树状数组 python

### 树状数组简介 树状数组（Binary Indexed Tree，简称 BIT）是一种高效的数据结构，用于处理动态前缀和查询以及单点更新操作。其核心思想是通过构建辅助数组 `e` 来存储部分前缀和的信息，从而加速计算过程。 #### 树状数组的核心概念 树状数组中的每一个节点 `e[i]` 存储的是原数组 `a` 中某些元素的和[^2]。具体来说，对于索引 `i` 的父节点可以通过函数 `lowbit(i)` 计算得到，该函数返回二进制表示下最低位的 1 及之后的部分对应的数值。 以下是低比特函数的定义： ```python def lowbit(x): return x & (-x) ``` 此函数的作用在于提取整数 `x` 的最低有效位上的 1 所代表的值[^4]。 --- ### Python 实现树状数组 下面展示了一个完整的基于 Python 的树状数组实现： #### 初始化与基本操作 初始化树状数组时，通常需要传入原始数组并将其转换为树状数组形式。以下代码展示了如何完成这一功能： ```python class BinaryIndexedTree: def __init__(self, size_or_list): if isinstance(size_or_list, int): # 如果输入是一个整数，则创建指定大小的零数组 self.size = size_or_list self.tree = [0] * (size_or_list + 1) elif isinstance(size_or_list, list): # 如果输入是一个列表，则根据列表初始化 self.size = len(size_or_list) self.tree = [0] * (self.size + 1) for idx, val in enumerate(size_or_list, start=1): self.update(idx, val) def update(self, index, value): """ 更新某个位置的值 """ diff = value - (self.query(index) - self.query(index - 1)) # 计算差值 i = index while i <= self.size: self.tree[i] += diff i += lowbit(i) def query(self, index): """ 查询前缀和 """ res = 0 i = index while i > 0: res += self.tree[i] i -= lowbit(i) return res ``` 上述代码实现了两个主要方法：`update()` 和 `query()`。前者负责修改特定位置的值；后者则用来获取给定范围内的前缀和。 #### 前缀和的应用实例 假设我们有一个初始数组 `[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]`，可以利用树状数组快速求解其前缀和。例如，要求数组中第 1 到第 4 项的总和，只需调用两次 `query()` 方法即可得出结果： ```python nums = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7] # 构建树状数组对象 bit = BinaryIndexedTree(nums) # 求前缀和 cumulative_sum_up_to_4 = bit.query(4) # 结果应为 1+2+3+4=10 print(cumulative_sum_up_to_4) # 输出: 10 ``` 这里需要注意的是，在实际应用过程中可能会遇到更复杂的场景，比如区间更新等问题，这些都可以通过对基础版本稍作扩展来支持[^3]。 --- ### 蓝桥杯真题解析 为了更好地理解树状数组的实际用途，我们可以尝试解答一道来自蓝桥杯竞赛的经典题目——**逆序对统计问题**。所谓逆序对是指在一个序列里满足条件 \( A_i > A_j \) 并且 \( i < j \) 的一对元素组合的数量。 解决方案如下所示： ```python from bisect import bisect_left def count_inversions(arr): sorted_arr = [] inversion_count = 0 for num in reversed(arr): pos = bisect_left(sorted_arr, num) inversion_count += pos sorted_arr.insert(pos, num) return inversion_count arr = [3, 1, 2, 5, 4] inversion_result = count_inversions(arr) print(inversion_result) # 应输出 3 对逆序关系 ``` 尽管这段代码并未直接采用树状数组技术，但它同样能够有效地解决问题。如果改用树状数组方式重写的话，效率会更高尤其是面对大规模数据集的时候[^1]。 --- ###