编写两个函数，分别求两个整数的最大公约数和最小公倍数，并用主函数调用这两个函数，然后输出结果。两个整数由键盘输入。约定最大公约数为正整数 输入格式: 输入均不为0的整数n和m(n与m的乘积还在整数范围内) 输出格式: 输出这两个整数的最大公约数和最小公倍数 输入样例: 24 36 -48 128 输出样例: 12 72 16 -384 ###提示 公约数、公倍数 提示：a,b里有负的则最小公倍数就为负的

<think>我们要求两个整数的最大公约数（GCD）和最小公倍数（LCM），并用主函数调用。注意：输入均不为0，且n与m的乘积还在整数范围内。最大公约数要求为正整数，而最小公倍数则根据输入的正负性来确定（如果有一个是负数，则最小公倍数为负数；如果两个都是负数，则最小公倍数为正数？但是题目约定最大公约数为正整数，而最小公倍数则根据输入来定。根据样例：-48和128的最小公倍数是-384，所以我们可以这样：最小公倍数= (n* m) /最大公约数，这样计算会保留符号。但是注意，数学上最小公倍数通常定义为非负，但题目要求按照输入符号来，所以按照题目样例输出，我们按照公式计算即可。然而，最大公约数我们通常使用欧几里得算法（辗转相除法），并且结果为正。所以我们可以先求两个数的绝对值的最大公约数，然后最小公倍数用公式：LCM =(n* m) /GCD，但是这里要注意，由于整数除法，我们也可以先除以最大公约数再乘以另一个数，但为了避免溢出，我们可以调整顺序。但是题目中说明n与m的乘积还在整数范围内，所以可以直接用乘积除以最大公约数。步骤：1.编写一个函数gcd(a,b)求最大公约数，使用辗转相除法。注意，我们要求最大公约数为正整数，所以对输入取绝对值。2.编写一个函数lcm(a,b,gcd_value)或者直接利用gcd函数，用公式计算最小公倍数：lcm =(a* b) /gcd(a, b)但是这样可能会因为a和b的符号而得到负数。但是题目要求，如果有一个是负数，那么最小公倍数为负。所以这个公式正好满足，因为分子a*b会带上符号，而分母gcd是正数，所以结果会保留符号。但是注意：由于整数除法，如果a*b是负数，那么除以一个正数，结果就是负数。符合要求。但是，我们也可以这样：先计算gcd，然后最小公倍数= (a /gcd)* b或者(b/ gcd)* a，这样避免溢出？因为题目说乘积在整数范围内，所以直接使用a*b/gcd不会溢出，因为gcd是a和b的约数，所以整除。但是，如果a和b很大，a*b可能会溢出，所以我们可以先除后乘。因此，为了避免溢出，我们可以这样计算：lcm= (a /gcd_value) *b或者 (b /gcd_value) *a，但是这样会丢失符号吗？不会，因为除法的结果会保留符号。但是，由于整数除法，我们需要注意整除。因为gcd_value是a和b的公约数，所以a整除gcd_value是整数。所以我们可以这样：lcm= (a /gcd_value) *b然而，这样计算可能会出现负数？比如a是负数，那么(a/gcd_value)就是负数，再乘以b，如果b是正数，结果就是负数。符合要求。所以，我们选择：lcm= (a /gcd_value) *b或者 lcm =(b/ gcd_value)* a，但是这样写的话，我们实际上只需要一个表达式。注意，由于整数除法，我们要求整除，所以顺序不影响结果，但为了避免溢出，我们选择先除后乘。但是，由于a和b的乘积在整数范围内，而gcd_value是最大公约数，所以a/gcd_value和b/gcd_value都是整数，且它们的乘积（即最小公倍数）也在整数范围内（因为最小公倍数等于(a/gcd_value)*b，而a/gcd_value和b都是整数，且题目说a*b在整数范围内，而gcd_value是a的约数，所以a/gcd_value是整数，那么(a/gcd_value)*b就是整数，不会溢出？因为a*b/gcd_value= (a/gcd_value)*b，而a/gcd_value是整数，所以不会溢出？但是注意，a*b/gcd_value可能等于(a/gcd_value)*b，但是整数除法在整除的情况下是精确的。所以，我们可以这样计算最小公倍数：lcm= (a /gcd_value) *b但是，这样写的话，如果a是负数，那么a/gcd_value是负数，然后乘以b，结果就是负数。符合要求。然而，我们也可以这样：lcm =(b/ gcd_value)* a，结果一样。所以我们可以选择其中一种。但是，注意：如果a和b都是负数，那么gcd_value是正数，a/gcd_value是负数，乘以b（负数）得到正数。符合数学定义（最小公倍数通常定义为正整数？但是题目样例没有两个负数的情况，题目要求输出按照输入符号，而两个负数相乘为正，所以最小公倍数应该为正。但是题目样例中有一个负数的情况，输出为负。所以我们的公式也符合：两个负数的最小公倍数就是正数。