二维泊松方程求解的c语言

### C语言实现二维泊松方程数值求解 二维泊松方程的数值求解可以通过有限差分法来完成。以下是基于五点模板离散化方法的一个简单实现方案。 #### 差分离散化原理 泊松方程的形式如下： \[ -\Delta u = f \quad \text{in } \Omega, \] 其中 \( \Delta u = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} \)[^2]。 通过网格划分，定义步长 \( h_x \) 和 \( h_y \)，并采用中心差分近似二阶导数： \[ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(i,j) \approx \frac{u(i+1,j)-2u(i,j)+u(i-1,j)}{h_x^2}, \] \[ \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}(i,j) \approx \frac{u(i,j+1)-2u(i,j)+u(i,j-1)}{h_y^2}. \] 因此，在节点 (i,j) 上，泊松方程可写成： \[ -\left( \frac{u_{i+1,j}-2u_{i,j}+u_{i-1,j}}{h_x^2} + \frac{u_{i,j+1}-2u_{i,j}+u_{i,j-1}}{h_y^2} \right) = f_{i,j}. \][^2] 整理得： \[ u_{i,j} = \frac{(u_{i+1,j} + u_{i-1,j})/h_x^2 + (u_{i,j+1} + u_{i,j-1})/h_y^2 - f_{i,j}}{2/h_x^2 + 2/h_y^2}. \] #### 边界条件处理 边界条件通常分为狄利克雷型（指定函数值）和诺依曼型（指定法向导数）。这里假设给定的是狄利克雷边界条件 \( u|_{\partial \Omega} = g(x,y) \)。 #### 实现代码 下面是一个简单的C语言程序框架： ```c #include <stdio.h> #include <stdlib.h> #define NX 50 // X方向网格数 #define NY 50 // Y方向网格数 #define DX 0.1 // X方向步长 #define DY 0.1 // Y方向步长 void poisson(double **u, double (*f)(double, double), int nx, int ny, double dx, double dy) { int i, j; double hx2_inv = 1 / (dx * dx); double hy2_inv = 1 / (dy * dy); double coeff = -(hx2_inv + hy2_inv); for (int iter = 0; iter < 1000; ++iter) { // 迭代次数 for (i = 1; i < nx - 1; ++i) { for (j = 1; j < ny - 1; ++j) { u[i][j] = (coeff * u[i][j] + (u[i + 1][j] + u[i - 1][j]) * hx2_inv + (u[i][j + 1] + u[i][j - 1]) * hy2_inv - f((i)*DX, (j)*DY)) / (-2 * (hx2_inv + hy2_inv)); } } } } // 定义源项函数 double source_term(double x, double y) { return sin(x) * cos(y); // 示例源项 } int main() { double **u = malloc(NX * sizeof(double *)); for (int i = 0; i < NX; ++i) { u[i] = calloc(NY, sizeof(double)); } // 初始化边界条件 for (int i = 0; i < NX; ++i) { u[i][0] = 0; // 下边界 u[i][NY - 1] = 0; // 上边界 } for (int j = 0; j < NY; ++j) { u[0][j] = 0; // 左边界 u[NX - 1][j] = 0; // 右边界 } poisson(u, source_term, NX, NY, DX, DY); // 输出结果到文件 FILE *fp = fopen("solution.txt", "w"); for (int i = 0; i < NX; ++i) { for (int j = 0; j < NY; ++j) { fprintf(fp, "%lf %lf %lf\n", i * DX, j * DY, u[i][j]); } } fclose(fp); // 清理内存 for (int i = 0; i < NX; ++i) free(u[i]); free(u); return 0; } ``` 此代码实现了基本的迭代求解过程，并将结果保存至 `solution.txt` 文件中。 --- ###