立方根大约是36.8，平方根大约是223.6，所以内层循环最多大约36.8*223.6≈8230次，而t最大20，总操作次数约20*8230=164600，在可接受范围内。 但是，还有一种情况：我们枚举a和b时，c可能不是整数，所以需要整除判断。 另外，注意边界：n=0的情况，但题目n>=1。 实现步骤： - 读入t，然后循环t次，每次读入n。 - 初始化最小表面积为无穷大（比如一个很大的数）。 - 枚举a：从1到pow(n,1/3)的向上取整（实际上可以到a*a*a<=n，或者a<=n且a*a<=n，因为a最小，所以a最大不超过n的立方根）。 更精确的：a从1到int(round(n**(1.0/3)))+1，但为了避免浮点误差，我们可以用a*a*a<=n作为循环条件。 - 枚举b：从a到sqrt(n/a)（取整），即b从a到int(sqrt(n/a))。 注意：n/a可能不是整数，但a整除n是前提（因为n%a==0，我们才需要枚举b，否则跳过当前a）？不对，实际上a不一定整除n，所以我们需要先判断a整除n？不对，因为b和c必须是整数，所以a*b必须整除n。但是我们在枚举b的时候再判断整除性也可以。 优化：在枚举a之前，我们可以先判断a整除n，这样能减少内层循环次数？但是不整除的话，内层循环也不会进行（因为b是整数，那么a*b不整除n，所以c不是整数）。所以我们可以先判断n%a==0，然后再枚举b。 步骤： for a in range(1, int(round(n**(1.0/3)))+2): if n % a != 0: continue na = n // a # 这样内层枚举b时，我们只需要考虑na的因子 for b in range(a, int(round(na**0.5))+1): if na % b == 0: c = na // b # 计算表面积 surface = 2*(a*b + a*c + b*c) update min_surface 但是，注意：a的枚举范围也可以更精确：a从1到n的立方根，即a*a*a<=n，那么a最大为pow(n,1/3)的整数部分。我们可以用while循环，或者用整数范围。 由于n最大50000，立方根大约是36.8，所以a最多枚举到36。 另一种写法：用a从1到int(n**(1.0/3))+1，然后判断a*a*a<=n。 但是，我们也可以直接枚举a从1到n，但这样太慢。所以优化为a<=b<=c，且a<=n^(1/3)。 注意：有可能存在a大于n^(1/3)的情况吗？比如a=37，那么37*37*37>50000，所以不会出现。所以a的上限是n^(1/3)的整数部分。 但是，如果n=1，那么a=1，所以需要包括边界。 具体代码步骤（C++）： 1. 读入t。 2. 循环t次： 读入n。 初始化min_surf为一个很大的数（比如10^18，或者2*(1*n + n*1 + 1*1)显然大于2*(3*n)所以可以初始化为6*n，因为当n=1时最小为6，而n很大时，最小表面积不会超过6*n，但实际上最小表面积远小于6*n，但为了安全，我们可以初始化为一个很大的数，如10^18）。 枚举a：从1开始，当a*a*a<=n时（或者a<=100，因为50000的立方根约36.8，所以a<=37），然后判断n%a==0，如果成立，则继续枚举b。 设na = n/a，那么b的范围是a到sqrt(na)（取整），即b从a到sqrt(na)（包括sqrt(na)）。 对于每个b，判断na%b==0，如果成立，则c=na/b，然后计算表面积，更新最小值。 3. 注意：有可能n是质数，那么它的因子只有1和n，那么a=1, b=1, c=n也是一种方案。 4. 输出最小表面积。 但是，还有一种情况：我们只枚举了a<=b<=c，但可能a大于n^(1/3)？不会，因为我们用a*a*a<=n来限制，所以a最大为n^(1/3)的整数部分。但是，如果n不是立方数，那么a的最大值应该小于等于n^(1/3)的整数部分。但是，当a超过n^(1/3)时，那么a至少为k，而b和c至少为k，那么k*k*k>n，矛盾。所以a一定在[1, n^(1/3)]。 但是，有一个问题：如果a没有枚举到所有因子怎么办？比如n=4，立方根约为1.58，那么a只能枚举1。当a=1时，na=4，然后b从1到sqrt(4)=2，枚举b=1和b=2。 b=1: na%b=0 -> c=4/1=4 -> 表面积=2*(1*1+1*4+1*4)=2*(1+4+4)=18 b=2: na%b=0 -> c=4/2=2 -> 表面积=2*(1*2+1*2+2*2)=2*(2+2+4)=16 然后a=2：但是2*2*2=8>4，所以不会枚举到a=2。但是，实际上a=2时，n%a=4%2=0，所以我们应该枚举a=2。但是我们的循环条件a*a*a<=n，2^3=8>4，所以跳过了。 所以，我们需要修改枚举a的范围：a的范围应该是从1到n^(1/3)的整数部分，但是这样会漏掉a大于n^(1/3)的情况。然而，根据a<=b<=c，我们有a<=n^(1/3)<=c，所以a最大为n^(1/3)的整数部分（向上取整）？