因此，我们这样实现：gcd_value= gcd(a,b)#这个函数返回的是正整数lcm_value= (a //gcd_value) *b#注意，这里使用整数除法，因为a一定能被gcd_value整除但是，这里有一个问题：如果a是负数，那么a//gcd_value会向下取整（在Python中，整数除法对于负数会向下取整），但是因为gcd_value整除a，所以实际上余数为0，所以不会出现小数。所以整除是精确的。所以，我们可以这样写。但是，我们也可以使用绝对值来避免符号问题？但是公式(a//gcd_value)*b已经考虑了符号，所以直接这样写即可。另外，注意输入：输入均不为0。我们写代码时，主函数读取输入，然后调用gcd和lcm函数。但是，我们也可以不单独写lcm函数，而直接在主函数中计算lcm。但是题目要求编写两个函数。所以，我们定义两个函数：def gcd(a,b):#使用辗转相除法，注意我们处理的是绝对值，因为最大公约数为正a =abs(a)b =abs(b)while b:a,b =b,a %breturnadeflcm(a,b,gcd_value=None):#如果不想传入gcd_value，也可以在lcm函数内部调用gcd函数，但是题目要求两个函数，我们可以选择传入gcd_value，也可以选择在lcm内部计算gcd。但是为了避免重复计算，我们可以传入gcd_value，或者不传入，在lcm内部重新计算。#但是题目没有明确，我们可以选择在lcm函数内部调用gcd函数，这样我们只需要两个函数，但是主函数调用时只需要调用gcd和lcm，而lcm内部调用gcd。#或者，我们也可以这样：先计算gcd，然后计算lcm，这样主函数只需要调用gcd一次，然后调用lcm时传入gcd_value。#为了效率，我们可以让lcm函数接收gcd_value作为参数，这样避免重复计算。但是题目要求两个函数，并没有说不能互相调用。所以两种方式都可以。#这里我们选择在lcm函数内部调用gcd函数，因为题目要求两个函数，并没有说不能互相调用。但是这样会重复计算gcd吗？如果主函数已经计算了gcd，那么再在lcm中计算就重复了。所以我们可以设计两种方式：#方式1：lcm函数不依赖gcd函数，自己计算gcd（但这样重复了）#方式2：lcm函数依赖gcd函数，但这样主函数中调用gcd和lcm，lcm内部又调用gcd，重复计算。#为了避免重复计算，我们可以这样设计：主函数先计算gcd，然后计算lcm的时候传入gcd_value。这样lcm函数就可以直接使用。#但是题目要求两个函数，并没有说主函数怎么调用。所以我们可以让主函数先调用gcd得到最大公约数，然后调用lcm时传入这个最大公约数。#因此，我们定义lcm函数需要三个参数：a, b, gcd_value。或者我们可以定义两个版本的lcm函数？但是题目要求两个函数，我们这样定义：#函数1：gcd(a, b)#函数2：lcm(a, b, gcd_value)或者lcm(a, b)内部调用gcd(a,b)#题目没有明确，但为了效率，我们选择让lcm函数接收gcd_value作为参数。这样主函数可以这样：#g= gcd(a,b)#l= lcm(a, b, g)#另外，也可以不这样，我们写两个函数，但是lcm函数内部自己计算gcd，这样主函数只需要调用lcm(a,b)即可，但是这样在lcm内部会调用gcd，所以实际上我们只写了一个lcm函数，它内部使用了gcd函数。但是题目要求两个函数，所以这样也可以。#题目要求：编写两个函数，分别求两个整数的最大公约数和最小公倍数。所以这两个函数应该是独立的，但是并没有说不能互相调用。所以我们可以让lcm函数内部调用gcd函数。#这里我们选择让lcm函数内部调用gcd函数，这样我们就不需要在主函数中计算gcd两次（一次输出，一次给lcm用），而是主函数调用gcd输出，然后调用lcm（内部又调用gcd）得到lcm。这样重复计算了gcd。为了避免重复计算，我们可以在主函数中只调用一次gcd，然后将其作为参数传递给lcm函数，或者直接计算lcm =(a*b)//gcd_value，但是这样就需要主函数中计算gcd_value。#但是题目要求两个函数，所以我们必须有gcd函数和lcm函数。所以我们可以这样：#方案1（推荐）：#defgcd(a, b):#...返回最大公约数（正数）#deflcm(a,b):#g= gcd(a,b)#return(a// g) *b#这样写避免了重复传入gcd_value，但内部调用了gcd，所以重复计算了gcd。但是主函数如果同时需要gcd和lcm，那么主函数调用gcd一次，然后调用lcm时又会调用gcd一次，所以两次计算。#方案2：#主函数中：#g =gcd(a, b)#l =lcm(a,b,g)#这样lcm函数可以定义为：#def lcm(a, b, gcd_value):#return(a// gcd_value)* b#题目没有明确，所以两种都可以。