nerf辐射场建模公式

### NeRF 神经辐射场建模公式的推导 NeRF 的核心目标是对三维场景的辐射场进行建模，通过输入空间位置 \( \mathbf{x}=(x, y, z) \) 和观察方向 \( \mathbf{d}=(\theta, \phi) \)，预测该点的颜色和体积密度。其数学模型可以用以下公式表示： #### 辐射场定义 对于任意给定的空间坐标 \( \mathbf{x} \in \mathbb{R}^3 \) 和视线方向 \( \mathbf{d} \in S^2 \)，NeRF 定义了一个连续函数 \( F(\mathbf{x}, \mathbf{d})=[c(\mathbf{x}, \mathbf{d}), \sigma(\mathbf{x})]^\top \)[^2]，其中： - \( c(\mathbf{x}, \mathbf{d}) \in \mathbb{R}^3 \): 表示颜色向量； - \( \sigma(\mathbf{x}) \geq 0 \): 表示体素密度。 这个函数可以通过多层感知机 (MLP) 来实现[^2]。 #### 渲染方程 为了从已知的辐射场重建图像，NeRF 使用经典的体积渲染技术。假设光线穿过一系列离散采样点，则沿光线积分得到最终像素颜色 \( C(t_n) \): \[ C(t_n)=\sum_{i=1}^{N}\Big( T_i \cdot \alpha_i \cdot c_i \Big), \] 其中， - \( T_i=\exp(-\sum_{j=1}^{i-1} \delta_j \sigma_j )\) 是累积透明度； - \( \alpha_i = 1-\exp(-\sigma_i \delta_i)\) 是单步不透明度； - \( c_i=c(x_i,d) \) 是第 i 个样本点的颜色； - \( \delta_i=t_{i+1}-t_i \) 是相邻两点之间的距离； 上述公式描述了如何通过对每条光线上的多个采样点进行加权求和来生成最终的像素值[^1]。 #### 训练过程 在实际操作中，由于无法直接获取真实的辐射场数据，因此采用监督学习方法训练网络参数 θ 。具体来说就是最小化估计结果与真实照片间的差异: \[ L_\text {total } (\Theta)=E[(r-R)^2], \] 这里 r 表达的是由模型产生的RGB数值而 R 则代表对应的实际观测到的照片里的相应位置处的真实色彩强度。 --- ### 示例代码片段展示简单的NeRF架构构建方式 以下是简化版NeRF框架的一个基本实现思路，主要展示了如何设置前馈神经网络以及执行一次正向传播的过程。 ```python import torch import torch.nn as nn class SimpleNeRF(nn.Module): def __init__(self, depth=8, width=256, input_dim=3, output_dim=4): super(SimpleNeRF, self).__init__() layers = [] for _ in range(depth): layers.append(nn.Linear(input_dim if _ == 0 else width, width)) layers.append(nn.ReLU()) self.mlp = nn.Sequential(*layers, nn.Linear(width, output_dim)) def forward(self, x): return self.mlp(x) # Example usage of the model. model = SimpleNeRF() dummy_input = torch.rand((10, 3)) # Batch size is 10 with XYZ coordinates only here. output = model(dummy_input) print(output.shape) # Should be [10, 4], representing RGB and density values per point sampled along a ray. ``` 此段代码仅用于说明目的，并未完全体现完整的NeRF算法细节及其优化策略。 ---