pta列出连通集

### 关于PTA平台上的连通集实现 #### 一、连通集的概念及其意义 在一个无向图中，如果任意两个顶点之间都存在一条路径相连，则称这个图为连通图。而连通分量是指一个非连通图中的极大连通子图[^1]。 为了在程序设计竞赛或者实际开发中解决连通性问题，通常会采用并查集（Union-Find Set）、深度优先搜索（DFS）或广度优先搜索（BFS）来查找和处理这些连通分量。 --- #### 二、数据结构的选择与定义 针对连通集的实现，常见的两种方式如下： ##### 1. 并查集（Disjoint Set Union, DSU） 并查集是一种用于管理集合的数据结构，支持快速查询某个元素属于哪个集合以及合并两个集合的功能。其核心操作包括 `find` 和 `union`。 ###### 定义： ```c++ class DisjointSet { private: vector<int> parent; public: DisjointSet(int size) : parent(size) { for (int i = 0; i < size; ++i) { parent[i] = i; } } int find_set(int x) { // 路径压缩优化 if (parent[x] != x) { parent[x] = find_set(parent[x]); } return parent[x]; } void union_set(int x, int y) { // 按秩合并优化省略 int fx = find_set(x); int fy = find_set(y); if (fx != fy) { parent[fy] = fx; } } }; ``` 通过上述代码，我们可以高效地维护一组不相交的集合，并能迅速判断两节点是否在同一连通集中[^2]。 --- ##### 2. 使用邻接表/邻接矩阵配合 DFS 或 BFS 另一种方法是利用图的存储形式——邻接表或邻接矩阵，结合深度优先搜索（DFS）或广度优先搜索（BFS），逐一访问未被标记过的节点，从而找到所有的连通分量。 ###### 邻接表定义： ```cpp #include <vector> using namespace std; // 创建邻接表 void add_edge(vector<vector<int>>& adj_list, int u, int v) { adj_list[u].push_back(v); adj_list[v].push_back(u); // 如果是有向图则去掉这一句 } ``` ###### DFS 实现： ```cpp void dfs(const vector<vector<int>>& graph, vector<bool>& visited, int node) { visited[node] = true; for (const auto& neighbor : graph[node]) { if (!visited[neighbor]) { dfs(graph, visited, neighbor); } } } int count_connected_components_dfs(const vector<vector<int>>& graph) { int n = graph.size(); vector<bool> visited(n, false); int components = 0; for (int i = 0; i < n; ++i) { if (!visited[i]) { dfs(graph, visited, i); components++; } } return components; } ``` ###### BFS 实现： ```cpp #include <queue> int bfs_count_connected_components(const vector<vector<int>>& graph) { int n = graph.size(); vector<bool> visited(n, false); queue<int> q; int components = 0; for (int i = 0; i < n; ++i) { if (!visited[i]) { q.push(i); visited[i] = true; while (!q.empty()) { int current_node = q.front(); q.pop(); for (auto& neighbor : graph[current_node]) { if (!visited[neighbor]) { visited[neighbor] = true; q.push(neighbor); } } } components++; } } return components; } ``` 以上代码展示了如何基于邻接表使用 DFS/BFS 来统计连通分量的数量[^3]。 --- #### 三、具体应用场景分析 当面对大规模稀疏图时，推荐使用 **邻接表+DFS/BFS** 方法；而对于稠密图或需要频繁执行连接性和断开操作的情况，应考虑使用 **并查集** 结构[^4]。 --- ### 性能对比总结表格 | 特性 | 并查集 | DFS / BFS | |-------------------|----------------------------|---------------------------| | 时间复杂度 | O(α(N)) | O(V+E)，其中 α 是反阿克曼函数 | | 空间复杂度 | 较低 | 取决于递归栈深或队列大小 | | 是否适合动态更新 | 支持动态添加边 | 不易扩展至动态场景 | --- #### 四、注意事项 - 输入验证：确保输入的颜色种类不超过指定范围，可以通过 `std::set` 判断是否存在非法颜色。 - 存储效率：对于大型图，建议使用动态分配内存的方式创建邻接表而非固定长度的大数组，以防止堆栈溢出。 ---