实际上，a的最大值应该是n^(1/3)的整数部分，因为如果a>n^(1/3)，那么a^3>n，而b>=a, c>=a，则a*b*c>=a^3>n，矛盾。所以a一定不超过n^(1/3)的整数部分（向下取整）。但是，注意：n^(1/3)可能不是整数，所以a的最大值应该是floor(n^(1/3))。 但是，上面的例子n=4，n^(1/3)=1.58，所以a最大为1，那么a=2被漏掉了吗？实际上，a=2时，由于2>1.58，所以不会枚举。但是，我们枚举a=1时，已经得到了b=2，c=2，所以得到了a=1,b=2,c=2，这组解。而a=2时，按照a<=b<=c，那么a=2，则b和c至少为2，那么2*2*2=8>4，所以不可能有解。所以a=2的情况是不存在的，因为2*2*2=8>4，所以不可能有a=2,b>=2,c>=2满足a*b*c=4。因此，我们只需要枚举a<=n^(1/3)即可。 但是，为什么我们枚举a=1时能得到b=2？因为b可以大于a，并且c也可以大于a，但是a*b*c=n。所以a=1时，b可以取2，c=2，这样满足1<=2<=2。 所以，我们枚举a的范围是[1, floor(n^(1/3))]？但是，n=8时，n^(1/3)=2，那么a枚举1和2。当a=1时，na=8，b从1到sqrt(8)≈2.8，所以b=1,2。 b=1: c=8 -> 表面积=2*(1+8+8)=34 b=2: c=4 -> 表面积=2*(2+4+8)=28 a=2: 因为2^3=8<=8，所以进入。na=8/2=4，b从2到sqrt(4)=2，所以b=2，c=4/2=2，表面积=2*(4+4+4)=24 所以最小是24。 但是，我们漏了a=2时，b=2，c=2，所以上面已经计算了。 所以，算法正确。 但是，还有一种情况：a可能大于n^(1/3)吗？根据前面的论证，不可能。因为a<=b<=c，所以a^3<=a*b*c=n，所以a<=n^(1/3)。因此，a的范围是[1, floor(n^(1/3))]？但是，当n是立方数时，比如n=8，a可以取2，而2=8^(1/3)。所以，a应该取到[1, floor(n^(1/3))]（包括等于n^(1/3)的整数部分）。因此，循环条件应该是a*a*a<=n，这样a可以取到1,2,...,k，其中k是满足k^3<=n的最大整数。 因此，C++代码中，我们可以这样写： for (int a = 1; (long long)a*a*a <= n; a++) { if (n % a != 0) continue; int na = n / a; int sqrt_na = sqrt(na); // 取整 for (int b = a; b <= sqrt_na; b++) { if (na % b != 0) continue; int c = na / b; // 此时a<=b<=c long long surf = 2LL*(a*b + (long long)(a)*c + (long long)(b)*c); if (surf < min_surf) min_surf = surf; } } 但是，注意：有可能n%a==0，但是na%b!=0，那么跳过。另外，我们枚举了所有a<=b<=c的组合。 但是，还有一种可能：a没有枚举到所有情况？比如a=0？不可能，因为a>=1。 另外，注意：当a=0时，但题目n>=1，所以a>=1。 但是，我们还需要考虑a大于n^(1/3)的情况吗？前面已经证明不会出现。 但是，考虑n=50000，那么a的最大值是多少？a^3<=50000，a最大为36（因为36^3=46656，37^3=50653>50000），所以a最大为36。 所以，内层循环b从a到sqrt(na)，na最大为50000（当a=1时），sqrt(50000)≈223.6，所以内层循环次数最多223次。而外层循环最多36次，所以总循环次数最多36*223=8028次，对于每组数据都是可以接受的。 但是，注意：当a很大时，na会很小，所以内层循环次数很少。所以整体效率可以。 但是，还有一种特殊情况：当n=1时，a只能为1，然后na=1，b从1到sqrt(1)=1，所以b=1，c=1，表面积=2*(1+1+1)=6。 所以，代码实现如下： 注意：用long long避免溢出，因为n最大50000，a*b最大50000，a*c最大50000，b*c最大50000，所以ab+ac+bc最大可能150000，乘以2是300000，在int范围内，但为了安全，可以用long long。 但是，题目要求输出整数，而n<=50000，所以表面积最大可能是多少？ 最坏情况：n=50000，且形状是1*1*50000，那么表面积=2*(1*1+1*50000+1*50000)=2*(1+50000+50000)=2*100001=200002。 所以用int即可（题目n<=50000，表面积最大200002，int足够，但为了乘法不溢出，在乘法时用long long？因为a,b,c都是int，但a*b可能最大50000*50000=2.5e9，超过int（2e9）？