7-2 反素数 分数 50 全屏浏览 切换布局 作者 python课程组 单位 合肥师范学院 反素数寻找。反素数是指一个将其逆向拼写后也是一个素数的非回文数。例如：13和31都是素数且均不是回文数，所以13和31都是反素数。 输入格式: 输入一个正整数‪‬‪‬‪‬‪‬‪‬‮‬‪‬‭‬‪‬‪‬‪‬‪‬‪‬‮‬‪‬‪‬‪‬‪‬‪‬‪‬‪‬‮‬‫‬‪‬‪‬‪‬‪n‬‪‬‪‬‮‬‪‬‪‬。 输出格式: 从小到大顺序输出小于n的所有反素数,每个数字后面以“ ”分隔。 输入样例: 在这里给出一组输入。例如： 200 输出样例: 在这里给出相应的输出。例如： 13 17 31 37 71 73 79 97 107 113 149 157 167 179 199 代码长度限制 16 KB Python (python3) 时间限制 400 ms 内存限制 64 MB Python (python2) 时间限制 400 ms 内存限制 64 MB 其他编译器 时间限制 400 ms 内存限制 64 MB 栈限制 8192 KB

### 反素数的概念与Python实现 反素数是指满足特定条件的一类特殊整数。对于正整数 \( x \)，如果其约数个数比任何一个小于它的正整数都大，则称 \( x \) 是一个反素数[^4]。 以下是基于 Python 编写的寻找小于 \( n \) 的所有反素数的算法： #### 算法设计 为了高效地找出所有的反素数，可以采用如下方法： 1. **预处理素数列表**：利用埃拉托斯特尼筛法生成小于 \( n \) 的所有素数。 2. **枚举可能的组合**：通过尝试不同的素数组合及其幂次来构建潜在的反素数。 3. **验证反素数性质**：逐一检查这些数值是否满足反素数定义。 下面是完整的代码实现： ```python import math def count_divisors(factors): """ 计算由因子构成的数的约数个数 """ result = 1 for exp in factors.values(): result *= (exp + 1) return result def generate_antiprimes(limit): primes = [] is_prime = [True] * (limit + 1) is_prime[0], is_prime[1] = False, False # 使用埃氏筛获取素数表 for i in range(2, int(math.sqrt(limit)) + 1): if is_prime[i]: for j in range(i*i, limit + 1, i): is_prime[j] = False for i in range(len(is_prime)): if is_prime[i]: primes.append(i) max_divisor_count = 0 antiprimes = [] def backtrack(index, product, divisor_count, prev_exp): nonlocal max_divisor_count if index >= len(primes): return p = primes[index] # 枚举当前素数的指数 exp = 1 while True: new_product = product * (p ** exp) if new_product > limit or exp > prev_exp: break current_divisor_count = divisor_count * (exp + 1) if current_divisor_count > max_divisor_count: max_divisor_count = current_divisor_count antiprimes.append(new_product) backtrack(index + 1, new_product, current_divisor_count, exp) exp += 1 backtrack(0, 1, 1, float('inf')) return sorted(set(antiprimes)) if __name__ == "__main__": n = int(input("请输入上限 N: ")) antiprimes = generate_antiprimes(n) print(f"小于 {n} 的所有反素数为: {antiprimes}") ``` 此程序的核心在于回溯法的应用以及对每种可能性的有效剪枝操作，从而减少不必要的计算开销[^4]。 ### 关键点解析 - **素数生成**：借助高效的埃拉托斯特尼筛法快速获得所需范围内的全部素数。 - **约束条件**：为了避免冗余运算，在递归过程中加入合理的限制条件（如 `exp > prev_exp`），确保解空间缩小至合理规模。 - **动态更新最大值**：每当发现新的更优解时立即记录下来，并据此调整全局最优状态。