数值分析非线性方程求根（牛顿切线法、割线法）

### 数值分析中的非线性方程求根方法 #### 牛顿迭代法简介 牛顿迭代法是一种用于寻找实数域上连续可微函数零点的有效算法。该方法基于泰勒级数的一阶近似，在每次迭代过程中，使用当前估计位置处的导数值构建一条切线，并取这条直线与横坐标相交之处作为下一次逼近的位置[^4]。 #### 割线法概述 不同于牛顿法依赖于精确计算目标函数的一阶导数，割线法则采用两点之间的斜率代替导数来进行更新操作。这种方法不需要显式地提供或估算梯度信息，而是通过前两次猜测的结果来决定新的试探方向[^1]。 #### 算法实现对比 ##### Python 实现牛顿迭代法 ```python def newton_method(f, df, x0, tol=1e-8, max_iter=100): """ 使用牛顿法求解非线性方程f(x)=0. 参数: f : 函数对象, 表示待求解的目标函数 df: 函数对象, 计算f'(x), 即f的一阶导数 x0: float, 初始猜测值 tol: 浮点数, 收敛精度阈值，默认为1E-8 max_iter: 整型, 最大允许迭代次数 返回: tuple(float,int): 近似解及其对应的迭代步数 """ xn = x0 for n in range(0,max_iter): fxn = f(xn) if abs(fxn) < tol: return xn,n Dfxn = df(xn) if Dfxn == 0: raise ZeroDivisionError('Zero derivative encountered.') xn -= fxn/Dfxn print("Warning: Maximum number of iterations reached.") return None, max_iter ``` ##### Python 实现割线法 ```python def secant_method(f, x0, x1, tol=1e-8, max_iter=100): """ 应用割线法解决单变量非线性方程问题 参数: f : 可调用的对象, 定义了要找根的函数 x0,x1: 初始化区间端点 tol: 终止条件下的绝对误差界限 max_iter: 允许的最大循环轮次 输出: 如果成功收敛，则返回浮点类型的根；否则发出警告并给出最后一次尝试得到的最佳估值。 """ a_n = x0; b_n = x1; fa = f(a_n); fb = f(b_n); for i in range(max_iter): m_n = a_n - fa*(b_n-a_n)/(fb-fa) fm = f(m_n) err = abs(fm) if err < tol: break elif np.sign(fa)*np.sign(fm)<0 : b_n,a_n = m_n,b_n fb,fa=fm,fb else: a_n,b_n=m_n,a_n fa,fb=fm,fa else: print("Maximum iteration limit exceeded without convergence.") return m_n,i+1 ``` #### 示例说明 假设有一个简单的二次多项式 \( g(x) = x^2 - 9 \)，其真实根显然为 ±3 。下面分别展示如何运用上述两种方法对其进行求解： 对于牛顿法而言，除了定义好原函数外还需要指定它的解析形式的一阶导数表达式 `dg` ，而割线法则只需要输入原始函数即可开始工作。 ```python import numpy as np g = lambda x: x ** 2 - 9 # 目标函数 dg = lambda x: 2 * x # 导数 root_newton,_ = newton_method(g,dg,-5.) print(f"Newton's method found root at {root_newton:.6f}") root_secant,_ = secant_method(g,-5.,-4.) print(f"Secant method located the root near {root_secant:.6f}") ``` 运行这段代码将会输出两个非常接近实际解 (-3 或者 +3) 的数值结果，证明这两种方法都能有效地处理这类简单情况。