但是为了减少计算，我们选择方案2。因为方案1中，如果主函数已经计算了gcd，那么lcm内部再计算一次就重复了。#但是题目要求两个函数，并没有说主函数怎么调用，所以我们可以自由设计。这里我们按照方案2。因此，我们定义：gcd(a,b)返回最大公约数（正整数）lcm(a, b, gcd_value)返回最小公倍数（根据a,b的符号）主函数：读取输入的两个整数n和mg =gcd(n, m)l =lcm(n,m,g)输出：g,l但是，注意题目输出样例：第二行输出的是“16 -384”，所以输出格式是：最大公约数（正整数）最小公倍数（带符号）另外，注意输入可能有负数，但是gcd函数内部已经取了绝对值，所以gcd返回正数。但是，在计算lcm的时候，我们使用公式：lcm =(a// gcd_value)* b这里gcd_value是正数，所以a//gcd_value会保留a的符号。但是，我们也可以这样：lcm =(b// gcd_value)* a结果一样吗？数学上一样，但是因为整数除法，我们最好保证整除。实际上，因为gcd_value是a和b的公约数，所以a和b都能被整除。但是，我们选择哪个？实际上，为了避免溢出，我们选择除以较大的那个数？但是这里我们选择除以其中一个。实际上，我们选择除以a再乘以b，或者除以b再乘以a，结果一样吗？在整数运算中，因为整除，所以一样。但是，注意：整数除法有顺序，如果a和b符号不同，那么先除a还是先除b，得到的中间结果符号不同，但最终结果一样吗？我们看：(a //g) *b和 (b //g)* a是否相等？因为g整除a和b，所以a//g和b//g都是整数，并且有：(a//g) *b =(b//g) *a因为：(a//g)* b= a* b// g(b//g)* a= b* a// g所以相等。因此，我们可以任意选择。但是，我们需要注意：当a和b中有一个绝对值较大时，我们希望先除以g再乘，这样可以避免溢出。但是题目保证乘积在整数范围内，所以两种都不会溢出？因为a//g是整数，乘以b，而题目说a*b在整数范围内，而a//g* b= (a*b)//g，而g>=1，所以这个值不会超过a*b的绝对值，所以不会溢出。但是，如果a和b都是很大的整数，a*b可能会溢出，但是题目说n与m的乘积还在整数范围内，所以不会溢出。所以我们可以直接使用(a*b)//g，但是这样可能乘积很大，所以我们选择先除后乘。因此，我们写： (a //g) *b或者 (b //g)* a但是，我们需要注意整除的方向。在Python中，整数除法//对于负数是向下取整，但是因为g整除a，所以a//g是精确的整数（没有余数），所以不会出现舍入问题。因此，两种写法都可以。我们这里选择：(a// g) *b因此，lcm函数可以这样写：return(a// gcd_value)* b但是，如果a不能被g整除怎么办？但是g是a和b的最大公约数，所以一定能整除。所以没问题。现在，我们写代码。注意：输入可能有多个测试用例，题目没有说，但是样例输入有两行，所以我们需要循环读取，直到没有输入为止？但是题目没有说明，一般OJ是一次运行测试多个用例，所以我们可以使用循环读取每一行。但是，题目要求：输入均不为0的整数n和m。输入格式没有说明多少行，所以我们可以这样：每次读一行，如果读到EOF就结束。在Python中，我们可以这样：whileTrue:try:data= input().split()if notdata:breakn= int(data[0])m= int(data[1])#计算并输出exceptEOFError:break但是，题目没有明确，我们也可以只处理一行输入？但是样例有两行输出，所以应该是多行输入。因此，我们使用循环读取。但是，注意题目只要求输入两个整数，每行两个整数。所以，我们按照每行两个整数处理。代码结构：defgcd(a, b):a =abs(a)b =abs(b)while b:a,b =b,a %breturnadeflcm(a,b,gcd_value):#计算最小公倍数return (a //gcd_value) *b#注意：整数除法，整除while True:try:data= input().split()if len(data)<2:breakn =int(data[0])m =int(data[1])g =gcd(n, m)l =lcm(n,m,g)#输出：先输出最大公约数g，再输出最小公倍数lprint(f"{g}{l}")except EOFError:break但是，注意样例输出：第二行是“16 -384”，所以我们的计算对于负数的情况是符合的。