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用双线性变换法设计原型低通为巴特沃斯型的IIR数字高通滤波器

时间: 2023-12-18 19:04:08 浏览: 185

好的，我可以为您解答这个问题。首先，我们需要将巴特沃斯型的低通滤波器转换为高通滤波器。这可以通过将所有极点取倒数和零点保持不变来实现。然后，我们需要将模拟滤波器转换为数字滤波器。这可以通过使用双线性变换来实现。双线性变换的一般形式为： $$ s = \frac{2}{T}(1 - z^{-1})/(1 + z^{-1}) $$ 其中，$T$ 是采样周期，$s$ 是连续时间变量，$z$ 是离散时间变量。将双线性变换应用于模拟滤波器的传递函数 $H_a(s)$，我们得到了数字滤波器的传递函数 $H(z)$，如下所示： $$ H(z) = H_a\left(\frac{2}{T}\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}\right) $$ 对于一个 $n$ 阶的巴特沃斯型低通滤波器，我们有： $$ H_a(s) = \frac{K}{\prod_{k=1}^{n}(s^2 + \omega_k^2)} $$ 其中，$K$ 是常数，$\omega_k$ 是极点频率。利用双线性变换，我们可以将 $H_a(s)$ 转换为数字滤波器的传递函数 $H(z)$： $$ H(z) = \frac{K}{\prod_{k=1}^{n}\left(\frac{4}{T^2}(1-z^{-1})^2 + \omega_k^2\right)}\frac{T^n}{2^n}\frac{1 - z^{-1}}{1 + z^{-1}} $$ 这就是一个原型为巴特沃斯型的IIR数字高通滤波器的传递函数。其中，$n$ 是滤波器的阶数。在实际设计中，我们需要根据具体的要求选择合适的阶数和极点频率。需要注意的是，由于双线性变换的非线性特性，数字滤波器的频率响应可能会有一些畸变。为了减少这种畸变，可以采用预先留出一定的通带和阻带余量，或者使用其他更先进的设计方法。

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