二分查找失败平均长度
时间: 2025-06-05 13:27:34 浏览: 10
### 二分查找失败时的平均比较次数分析
在讨论二分查找失败的情况之前,需明确几个前提条件。首先,二分查找的前提是输入数据必须是一个有序数组[^3]。其次,当目标值不在数组中时,算法会通过不断缩小范围来判断是否存在匹配项。如果最终无法找到目标值,则返回失败标志。
#### 失败情况下的判定树模型
为了更好地理解失败情况下的平均比较次数,可以通过构建 **判定树** 来辅助分析。假设有一个大小为 \( n \) 的有序数组,其对应的完全二叉树高度为 \( h = \lceil\log_2(n+1)\rceil \)[^2]。在这种结构下:
- 成功查找的目标值对应于内部节点中的某个位置。
- 不成功查找则意味着目标值落在两个相邻节点之间的间隙处(即所谓的“外部节点”)。这些外部节点的数量等于内部节点数量加一。
因此,在最坏的情况下,即使未命中任何实际存在的元素,仍可能需要遍历到叶级才能确认不存在性。此时所需的最大步数接近于满二叉树的高度减去一层(因为最后一层仅用于标记终止状态而非进一步区分)。
#### 平均比较次数计算方法
针对所有潜在查询点——既包括真实存在成员也涵盖虚拟补充位点——分别统计各自所需的理论操作数目并求和得到总耗用量T;然后再除以总的候选对象总数M得出期望值E[T/M]:
\[ E[\text{Comparisons}] = \frac{\sum_{k=0}^{m}(D_k * C_k)} {\sum D_k}, \]
其中\( m=n+\lfloor n/2 \rfloor\)表示考虑了额外插入可能性后的扩展集合规模;
\( D_k \)代表第 k 层上的分布密度权重因子;
而\( C_k=\min(k,h)+1 \)则是关联的具体成本估值函数[^4]。
具体而言,由于内外两类情形交替排列呈现规律模式,可以直接利用几何序列性质简化表达式形式从而获得近似解析解:
对于较大的样本空间尺寸n来说,
\[ ASL(\text{Failure}) ≈ log₂(n+1). \]
这意味着随着待检索记录量增加,平均每轮尝试所耗费资源趋于稳定增长趋势,并保持在一个较低水平范围内波动变化。
```python
import math
def avg_comparison_failure(n):
"""Calculate the average number of comparisons for unsuccessful binary search."""
return round(math.log2(n + 1), 2)
# Example usage:
print(avg_comparison_failure(16)) # Output should be close to ~4.0
```
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