不对，a,b,c最大是多少？a最大36，b最大223，c最大50000，所以a*b最大36*223=8028，a*c最大36*50000=1.8e6，b*c最大223*50000=11.15e6，总和最大8028+1.8e6+11.15e6≈13e6，乘以2=26e6，所以int足够（int最大约2e9）。所以不用担心溢出。 但是，在计算表达式时，为了避免中间结果溢出，我们可以在乘法时使用long long，或者确保乘法不溢出。由于n<=50000，所以最大乘积不超过50000*50000=2.5e9，而int在32位系统上最大是2^31-1=2.1e9，所以2.5e9会溢出。因此，我们需要用long long来计算乘积。 所以，计算表面积时： long long ab = (long long)a * b; long long ac = (long long)a * c; long long bc = (long long)b * c; long long surf = 2 * (ab + ac + bc); 或者直接：2LL * (1LL*a*b + 1LL*a*c + 1LL*b*c) 另外，在枚举a时，a*a*a可能会溢出int？n最大50000，a最大36，36*36=1296, 1296*36=46656<50000，所以a*a*a最大为36*36*36=46656，在int范围内（int最大2147483647）。所以不会溢出。 但是，为了安全，我们可以用long long来避免溢出，比如： for (int a = 1; (long long)a*a*a <= n; a++) 或者，如果编译器支持，可以用1LL*a*a*a<=n。 代码实现： 注意：sqrt(na)取整，我们使用(int)sqrt(na)，但是sqrt返回double，所以可以转换为int，但是注意，由于浮点误差，比如sqrt(25)可能得到4.9999，转换为int就是4，所以我们需要调整：取上界？或者用整数方法。 我们可以这样：int b_max = sqrt(na); 然后判断(b_max+1)*(b_max+1)<=na？这样太麻烦。通常，我们使用： int b_max = sqrt(na); while (b_max * b_max < na) b_max++; // 这样b_max就是第一个平方大于等于na的整数，那么b的上限应该是b_max，因为b<=sqrt(na)的最大整数应该是b_max-1？不对，因为sqrt(na)可能不是整数，所以b的最大值应该是floor(sqrt(na))，即b_max0 = (int)sqrt(na); 然后b从a到b_max0（包括b_max0）。 但是，由于浮点误差，我们可能得到错误的值。所以，更安全的方法是： int b_max = (int)sqrt(na); if (b_max * b_max < na) b_max++; // 这样b_max就是大于sqrt(na)的最小整数，那么b的上限应该是b_max-1？不对，我们要求b<=sqrt(na)，所以b的最大值应该是b_max0，即向下取整。所以我们可以： b_max = (int)sqrt(na); for (b=a; b<=b_max; b++) // 这样b_max是向下取整的整数，但可能b_max*b_max<=na，而(b_max+1)*(b_max+1)>na，所以b最大只能取到b_max，但我们需要确保b<=sqrt(na)且b*b<=na，而b_max+1可能大于sqrt(na)且(b_max+1)*(b_max+1)可能大于na，所以b_max就是满足b*b<=na的最大整数。所以这样写是安全的？ 但是，由于浮点误差，sqrt(na)可能比实际值小一点，导致b_max比实际值小一点。所以，我们可以： int b_max = (int)sqrt(na) + 1; for (b=a; b<=b_max; b++) // 这样可能会多枚举一个，但是内层循环会通过na%b==0来检查，所以多枚举一个也没关系，而且b_max+1可能满足b*b<=na吗？如果na是完全平方数，那么b_max0=sqrt(na)，那么b_max0+1的平方=na+2*sqrt(na)+1>na，所以不会满足b<=sqrt(na)（因为b_max0+1>sqrt(na)）。所以实际上，我们只需要枚举到b_max0（即sqrt(na)的整数部分）即可。所以我们可以： int b_max = (int)sqrt(na); for (b=a; b<=b_max; b++) // 这样写，但是当na是完全平方数时，b_max0=sqrt(na)，那么b可以取到b_max0，而c=na/b_max0=na/sqrt(na)=sqrt(na)，所以满足b<=c。 但是，如果na不是完全平方数，那么b_max0=floor(sqrt(na))，那么b从a到b_max0，然后c=na/b，而b<=c吗？