You are given a positive integer N. Determine whether there exists a pair of positive integers (x,y) such that x 3 −y 3 =N. If such a pair exists, print one such pair (x,y). Constraints 1≤N≤10 18 All input values are integers. Input The input is given from Standard Input in the following format: N Output If there is no pair of positive integers (x,y) satisfying x 3 −y 3 =N, print -1. If there is such a pair, print x and y in this order separated by a space. If there are multiple solutions, printing any one of them is accepted as correct.C++实现

<think>好的，我现在需要解决用户的问题：如何用C++编写程序找到满足x³ - y³ = N的正整数对(x, y)，如果不存在则输出-1。这个问题看起来有点挑战性，我得仔细分析。 首先，我需要理解题目要求。给定一个正整数N，找到满足x³ - y³等于N的正整数x和y，其中x和y都是正整数。如果找不到，输出-1。那么，我的目标就是找出所有可能的x和y的组合，然后验证是否存在这样的组合。 接下来，我需要考虑如何高效地找到这样的x和y。直接暴力枚举所有可能的x和y显然效率不高，特别是当N很大时，这会导致程序运行时间过长。因此，我需要找到一个数学上的优化方法，减少需要检查的范围。 首先，我应该考虑x和y之间的关系。因为x³ - y³ = N，所以x³ = y³ + N。这里，x必须大于y，因为两者都是正整数，且x³必须比y³大N。因此，y的取值范围应该小于x，而x的最小可能值是y+1。 接下来，我需要确定x和y的可能范围。例如，对于给定的N，x的最大可能值是多少？因为x³ - (x-1)³ = 3x² - 3x +1。当x增大时，这个差值也会增大。因此，对于给定的N，x的可能上限大约是N的立方根，或者更大一些？或者，或者更准确地说，当y=1时，x³ = 1 + N，所以x的上限应该是ceil(cbrt(N +1))。这可能是一个可能的范围，但不确定是否需要进一步调整。 或者，我可以将方程x³ - y³ = N进行因式分解。x³ - y³ = (x - y)(x² + xy + y²) = N。因此，我需要找到两个正整数因子a和b，使得a*b=N，并且a=x - y，b=x² + xy + y²。然后解这两个方程，得到x和y的值。 这个方法可能更高效，因为我们可以枚举N的所有可能的因数对(a, b)，其中a <= b，因为a和b都是正整数，并且a*b=N。然后，对于每个因数对，解方程组： x - y = a x² + xy + y² = b 然后，通过代数方法解这两个方程，得到x和y的可能值。如果存在整数解，并且x和y都是正整数，那么就找到了符合条件的解。 这似乎是一个可行的方法，因为它将问题转化为枚举因数对，这比暴力枚举x和y要高效得多，特别是当N的因数数目较少时。 现在，我需要详细推导如何从a和b中得到x和y的解。假设x = y + a，代入第二个方程： (y + a)² + (y + a)y + y² = b 展开后： y² + 2a y + a² + y² + a y + y² = b 合并同类项： 3y² + 3a y + a² = b 这可以视为关于y的一元二次方程： 3y² + 3a y + (a² - b) = 0 解这个方程，判别式D= (3a)^2 -4*3*(a² -b) =9a² -12a² +12b= -3a² +12b= 12b -3a²=3*(4b -a²) 为了使y有整数解，判别式必须是非负的完全平方数。所以，4b -a² >=0，并且必须是某个整数的平方。假设判别式D=3*(4b -a²)必须是平方数，即4b -a²必须等于k²，其中k是正整数，并且3k²必须是平方数。这可能比较复杂。 或者，或许可以通过其他方式处理。例如，将方程3y² +3a y +a² -b=0求解，得到： y = [-3a ±√(9a² -12(a² -b))]/(2*3) = [-3a ±√(9a² -12a² +12b)]/6 = [-3a ±√(-3a² +12b)]/6 = [-3a ±√(3*(4b -a²))]/6 为了使y为正整数，分子必须为整数，并且分母6能被整除。同时，根号内的3*(4b -a²)必须是完全平方数。因此，4b -a²必须等于3*m²，其中m是正整数。此时，根号内的值变为√(3*3m²)=3m。于是，方程变为： y = [-3a ±3m]/(6) = [-a ±m]/2 因为y必须是正整数，所以分子必须为正整数，并且分母为2。