测试样例1：24,36 ->gcd=12,lcm=(24//12)*36=2*36=72->输出1272测试样例2：-48,128->gcd:先取绝对值：48,128 ->用辗转相除法：48,128 ->128%48=32 ->48,32->48%32=16 ->32%16=0 ->gcd=16lcm:(-48//16)*128 =(-3)*128= -384 ->输出16 -384所以符合。但是，注意：如果两个数都是负数，比如-24,-36：gcd:24,36->12lcm:(-24//12)*(-36) =(-2)*(-36)=72->输出1272（因为最大公约数是12，最小公倍数是72，但题目要求最大公约数为正整数，所以12正确。最小公倍数数学上通常为正，所以这里72也是正确的，而且题目没有特别说明两个负数的情况，但按照公式，两个负数的最小公倍数应该是正的，所以符合。）因此，代码正确。但是，我们也可以考虑另一种情况：一个数为0？题目约定输入不为0，所以不需要考虑。现在，我们写代码。注意：在辗转相除法中，我们要求b不为0，但是题目输入不为0，所以一开始b不为0？但是当b=0时，循环条件whileb就跳过了，所以返回a（取绝对值后）。但是题目输入不为0，所以不会出现0。但是我们的辗转相除法也考虑了b=0的情况（返回a的绝对值）。所以代码是健壮的。下面我们写代码。</think>以下是求解两个整数的最大公约数（GCD）和最小公倍数（LCM）的完整Python实现。代码包含详细注释说明每个步骤的作用。 ```python def gcd(a, b): """ 计算两个整数的最大公约数（GCD） 使用欧几里得算法（辗转相除法），结果返回正整数 """ a, b = abs(a), abs(b) # 取绝对值确保计算过程中为正数 while b != 0: a, b = b, a % b # 辗转相除：a变为b，b变为a除以b的余数 return a # 当b为0时，a即为最大公约数 def lcm(a, b, gcd_value): """ 计算两个整数的最小公倍数（LCM） 公式：LCM = (a * b) / GCD，但为避免溢出采用先除后乘 结果保留原始数值的符号（若任一数为负则结果为负） """ # 先进行整数除法确保结果精确，再乘以另一个数 return (a // gcd_value) * b # 等价于 (b // gcd_value) * a if __name__ == "__main__": while True: try: # 读取一行输入，若读取失败（EOF）则退出循环 data = input().split() if not data: break n = int(data[0]) m = int(data[1]) # 计算最大公约数和最小公倍数 gcd_value = gcd(n, m) lcm_value = lcm(n, m, gcd_value) # 输出结果 print(f"{gcd_value} {lcm_value}") except EOFError: break # 捕获文件结束符（Ctrl+D或输入结束）退出 except: break # 其他异常也退出循环 ``` ### 代码解释： 1. **gcd函数**： - 使用欧几里得算法（辗转相除法）计算最大公约数。 - 先取输入值的绝对值，确保计算过程不受负数影响。 - 通过循环不断用除数除以余数，直到余数为0，此时除数即为最大公约数。 - 返回结果保证为正整数。 2. **lcm函数**： - 基于公式 $LCM(a, b) = \frac{|a \times b|}{GCD(a, b)}$，但实际计算采用优化形式 $(a // \text{gcd\_value}) \times b$。 - 先整除再乘法避免大数溢出（题目保证乘积在整数范围内，但此写法更安全）。 - 结果符号由输入决定：若任一输入为负，则结果为负；若全为正或全为负，则结果为正。 3. **主程序**： - 循环读取输入，每行两个整数。 - 调用 `gcd` 和 `lcm` 函数计算结果。 - 使用 `try-except` 处理输入结束（EOF）情况。 - 输出格式为：最大公约数（正整数） 最小公倍数（带符号）。 ### 示例验证： - **输入 `24 36`**： - GCD：`gcd(24,36) → 12` - LCM：`(24 // 12) * 36 = 2 * 36 = 72` → 输出 `12 72` - **输入 `-48 128`**： - GCD：`gcd(-48,128) → gcd(48,128)=16` - LCM：`(-48 // 16) * 128 = (-3) * 128 = -384` → 输出 `16 -384` ### 注意事项： - 最大公约数始终返回正整数，符合题目要求。 - 最小公倍数符号由输入决定，符合数学规则（$a \times b$ 的符号决定结果符号）。 - 整数除法 `//` 确保计算结果精确（因最大公约数必能整除输入值）。 ---