使用python实现你觉得可行的核函数，将数据集中四个样本转化为线性可分的数据。你只需实现核函数方法，我们会调用逻辑回归算法对转化后的数据进行二分类，#encoding=utf8 import numpy as np #实现核函数 def kernel(x,sigma=1.0): ''' input:x(ndarray):样本 output:x(ndarray):转化后的值 ''' #********* Begin *********# #********* End *********# return x

### 使用 Python 实现 RBF 核函数将非线性数据转换为线性可分数据 为了实现这一目标，可以通过定义 RBF（径向基函数）核函数来完成样本的映射操作。以下是具体的实现方法以及逻辑回归二分类场景下的代码示例。 #### 定义 RBF 核函数 RBF 核函数的核心思想是通过高斯函数将低维空间中的非线性不可分数据映射到高维空间中使其成为线性可分数据[^4]。下面是一个简单的 RBF 函数实现： ```python import numpy as np def rbf_kernel(x, landmarks, gamma=1.0): """ 计算 RBF 核函数值矩阵。 参数: x (numpy.ndarray): 输入样本数组，形状为 (n_samples,)。 landmarks (list or numpy.ndarray): 地标点列表或数组。 gamma (float): 控制 RBF 核宽度的超参数，默认为 1.0。 返回: numpy.ndarray: 映射后的特征矩阵，形状为 (n_samples, n_landmarks)。 """ result = [] for data_point in x: row = [np.exp(-gamma * (data_point - l)**2) for l in landmarks] result.append(row) return np.array(result) ``` 此函数接受输入样本 `x` 和地标点集合 `landmarks`，并通过指定的 γ 值计算每一对 `(xi, lj)` 的 RBF 核值[^3]。 --- #### 数据准备与转化 假设我们有如下四个样本数据点 `[1, 2, 3, 4]`，其中标签分别为 `[0, 1, 0, 1]`。我们将这些数据点通过 RBF 核函数映射到更高维度的空间。 ```python # 样本数据和标签 x = np.array([1, 2, 3, 4]) y = np.array([0, 1, 0, 1]) # 将所有样本作为地标点 landmarks = x.copy() # 应用 RBF 核函数进行映射 X_transformed = rbf_kernel(x, landmarks) print("Transformed Feature Matrix:\n", X_transformed) ``` 在此过程中，原始的一维数据被扩展成了一个二维特征矩阵，从而可能使原本在线性不可分的情况下变得线性可分[^4]。 --- #### 构建逻辑回归模型 利用 Scikit-Learn 提供的逻辑回归工具，在经过 RBF 核变换之后的新特征空间上训练一个二分类器。 ```python from sklearn.linear_model import LogisticRegression import matplotlib.pyplot as plt # 创建逻辑回归实例 log_reg = LogisticRegression(solver='liblinear') # 在新特征空间上拟合模型 log_reg.fit(X_transformed, y) # 可视化决策边界 plt.figure(figsize=(8, 6)) for label in [0, 1]: indices = np.where(y == label)[0] plt.scatter( X_transformed[indices, 0], X_transformed[indices, 1], label=f'Class {label}' ) plt.title('Data After RBF Transformation') plt.xlabel('Feature 1 after RBF Kernel') plt.ylabel('Feature 2 after RBF Kernel') plt.legend() plt.grid(True) plt.show() ``` 以上代码展示了如何基于 RBF 核函数构建一个新的特征空间，并在其基础上应用逻辑回归算法完成二分类任务[^4]。 --- ### 总结 通过对非线性数据使用 RBF 核函数进行映射，能够有效提升传统线性模型的能力范围。这种方法不仅适用于支持向量机（SVM），同样也可以拓展至其他线性模型如逻辑回归之中[^1]。