所以，-a +m必须是正偶数，或者-a -m的绝对值必须满足某些条件，但显然，-a -m会导致负数，所以只考虑+的情况： y = (-a +m)/2 这里，需要满足-a +m >0，即m >a。同时，y必须是正整数，因此(-a +m)必须是正的偶数。 现在，总结一下步骤： 1. 遍历N的所有因数对(a, b)，其中a*b=N，且a <= b。 2. 对于每个因数对，检查4b -a²是否能被3整除，并且等于某个m²*3。即，4b -a²必须等于3*m²，其中m是正整数。 3. 然后，计算m的值，m = sqrt((4b -a²)/3)。 4. 然后，计算y的值：y = (m -a)/2。必须保证y是正整数。 5. 如果y是正整数，则x = y + a，并且x也为正整数。 6. 如果找到这样的x和y，则返回这对解。可能有多个因数对，需要找到最小的x或者y？或者根据题目要求，是否需要找到所有可能的解？根据问题描述，用户可能希望找到最小的解，或者任意解，只要存在即可。题目没有说明是否需要所有解，可能只需要找到任意一对存在的解即可，或者找到最小的x和y。需要看问题要求。 问题描述是“找到一对正整数（x，y）”，所以只要存在一对即可，可能返回其中最小的或任意一个。但题目没有明确，所以可能需要返回最小的x或y的解。 现在，我需要将这些步骤转化为C++代码。 首先，如何遍历所有因数对(a, b)？因为a*b=N，所以a的可能取值范围是1到sqrt(N)。对于每个a，如果N%a ==0，则b=N/a。这样，可以枚举所有可能的因数对。需要注意的是，当a=0时，这里不考虑，因为N是正整数，所以a必须>=1。 对于每个因数对(a, b)，其中a <=b： 计算4*b -a²是否>=0，并且是否能被3整除，且结果为某个m的平方乘以3？ 或者，计算4*b -a²必须等于3*m²，其中m是正整数。因此，4*b -a²必须能被3整除，且(4b -a²)/3必须是完全平方数。 假设这一步成立，那么m = sqrt((4b -a²)/3)。必须确保m是整数，并且结果为正整数。 然后，计算y=(m -a)/2，必须为正整数。同时，x = y +a，也必须为正整数。 如果满足这些条件，那么这对(a,b)对应的x和y就是一个解。 接下来，我需要考虑如何高效地遍历所有可能的因数对，并找到符合条件的解。 需要注意的是，当a和b的顺序交换时，比如当a=2，b=N/2，但如果此时a >b的话，可能已经被前面的循环排除了。因此，在枚举因数对时，只需要枚举a<=sqrt(N)，并且将a和b=N/a作为可能的对，其中a <=b。 例如，循环a从1到sqrt(N)，如果N%a==0，则得到一个因数对(a, N/a)。如果a != N/a，则另一个因数对是(N/a, a)，但因为前面的处理已经确保a<=b，所以只需要处理a <=b的情况。 现在，编写代码的大致步骤： 1. 输入正整数N。 2. 遍历所有可能的因数对(a, b)其中a*b=N，a<=b。 3. 对于每个因数对，计算4*b -a²的值。 4. 检查该值是否非负，并且是否能被3整除。如果不能，跳过。 5. 计算该值除以3后的结果是否为完全平方数。即，检查是否存在整数m，使得m²等于(4b -a²)/3。 6. 如果存在这样的m，则计算y=(m -a)/2。需要保证y是正整数，并且结果必须是整数。 7. 如果y是正整数，则计算x=y +a，并检查x是否为正整数。 8. 如果所有条件满足，则输出这对(x, y)。 9. 遍历所有可能的因数对，直到找到符合条件的解。如果所有因数对都检查过但没有解，则输出-1。 需要注意，可能存在多个因数对对应的解，但题目可能只需要找到其中一个即可。例如，当存在多个解时，可能需要找到x最小的解，或者y最小的解。但问题中没有明确说明，所以可能只需要找到任意一个解即可。 例如，假设N= 19。比如，x=3，y=2，那么3³ -2³=27-8=19。这时，因数对可能为a=1，b=19。或者，是否有其他因数对？ 对于a=1，b=19： 计算4*19 -1²=76-1=75。75是否能被3整除？是的，75/3=25=5²。所以m=5。然后，y=(5-1)/2=4/2=2，是正整数。x=2+1=3。所以，这对解成立。 因此，当遍历因数对(1,19)时，就能找到解。 另一个例子，比如N=7。x=2，y=1：8-1=7。因数对a=1，b=7。4*7-1=28-1=27。27/3=9=3²。m=3。y=(3-1)/2=1。x=1+1=2。正确。 这说明这个方法是可行的。 现在，如何将这个过程转化为C++代码？ 首先，需要遍历所有可能的因数对。为此，可以循环a从1到sqrt(N)，然后检查N是否能被a整除。如果是，则得到因数对(a, N/a)。 然后，对于每个因数对，计算4*b -a²的值。 然后，检查这个值是否非负，并且能被3整除。如果不能，跳过。 接着，计算这个值除以3后的结果是否是一个完全平方数。这可以通过计算sqrt(val)取整，然后平方是否等于原值来判断。 例如，int m_squared = (4*b -a*a)/3; 然后，int m = sqrt(m_squared); 如果m*m != m_squared，则跳过。 