因为b<=sqrt(na)，所以b<=na/b，即b*b<=na，所以c=na/b>=b，成立。 所以，我们可以使用： int b_max = sqrt(na); // 直接取整，但是这样可能会因为浮点误差导致b_max比实际小？比如na=15，sqrt(15)=3.87，取整为3，然后b从a到3，然后b=3时，15%3==0，所以c=5，满足3<=5。而b=4不会被枚举，因为4>3，而4>sqrt(15)？不对，sqrt(15)≈3.87，所以4>3.87，所以不应该枚举。因此，这样写正确。 但是，为了避免浮点误差，我们可以用整数方法：b_max = sqrt(na) 可以写成 while (b_max*b_max <= na) b_max++; 然后b_max--; 这样得到最大的b_max满足b_max*b_max<=na。但是这样写效率低，而且外层循环已经很快了，所以直接用sqrt函数。 或者，我们可以用二分法求b_max，但没必要。 所以，我们采用： int na = n / a; // 因为n%a==0，所以na是整数 int b_max = sqrt(na); // 取整 // 但是，由于浮点误差，可能b_max*b_max<=na，而(b_max+1)*(b_max+1)<=na? 所以我们需要调整？ // 为了避免浮点误差，我们可以： while (b_max * b_max < na) { b_max++; } // 这样，b_max*b_max>=na，但是我们需要b_max是满足b*b<=na的最大整数，所以如果b_max*b_max>na，那么b_max-1才是我们需要的最大值。 if (b_max * b_max > na) b_max--; // 然后枚举b从a到b_max 但是，这样写可能更安全，但是效率略低。实际上，对于na=50000，sqrt(50000)=223.606，取整为223，而223*223=49729<50000，所以我们需要b_max=223，但是223*223<50000，所以上面的while循环会执行到b_max=224（因为224*224=50176>50000），然后我们判断224*224>50000，所以b_max=223。这样得到正确值。 但是，这样写增加了循环，而na最大50000，所以最多循环224次，但这是在内层循环之前，而且每组数据最多36次调用（因为a最多36次），所以总循环次数36*224=8064，可以接受。 但是，我们也可以不调整，直接用： int b_max = sqrt(na); if ((b_max+1)*(b_max+1) <= na) b_max++; // 这样确保b_max是满足b_max*b_max<=na的最大整数？不对，因为(b_max+1)可能已经大于sqrt(na)了，但为了得到最大的满足b*b<=na的b，我们可以： while (b_max*b_max <= na) b_max++; b_max--; 但是，这样写更麻烦。我们直接使用第一种调整方法：先取整，然后如果b_max*b_max<na，就b_max++，然后如果b_max*b_max>na，再b_max--。这样得到b_max就是满足b_max*b_max<=na的最大整数。 但是，实际上，我们可以用： int b_max = (int)sqrt(na); // 取整 // 检查b_max+1的平方是否<=na，如果是，则b_max++，直到b_max*b_max<=na且(b_max+1)*(b_max+1)>na if ((long long)(b_max+1)*(b_max+1) <= na) { b_max++; } // 现在，b_max是满足b_max*b_max<=na的最大整数？不一定，因为可能b_max+1的平方<=na，所以我们需要循环？ // 其实，因为b_max是取整的，所以b_max<=sqrt(na)<b_max+1，那么b_max*b_max<=na，而(b_max+1)*(b_max+1)可能大于na也可能小于等于na？所以我们需要确保(b_max+1)*(b_max+1)>na，否则就b_max++直到满足。 为了避免麻烦，我们直接使用循环： int b_max = 1; while ((long long)b_max * b_max <= na) { b_max++; } b_max--; // 这样b_max就是最大的满足b_max*b_max<=na的整数 但是，这样写，对于na=50000，需要循环224次（从1开始循环到224，然后224*224=50176>50000，退出，然后b_max=223），每组数据有36次这样的循环，总循环次数36*224=8064，可以接受。 但是，我们也可以不用每次循环那么多次，因为b_max最大为sqrt(na)≈224，所以循环224次，总操作次数8064，可以接受。 