用Python实现找零问题的动态规划代码

<think>嗯，用户让我介绍一下用Python实现找零问题的动态规划代码。首先，我得回忆一下找零问题的动态规划解法。找零问题应该是给定不同的硬币面额，计算凑出某个金额所需的最少硬币数。对吧？ 动态规划通常需要确定状态转移方程。那这个问题的状态应该是什么？比如，dp[i]表示凑出金额i所需的最少硬币数。那初始条件的话，dp[0] = 0，因为凑0元不需要硬币。其他金额初始可以设为无穷大，表示暂时无法凑出。 然后，状态转移方程应该是怎样的呢？对于每个金额i，遍历每个硬币面额coin，如果coin小于等于i的话，那么dp[i] = min(dp[i], dp[i - coin] + 1)。这样每次尝试用当前硬币来更新最小值。对吧？ 接下来，我需要用Python代码来实现这个思路。首先定义一个函数，比如叫coin_change，接收硬币列表和总金额。然后初始化一个dp数组，长度是总金额加1，初始值设为无穷大。然后dp[0] = 0。 然后循环从1到总金额，每个i都要遍历所有硬币，看看能不能用硬币来减少数量。这里要注意，硬币可能有重复的面额，不过动态规划处理时会自动处理这种情况，所以不需要去重。 测试一下例子，比如coins = [1, 2, 5]，amount = 11，应该返回3，因为5+5+1。那代码是否正确呢？比如当i=1时，coin=1，dp[1] = min(inf, dp[0]+1) = 1。i=2时，用coin=2的话，dp[2] = dp[0]+1=1，或者用两个1，但这里会更优。这样下去，最后返回dp[amount]，如果是无穷大的话返回-1。 然后用户可能需要代码的示例，以及解释。另外，可能要考虑一些边界情况，比如金额为0时返回0，或者硬币列表为空的情况。这时候需要处理这些情况吗？比如在代码中，如果amount是0，直接返回0。如果硬币列表为空且amount>0，返回-1。 那现在把这些思路写成代码。测试一下是否正确。比如另一个例子，coins = [2], amount =3，应该返回-1。而coins = [1,3,4], amount=6，最少是2个3。用代码的话，dp[6] = min(dp[6-3]+1, ...) 即dp[3]是1，所以结果是2。 可能的错误点在于初始化的时候，是否用float('inf')，然后在比较的时候是否正确。另外，循环的顺序是否正确，先遍历金额，再遍历硬币。 然后用户可能需要解释代码的步骤。所以分步骤讲解，比如初始化、填表、返回结果。 是否要考虑硬币列表中有面额大于当前金额的情况？比如当前i是3，硬币面额是5的话，这时候coin > i，会被跳过，不影响。所以代码中的条件判断是否必要？是的，必须判断coin <= i。 然后把这些思路整理成中文的回答，结构清晰，分步骤说明，并给出代码示例。可能还要提到时间复杂度和空间复杂度。时间复杂度是O(amount * len(coins))，空间是O(amount)。 最后检查代码是否符合要求，比如使用动态规划，是否处理了无法找零的情况，返回-1。还有代码中是否有语法错误，比如Python中的range是否正确，列表初始化是否正确。</think>### 用Python实现找零问题的动态规划代码分步解析 --- #### **问题定义** **找零问题**：给定硬币面额列表 `coins` 和目标金额 `amount`，求凑出金额 `amount` 所需的最少硬币数量。若无法凑出，返回 `-1`。 --- #### **动态规划思路** 1. **定义状态** - $dp[i]$：表示凑出金额 $i$ 所需的最少硬币数。 2. **初始化** - $dp[0] = 0$（金额为0时不需要硬币） - 其他 $dp[i]$ 初始化为一个极大值（如 $\infty$），表示暂时无法凑出。 3. **状态转移方程** 对于每个金额 $i$，遍历所有硬币面额 $coin$： $$ dp[i] = \min(dp[i], dp[i - coin] + 1) \quad (\text{需满足} \,\, coin \leq i) $$ 4. **结果判断** - 若 $dp[amount]$ 仍为 $\infty$，说明无法凑出，返回 `-1`；否则返回 $dp[amount]$。 --- #### **Python代码实现** ```python def coin_change(coins, amount): # 初始化dp数组：dp[i]表示凑出金额i所需的最少硬币数 dp = [float('inf')] * (amount + 1) dp[0] = 0 # 初始条件 # 动态规划填表 for i in range(1, amount + 1): for coin in coins: if coin <= i: # 仅当硬币面额不超过当前金额时有效 dp[i] = min(dp[i], dp[i - coin] + 1) # 判断是否有解 return dp[amount] if dp[amount] != float('inf') else -1 ``` --- #### **代码解释** 1. **初始化** ```python dp = [float('inf')] * (amount + 1) dp[0] = 0 ``` - 创建长度为 `amount + 1` 的数组，初始值为无穷大（表示不可达）。 - 明确边界条件：凑出金额0需要0个硬币。 2. **填表过程** ```python for i in range(1, amount + 1): for coin in coins: if coin <= i: dp[i] = min(dp[i], dp[i - coin] + 1) ``` - 外层循环遍历所有金额 `i`（从1到`amount`）。 - 内层遍历硬币面额，若硬币面额不超过当前金额，则尝试更新 `dp[i]`。 3. **结果返回** ```python return dp[amount] if dp[amount] != float('inf') else -1 ``` - 若最终 `dp[amount]` 仍为无穷大，说明无解，返回 `-1`；否则返回最少硬币数。 --- #### **示例测试** ```python # 测试案例1 coins = [1, 2, 5] amount = 11 print(coin_change(coins, amount)) # 输出3（5+5+1） # 测试案例2 coins = [2] amount = 3 print(coin_change(coins, amount)) # 输出-1（无法凑出3） ``` --- #### **复杂度分析** - **时间复杂度**：$O(n \times k)$，其中 $n$ 是目标金额 `amount`，$k$ 是硬币种类数。 - **空间复杂度**：$O(n)$，用于存储 `dp` 数组。