否则，继续检查y=(m -a)/2是否为整数且大于0。 如果以上条件都满足，则得到解x = y +a。 此时，返回这对(x,y)。如果存在多个解，可能需要选择最小的x或者y。比如，如果有多个因数对对应的解，应该取最小的x或者y中的哪一个？题目没有明确，但可能只需找到任一解即可。 现在，编写代码的大致结构： 输入N。 遍历a从1到sqrt(N): if N %a ==0: b = N /a; val =4*b -a*a; if val <0: continue; if val %3 !=0: continue; m_squared = val /3; m = sqrt(m_squared); if m*m != m_squared: continue; y = (m -a)/2; if y <=0: continue; if (m -a) %2 !=0: continue; x = y +a; 输出x和y，并结束程序。 如果遍历完所有因数对后没有找到解，输出-1。 但需要注意，因数对中的a和b的顺序是否会影响找到解的可能。比如，当N=19，因数对是(1,19)和(19,1)。但在代码中，我们只遍历a到sqrt(N)，即当a=1时，b=19，而当a=19时，可能已经超过sqrt(19)≈4.35，所以不会被循环处理。因此，当N是较大的数时，例如N=某个大质数，其因数只有1和N本身，此时循环只处理a=1的情况，而另一个因数对是(N,1)，但此时a=N，b=1，但因为a<=b的条件，所以该因数对不会被处理，因为当a=N时，b=1，但此时a必须<=b吗？是的，因为循环条件是a<=sqrt(N)，所以当a超过sqrt(N)时，b=N/a会小于a，所以不会被处理，所以必须遍历a<=sqrt(N)，此时b=N/a >=a。 因此，这样的遍历方式是正确的，能覆盖所有可能的因数对，其中a <=b。 现在，编写代码的结构： #include <iostream> #include <cmath> using namespace std; int main() { int N; cin >> N; for (int a = 1; a <= sqrt(N); ++a) { if (N % a != 0) { continue; } int b = N / a; int val = 4 * b - a * a; if (val < 0) { continue; } if (val % 3 != 0) { continue; } int m_squared = val / 3; int m = sqrt(m_squared); if (m * m != m_squared) { continue; } int y = (m - a) / 2; if (y <= 0 || (m - a) % 2 != 0) { continue; } int x = y + a; cout << x << " " << y << endl; return 0; } // 检查a=0的情况？不需要，因为a从1开始 // 另外，可能因数对中的a和b顺序是否还有其他可能性？ // 例如，当a=1，b=N，而是否可能存在其他因数对，如b=某些值？ // 另外，可能还有因数对(a,b)中的a和b的顺序不同，例如当a=2，b=N/2，但此时a<=b的条件是否满足？ // 现在，可能遗漏了某些因数对。例如，当N=某个数，其因数对中的a较大的情况？ // 比如，当N=217，其因数对可能是7*31=217，其中7<=31。此时循环a到sqrt(217)=14.73，所以a=7会被处理，而31不会被处理，因为当a=31时，b=7，此时a>b，不会被循环处理。 // 所以，原来的循环是正确的，所有可能的因数对(a,b)均满足a<=b，并且a<=sqrt(N)。 // 但这里可能存在一个问题：当a和b的值交换时，可能得到不同的解。例如，是否有可能在a和b交换后的因数对中得到解？ // 例如，考虑N= x³ - y³ = (x-y)(x² +xy + y²) = a*b。其中，a=(x-y), b=(x² +xy + y²)。此时，a和b必须满足a <=b吗？ // 是的，因为当x和y是正整数时，x² +xy + y² >=x-y，假设x>y。例如，当x=3，y=2，则a=1，b=19。此时，b=19> a=1。 // 因此，因数对中a <=b是成立的，所以循环中的处理是正确的。 // 因此，原来的循环正确。 // 现在，可能还存在其他因数对的情况吗？比如，当N的因数对超过两个？ // 例如，N=多个因数的情况，例如N=6，因数对有(1,6),(2,3)。那么，每个因数对都需要处理。 // 因此，在循环中，对于每个a从1到sqrt(N)，如果N%a==0，则处理对应的因数对(a, N/a)，不管a是否为平方根。 // 因此，代码中的循环是正确的。 // 现在，需要考虑当N=0的情况？但题目中N是正整数，所以不需要处理。 // 所以，代码的大体结构正确。 // 测试一些例子。 // 例如，N=7： // 因数对a=1，b=7。 // val=4*7 -1=28-1=27。27%3=0。m_squared=9，m=3。 // y=(3-1)/2=1，x=2。正确。 // 另一个例子，N=19： // a=1，b=19。val=76-1=75。75/3=25，m=5。y=(5-1)/2=2。x=3。正确。 // 如果N=218，可能不存在解？ // 现在，如果代码遍历所有因数对后没有找到解，则输出-1。 cout << -1 << endl; return 0; } 这应该就是正确的代码。但需要测试是否所有情况都能正确处理。 例如，当N=0，但题目中N是正整数，所以无需考虑。当输入的N是负数时，题目要求也是正整数，所以程序不需要处理。 现在，需要考虑可能的错误情况，例如当N=1时，x³ - y³=1。此时可能的解是x=1，y=0，但y必须是正整数，所以不存在解。因此，程序应该输出-1。 测试N=1时的情况： 循环a=1，因为sqrt(1)=1。b=1/1=1。val=4*1 -1=3。3%3=1？不，3%3=0。所以val=3，3%3=0。m_squared=3/3=1。m=1。y=(1-1)/2=0。这不符合y为正整数的条件，所以被跳过。因此，没有解，输出-1。 正确。 另一个测试，N=56=3³-1³=27-1=26？不对。或者寻找其他解？ 比如，x=4，y=2：64-8=56。所以x=4，y=2。此时，因数对a=x-y=2，b=x² +xy + y²=16+8+4=28。所以a=2，b=28。N=2*28=56。 现在，代码中的循环a的范围是sqrt(56)=~7.48。a从1到7。 当a=2时，检查N%2==0。是的，b=56/2=28。此时，val=4*28 -2²=112-4=108。108%3=0。m_squared=108/3=36。m=6。y=(6-2)/2=4/2=2。x=2+2=4。符合条件，输出4 2。正确。 所以，代码在a=2时会处理这个因数对，并找到解。 因此，代码是正确的。 综上，该代码能够正确处理各种情况，找到满足x³ -y³=N的正整数对(x,y)。</think>要解决寻找满足 $x^3 - y^3 = N$ 的正整数对 $(x, y)$ 的问题，可以通过因数分解和代数推导来优化搜索过程。以下是具体的解决步骤和C++实现： ### 方法分析 1. **因数分解思路** 方程 $x^3 - y^3 = N$ 可分解为： $$(x - y)(x^2 + xy + y^2) = N$$ 因此，只需遍历 $N$ 的所有因数对 $(a, b)$，其中 $a = x - y$ 且 $b = x^2 + xy + y^2$，并验证是否存在满足条件的正整数解。 2. **代数推导** - 将 $x = y + a$ 代入 $b = x^2 + xy + y^2$，化简得到关于 $y$ 的二次方程： $$3y^2 + 3a y + a^2 - b = 0$$ - 通过判别式判断方程是否有整数解： $$4b - a^2 = 3m^2$$ 其中 $m$ 为正整数，进一步求得 $y = \frac{m - a}{2}$。 ### C++代码实现 ```cpp #include <iostream> #include <cmath> using namespace std; int main() { int N; cin >> N; for (int a = 1; a <= sqrt(N); ++a) { if (N % a != 0) continue; int b = N / a; int val = 4 * b - a * a; if (val < 0 || val % 3 != 0) continue; int m_squared = val / 3; int m = sqrt(m_squared); if (m * m != m_squared) continue; if ((m - a) % 2 != 0) continue; int y = (m - a) / 2; if (y <= 0) continue; int x = y + a; cout << x << " " << y << endl; return 0; } cout << -1 << endl; return 0; } ``` ### 代码说明 1. **遍历因数对** 循环遍历 $a$ 从 $1$ 到 $\sqrt{N}$，检查 $a$ 是否为 $N$ 的因数，并计算对应的 $b = N/a$。 2. **验证条件** - 计算 $4b - a^2$ 并检查其是否为非负且能被 $3$ 整除。 - 进一步验证 $(4b - a^2)/3$ 是否为完全平方数，并计算 $m$。 - 检查 $y = (m - a)/2$ 是否为正整数。 3. **输出结果** 若找到符合条件的 $(x, y)$，直接输出；否则输出 $-1$。 ### 示例 - **输入**：$19$ **输出**：$3\ 2$ 因为 $3^3 - 2^3 = 27 - 8 = 19$[^1]。 - **输入**：$56$ **输出**：$4\ 2$ 因为 $4^3 - 2^3 = 64 - 8 = 56$。 ---