但是，我们还可以用sqrt函数取整，然后调整一下： int b_max = sqrt(na); // 取整 if ((long long)(b_max) * b_max > na) { // 这种情况很少见，浮点误差导致取整后平方大于na b_max--; } // 然后，再检查b_max+1的平方是否<=na，如果是，则b_max++（因为取整后可能比实际小） if ((long long)(b_max+1) * (b_max+1) <= na) { b_max++; } // 这样，b_max就是最大的满足b_max*b_max<=na的整数。 这样写比较麻烦，而且可能还有边界问题。 因此，我们采用简单方法：枚举b从a到sqrt(na)（取整），然后不调整，直接用b_max=sqrt(na)，然后枚举b从a到b_max。这样，如果b_max=sqrt(na)取整后，那么b_max*b_max<=na，而(b_max+1)*(b_max+1)>na？不一定，因为浮点误差，可能b_max取小了，那么我们就漏掉了一个b？所以，为了保险，我们枚举b从a到sqrt(na)+1，然后在内层判断b*b<=na，如果超过，就break。 即： for (int b = a; (long long)b * b <= na; b++) { if (na % b != 0) continue; int c = na / b; // 计算 } 这样，内层循环条件用b*b<=na，那么b的最大值就是满足b*b<=na的最大整数，而且不会漏掉。同时，当na很大时，b从a开始，直到b*b>na退出，循环次数大约是sqrt(na)-a+1，和之前一样。所以这样写更安全。 因此，我们修改内层循环条件：用b*b<=na作为循环条件，这样就不需要先计算b_max了。 所以，代码： for (int a = 1; (long long)a * a * a <= n; a++) { if (n % a != 0) continue; int na = n / a; for (int b = a; (long long)b * b <= na; b++) { if (na % b != 0) continue; int c = na / b; long long surf = 2LL * (1LL*a*b + 1LL*a*c + 1LL*b*c); if (surf < min_surf) min_surf = surf; } } 这样写，简单且安全。 但是，注意：内层循环b从a开始，当a=1，na=n，那么b从1到sqrt(n)，循环次数sqrt(n)，而a最多n^(1/3)，所以总循环次数大约是O(n^(1/3)*sqrt(n))，对于n=50000，sqrt(50000)≈224，n^(1/3)≈36，总次数224*36=8064，可以接受。 但是，当a较大时，na较小，所以内层循环次数很少。所以实际运行很快。 另外，考虑n=1的情况：a=1，然后na=1，内层循环：b从1开始，判断b*b<=1，所以b=1（因为1*1=1<=1），然后b=2时，2*2=4>1，退出。所以内层循环1次。 所以，最终代码： 注意：我们枚举了所有满足a<=b<=c且a*b*c=n的组合，并计算了表面积，取最小值。 但是，有可能n的因子很多，但是我们的枚举范围是a<=n^(1/3)，所以不会漏掉任何解。 因此，我们输出min_surf。 但是，还有一种情况：n可能是一个很大的质数，那么它的因子只有1和n，那么a=1, b=1, c=n。这个组合会被枚举到：当a=1时，na=n，然后b从1到sqrt(n)，当b=1时，c=n，所以会计算。 所以，代码正确。 最后，我们输出每组数据的最小表面积。 代码框架： #include <iostream> #include <cmath> #include <climits> #include <cctype> #include <vector> using namespace std; int main() { int t; cin >> t; while (t--) { int n; cin >> n; long long min_surf = LLONG_MAX; // 初始化为很大的数 // 枚举a for (int a = 1; (long long)a * a * a <= n; a++) { if (n % a != 0) continue; int na = n / a; // 枚举b for (int b = a; (long long)b * b <= na; b++) { if (na % b != 0) continue; int c = na / b; // 计算表面积 long long surf = 2LL * (1LL*a*b + 1LL*a*c + 1LL*b*c); if (surf < min_surf) min_surf = surf; } } cout << min_surf << endl; } return 0; } 但是，我们考虑n=4，按照上面的循环： a=1: 1*1*1=1<=4 -> na=4 b=1: 1*1<=4 -> 4%1==0 -> c=4/1=4 -> surf=2*(1+4+4)=18 b=2: 2*2=4<=4 -> 4%2==0 -> c=4/2=2 -> surf=2*(2+2+4)=16 -> 更新min_surf=16 a=2: 2*2*2=8>4 -> 跳过 所以输出16。 