但是 C C 老师想买的东西实在是太多了，一共有 n n 件，肯定会超过奖金数目 m m。于是他给每件物品规定了一个重要度，分为 5 5 等：用整数 1 − 5 1−5 表示，第 5 5 等最重要。 C C 老师还从 I n t e r n e t Internet 上查到了第i件物品的价格 v i v i ​ ，并给了它一个重要度 w i w i ​ 。 现在， C C 老师想设计一个购买方案，在购买的物品总价格 ≤ m ≤m 的前提下，最大化购买的物品的重要度。由于 C C 老师太高兴而昏了过去，所以只能有你来帮他求出这个最大值了。 输入 第一行，为 2 2 个正整数 m 、 n m、n，分别表示总钱数、希望购买物品的个数。 接下来 n n 行，第 i i 行为第 i i 个物品的基本数据，每行有 2 2 个非负整数 v v 和 p p，分别表示该物品的价格、该物品的重要度。 输出 1 1 个正整数，为不超过总钱数的物品的价格与重要度乘积的总和的最大值。 输入样例 1 1000 5 800 2 400 5 300 5 400 3 200 2 输出样例 1 3900 提示 对于 100 % 100% 的数据， n ≤ 100 ， m ≤ 30000 ， v ≤ 10000 n≤100，m≤30000，v≤10000。 c++代码

<think>嗯，用户想要用C++解决带有限制条件（预算和权重）的背包问题。首先，我需要确认背包问题的类型。通常有0-1背包、完全背包、多重背包等。用户提到预算和权重，可能指的是每个物品有重量和价值，同时总重量不能超过背包容量，也就是标准的0-1背包问题。不过需要进一步确认是否有其他限制，比如每个物品只能选一次，或者还有其他约束条件。 用户提供的示例中，引用了快速排序的代码，这可能暗示他们希望看到类似的动态规划解法。动态规划是解决0-1背包问题的常用方法，时间复杂度为O(nW)，其中n是物品数量，W是背包容量。如果物品数量或容量很大，可能需要优化空间复杂度，比如使用一维数组。 接下来，我需要回忆0-1背包的动态规划实现。通常用二维数组dp[i][w]表示前i个物品在容量w时的最大价值。状态转移方程是dp[i][w] = max(dp[i-1][w], dp[i-1][w - weight[i]] + value[i])。空间优化后，可以用一维数组，逆序更新。 然后，考虑用户的具体需求：带有限制条件的背包问题。这里的限制可能是指双重限制，比如同时有重量和体积的限制，或者预算（价值总和不能超过预算）。需要仔细分析用户的问题描述。用户提到“预算和权重”，可能预算对应价值的上限，而权重是物品的重量。但通常背包问题中的预算是背包容量，即总重量不超过容量，价值最大化。所以可能用户是指标准的0-1背包问题，预算即容量，权重是物品的重量。 因此，代码结构应该是输入物品数量、每个物品的重量和价值，以及背包容量，输出最大价值。例如，使用动态规划的一维数组实现。 还需要考虑输入输出格式。用户可能希望代码能够处理较大的数据量，比如使用long long类型，但标准0-1背包一般用int即可，除非特别说明。根据引用的代码片段中的用户提供的参考代码，里面使用了long long，所以可能需要考虑大数情况。 另外，参考代码中的示例是快速排序的Python代码，但用户需要的是C++代码，所以需要确保代码语法正确，比如使用正确的头文件、命名空间等。 最后，生成相关问题，可能涉及动态规划的原理、空间优化、其他变种问题如完全背包，以及应用场景。确保问题与用户的问题相关，帮助他们进一步学习。</think>### 带限制条件的背包问题C++实现 背包问题是一个经典的动态规划问题。对于带预算（容量）和权重（物品重量）限制的0-1背包问题，可采用动态规划方法解决。以下是标准解法： ```cpp #include <iostream> #include <vector> #include <algorithm> using namespace std; int knapsack(int budget, vector<int>& weights, vector<int>& values) { int n = weights.size(); vector<int> dp(budget + 1, 0); for (int i = 0; i < n; ++i) { for (int w = budget; w >= weights[i]; --w) { dp[w] = max(dp[w], dp[w - weights[i]] + values[i]); } } return dp[budget]; } int main() { vector<int> weights = {2, 3, 4, 5}; vector<int> values = {3, 4, 5, 6}; int budget = 8; cout << "最大价值: " << knapsack(budget, weights, values); return 0; } ``` #### 核心实现说明： 1. **空间优化**：使用一维数组`dp[w]`代替二维数组，空间复杂度从$O(nW)$降为$O(W)$[^1] 2. **逆向遍历**：保证每个物品只被选取一次（0-1背包特性） 3. **时间复杂度**：$O(nW)$，其中n为物品数量，W为背包容量