# U534580 得到个位数 ## 题目描述 给定一个非负整数n,将n的各位相加求和,得到另一个数,再将这个新得到的数重复上述操作,直到得到一个个位数,输出这个个位数 ## 输入格式 一个非负整数n, 0≤n≤10^9 . ## 输出格式 一个整数,表示操作后得到的个位数 ## 输入输出样例 #1 ### 输入 #1 ``` 789 ``` ### 输出 #1 ``` 6 ``` ## 输入输出样例 #2 ### 输入 #2 ``` 9999999 ``` ### 输出 #2 ``` 9 ``` ## 说明/提示 0≤n≤10^9 用C++写代码

<think>嗯，我现在得解决这个问题，题目是要求给定一个非负整数n，反复将各位相加直到得到一个一位数。比如输入789的话，7+8+9=24，然后再2+4=6，输出6。那这个问题应该怎么做呢？ 首先，我得想想怎么处理这个过程。直观的方法是循环，每次把各个位上的数字相加，直到结果是个位数。比如，对于输入的n，只要它的位数大于1，就一直循环相加。那这个循环的条件应该是当前的结果是否已经是个位数了，也就是判断是否大于等于10。如果还是两位数，就继续相加。 那具体怎么计算各位之和呢？比如789，我们可以每次取余10得到最后一位，然后加到总和里，再除以10去掉最后一位，直到n变成0。这个过程可以用循环来处理。例如： 初始总和sum=0 n=789: sum +=9 → sum=9，n=78 sum +=8 → sum=17，n=7 sum +=7 → sum=24，n=0结束循环。此时sum是24，还不是个位数，所以需要继续处理sum作为新的n，重复这个过程。 这样，每次都要循环计算sum，直到sum <10。这似乎可行，但有没有更高效的方法呢？尤其是当n非常大的时候，比如输入是9999999，按照这种方法可能要多次循环。比如第一次相加得到9*7=63，然后6+3=9，所以两次循环。 那有没有数学上的方法可以直接得到结果，而不需要反复相加呢？比如数根的概念？记得数根有一个公式，可以将数n的数根计算为1 + ((n - 1) mod 9)。不过要处理n=0的情况，当n为0时数根是0。比如： 当n是0时，结果是0。否则，如果n%9 ==0的话，数根是9，否则就是n%9。例如789的数根是7+8+9=24→6，789%9=789各位之和的模9。比如789的各位和是24，24%9是6，所以数根是6。而9999999各位之和是7*9=63→9，而9999999%9等于0，所以结果是9。 那这样的话，数根的公式可以大大简化问题。这时候只需要一次计算就能得到结果，而不需要循环。这应该可以极大提高效率，尤其是对于非常大的n来说。 那这样的话，我们可以直接使用数根的计算方式。但需要处理特殊情况： - 当n=0时，结果为0。 - 当n不等于0，且n%9==0，结果为9。 - 否则，结果为n%9。 那这样的话，整个问题就可以在O(1)的时间内解决，而不需要循环或者递归。比如输入是0的话，直接返回0。否则，根据上述条件计算结果。 那这样的话，代码就变得非常简单。比如在C++中，可以这样处理： 首先判断n是否为0。如果是，输出0。否则，计算n %9的结果。如果余数是0的话，输出9，否则输出余数。 那这样的话，不管n有多大，只需要一次模运算即可得到结果。例如输入是9999999，模9等于0，所以结果是9。输入789，789%9等于6，所以结果是6。这应该正确。 那这样的话，为什么题目中的例子正确呢？比如输入789，计算7+8+9=24，再2+4=6，确实是正确的。而根据数根公式，789%9的结果是6，正确。那这说明数根的公式是正确的。 那这样的话，代码可以非常简单，并且高效。无需循环。这可能比常规的逐位相加的方法更高效，尤其是当n非常大的时候。 那如何验证这个公式的正确性呢？比如，当n=0时，返回0。当n=9时，返回9。当n=18，各位相加是9，而模9是0，所以返回9。当n=12345，各位相加是1+2+3+4+5=15→1+5=6，而12345%9=6，正确。 看来数根的方法是正确的。那这样的话，问题就转化为如何正确应用这个公式。 所以，代码的大体结构应该是： 读取n。 如果n是0，输出0。 否则，如果n%9等于0，输出9。 否则，输出n%9。 那这样的话，就能得到正确结果。 那现在需要把这个逻辑写成C++代码。例如： #include <iostream> using namespace std; int main() { int n; cin >> n; if (n == 0) { cout << 0 << endl; } else { int remainder = n % 9; cout << (remainder == 0 ? 9 : remainder) << endl; } return 0; } 那测试一下样例输入： 样例1：输入789，789%9。789/9=87*9=783，余6。所以输出6。正确。 样例2：输入9999999。模9等于0，所以输出9。正确。 那n=0时，输出0。其他情况比如n=9，模9是0，输出9。正确。 那这样代码是正确的。 那这是否正确呢？比如，n=18，各位相加是9，模9是0，所以输出9，正确。那这应该没问题。 所以，这样的代码是正确的，而且时间复杂度是O(1)，空间复杂度也是O(1)，非常高效。 总结一下，这个问题的解法有两种：循环逐位相加直到得到个位数，或者利用数根的数学公式直接计算结果。后者的方法更高效。</think>要解决这个问题，我们需要将一个非负整数不断求各位之和，直到得到个位数。通过数学中的数根概念，可以高效地直接计算结果，无需逐位循环。 ### 方法思路 数根的性质如下： 1. 当输入为0时，数根为0。 2. 对于非零整数，若能被9整除，数根为9。 3. 其他情况下，数根为该数对9取余的结果。 利用这一性质，我们可以直接通过模运算得到结果，时间复杂度为$O(1)$，非常高效。 ### 解决代码 ```cpp #include <iostream> using namespace std; int main() { int n; cin >> n; if (n == 0) { cout << 0; } else { int remainder = n % 9; cout << (remainder == 0 ? 9 : remainder); } return 0; } ``` ### 代码解释 1. **输入处理**：读取非负整数`n`。 2. **特殊情况处理**：若`n`为0，直接输出0。 3. **数根计算**：使用模9运算计算数根。若余数为0且`n`不为0，则输出9；否则直接输出余数。 这种方法避免了逐位相加的循环操作，显著提升了效率，适用于大范围的输入值。