但是，最小表面积应该是16吗？实际上，1*2*2的表面积=2*(2+2+4)=16，正确。 但是，还有一种情况：我们枚举a=1,b=1,c=4，得到18；然后a=1,b=2,c=2，得到16。所以正确。 但是，n=8： a=1: na=8 b=1: 1<=sqrt(8)≈2.8 -> 1*1<=8 -> 8%1==0 -> c=8 -> surf=2*(1+8+8)=34 b=2: 2*2=4<=8 -> 8%2==0 -> c=4 -> surf=2*(2+4+8)=28 a=2: 2*2*2=8<=8 -> na=4 b=2: 2*2=4<=4 -> 4%2==0 -> c=2 -> surf=2*(4+4+4)=24 -> 更新为24 输出24。 正确。 但是，注意：当a=1时，b可以取到1,2,...,sqrt(na)，而sqrt(na)可能是小数，但循环条件b*b<=na，所以b取整数，不会漏掉。 所以，我们输出代码。 注意：用long long来存储表面积，避免溢出（虽然int可能不溢出，但题目n<=50000，最大表面积200002，所以int足够，但是乘法时可能中间结果溢出，所以用long long更安全）。 另外，注意：n=0的情况，但题目n>=1，所以不考虑。 但是，有一个问题：如果n的因子很多，但是我们的枚举范围很小（a最多36），所以不会超时。 因此，最终C++代码：</think>### 问题解答 Donald 需要将 n 个 1×1×1 的单位立方体打包成无空隙的长方体包裹，求最小包装纸面积（即最小表面积）。长方体的尺寸为 a、b、c（正整数），满足 a × b × c = n，表面积 S = 2(ab + bc + ca)。目标是找到使 S 最小的 a、b、c 组合。 #### 算法思路 当 a、b、c 尽可能接近时（即接近立方体形状），表面积最小。优化枚举策略： 1. **枚举 a**：从 1 到 ∛n（取整），因为 a 最大不超过 n 的立方根（a³ ≤ n）。 2. **枚举 b**：对于每个 a，枚举 b 从 a 到 √(n/a)（取整），因为 b ≤ c 要求 b ≤ √(n/a)。 3. **计算 c**：若 n % (a×b) == 0，则 c = n/(a×b)。 4. **更新最小表面积**：计算 S = 2(ab + bc + ca) 并更新最小值。 时间复杂度：O(t × n^{1/3} × √n)，对 n ≤ 50000 和 t ≤ 20 高效。 #### C++ 代码实现 ```cpp #include <iostream> #include <climits> using namespace std; int main() { int t; cin >> t; while (t--) { long long n; cin >> n; long long min_surf = LLONG_MAX; // 初始化最小表面积为最大值 // 枚举 a: a 从 1 到 n 的立方根 for (long long a = 1; a * a * a <= n; a++) { if (n % a != 0) continue; // 跳过不能整除的 a long long na = n / a; // na = n / a // 枚举 b: b 从 a 到 sqrt(na) for (long long b = a; b * b <= na; b++) { if (na % b != 0) continue; // 跳过不能整除的 b long long c = na / b; // 计算 c // 计算表面积 long long surf = 2 * (a*b + a*c + b*c); if (surf < min_surf) min_surf = surf; // 更新最小值 } } cout << min_surf << endl; // 输出结果 } return 0; } ``` #### 代码说明 1. **输入处理**：读取数据组数 `t`，循环处理每组数据的 `n`。 2. **枚举优化**： - 外层循环枚举 `a`，满足 `a³ ≤ n`。 - 内层循环枚举 `b`，满足 `b² ≤ n/a`。 - 检查整除性确保 `c` 为整数。 3. **表面积计算**：使用 `long long` 避免溢出，计算 `S = 2(ab + bc + ca)`。 4. **输出**：每组数据输出最小表面积。 #### 示例测试 - **输入**： ``` 2 1 6 ``` - **输出**： ``` 6 22 ``` - `n=1`：a=b=c=1，S=2(1+1+1)=6。 - `n=6`：最优解 a=1,b=2,c=3，S=2(2+6+3)=22。 此代码在给定约束下高效求解最小表面积。