pinns求解薛定谔方程

### 使用PINNs求解薛定谔方程 #### 背景介绍 瞬态薛定谔方程（Time-dependent Schrödinger Equation, TDSE）是量子力学中描述量子系统随时间演化的基本方程之一[^1]。该方程由奥地利物理学家Erwin Schrödinger于1925年提出。 #### 方法概述 Physics-Informed Neural Networks (PINNs)是一种结合深度学习和物理定律的方法，特别适用于解决偏微分方程(PDEs)相关的问题[^4]。通过引入物理约束条件，PINNs能够在不完全了解初始或边界条件下有效地逼近复杂系统的解决方案。 对于TDSE而言，可以将空间坐标 \((x, y, z)\) 和时间 \(t\) 作为输入变量传递给神经网络；而输出则是对应时刻下的波函数 \(\psi(x, y, z, t)\)，这代表了粒子处于特定状态的概率幅值分布情况[^3]。 #### 实施步骤详解 ##### 数据准备与预处理 由于TDSE本质上是一个线性的二阶偏微分方程，在构建数据集时通常不需要大量的样本点来进行监督训练。相反，更多关注的是定义合理的损失函数来指导模型的学习方向。具体来说： - **初始化参数设置**：确定网格大小、步长以及总的模拟周期。 - **随机采样时空节点**：为了提高泛化能力并减少过拟合风险，可以从整个定义域内均匀抽取若干组\([x_i,y_j,z_k,t_l]\)组合形成训练集。 ##### 构建PINN架构 采用多层感知机(MLP)结构搭建基础框架，并在此基础上加入额外项以体现TDSE特性: ```python import torch import torch.nn as nn class SchrodingerNet(nn.Module): def __init__(self, layers): super(SchrodingerNet, self).__init__() # Define fully connected layers according to given layer dimensions linears = [] for i in range(len(layers)-1): linears.append(nn.Linear(layers[i], layers[i+1])) if i != len(layers)-2: linears.append(nn.Tanh()) self.fc_layers = nn.Sequential(*linears) def forward(self, xyt): u_pred = self.fc_layers(xyt) return u_pred def compute_loss(model, points, hbar=1., m=1.): """Compute the loss function based on the physics-informed principle.""" # Extract spatial-temporal coordinates from input tensor xyt = points.requires_grad_(True) psi_real = model(xyt)[...,0] psi_imag = model(xyt)[...,1] grad_psi_real = torch.autograd.grad( outputs=psi_real.sum(), inputs=xyt, create_graph=True, retain_graph=True )[0][:,:-1].sum(dim=-1).unsqueeze(-1) grad_psi_imag = torch.autograd.grad( outputs=psi_imag.sum(), inputs=xyt, create_graph=True, retain_graph=True )[0][:,:-1].sum(dim=-1).unsqueeze(-1) laplacian_real = torch.autograd.grad( outputs=(grad_psi_real * grad_psi_real).sum(), inputs=xyt, create_graph=True, retain_graph=True )[0][...,-1:] laplacian_imag = torch.autograd.grad( outputs=(grad_psi_imag * grad_psi_imag).sum(), inputs=xyt, create_graph=True, retain_graph=True )[0][...,-1:] dt_real = torch.autograd.grad( outputs=psi_real.sum(), inputs=xyt, create_graph=True, retain_graph=True )[0][...,-1:].squeeze() dt_imag = torch.autograd.grad( outputs=psi_imag.sum(), inputs=xyt, create_graph=True, retain_graph=True )[0][...,-1:].squeeze() f_real = (-hbar / (2*m)) * laplacian_real - \ dt_imag.unsqueeze(-1) f_imag = (+hbar / (2*m)) * laplacian_imag + \ dt_real.unsqueeze(-1) mse_f_real = ((f_real)**2).mean() mse_f_imag = ((f_imag)**2).mean() total_mse = mse_f_real + mse_f_imag return total_mse ``` 上述代码片段展示了如何利用PyTorch库创建一个简单的SchrodingerNet类实例及其对应的loss计算逻辑。这里假设波函数具有实部和虚部分量形式\[ψ=\Re{ψ}+i\Im{ψ}\]，因此最终预测结果会返回两个通道的数据表示。 ##### 训练过程优化策略 考虑到实际应用场景可能涉及复杂的势能环境等因素影响，建议采取如下措施提升收敛速度及稳定性： - 初始权重设定遵循Xavier/Glorot初始化原则； - 学习率衰减机制配合AdamW优化器共同作用； - 动态调整batch size规模适应不同硬件资源限制； - 对关键超参如\(ℏ,m,V(x)\)等进行敏感度分析实验验证最优配置方案。 ---