matlab 皮尔逊分析法

### MATLAB 中实现皮尔逊 III 型分布的方法 #### 背景介绍 皮尔逊 III 型分布是一种特殊的概率分布，其数学形式可以被看作 Gamma 分布的一个变体。它常用于水文学等领域中的频率分析[^1]。该分布由三个参数定义：形状参数 \( \alpha \)，尺度参数 \( \beta \)，以及位置参数 \( \gamma \)。 在 MATLAB 中可以通过自定义函数或者利用内置工具箱来完成皮尔逊 III 型分布的相关操作，包括参数估计、密度函数绘制、累积分布函数 (CDF) 计算以及 Kolmogorov-Smirnov (KS) 检验等。 --- #### 参数估计 对于皮尔逊 III 型分布的参数估计，通常采用矩法或其他数值优化技术。以下是基于矩法的一种简单实现方式： ```matlab function [alpha, beta, gamma] = pearsonIII_params(data) % 使用矩法估算皮尔逊 III 型分布的参数 alpha, beta 和 gamma mu = mean(data); % 样本均值 sigma = std(data); % 样本标准差 skewness_val = skewness(data); % 样本偏度 alpha = (4 / skewness_val)^2; % 形状参数 beta = sqrt(sigma^2 * alpha); % 尺度参数 gamma = mu - alpha * beta; % 位置参数 end ``` 上述代码通过样本的一阶矩（均值）、二阶矩（方差）和三阶矩（偏度），推导出皮尔逊 III 型分布所需的三个参数。 --- #### 密度函数与分布函数 一旦获得了分布的参数，就可以进一步计算 PDF 或 CDF 并绘图。以下是一个完整的例子： ```matlab % 定义数据集并估算参数 data = randn(1000, 1).^3 + 5; % 示例数据 [alpha, beta, gamma] = pearsonIII_params(data); % 自定义皮尔逊 III 型分布的概率密度函数 pdf_pearsonIII = @(x) (1/gammafunc(alpha)) .* ((x-gamma)/beta).^(alpha-1) .* exp(-(x-gamma)/beta); cdf_pearsonIII = @(x) gammainc((x-gamma)/beta, alpha); % 绘制PDF和CDF figure; x_range = linspace(min(data), max(data), 1000)'; y_pdf = pdf_pearsonIII(x_range); plot(x_range, y_pdf, 'b-', 'LineWidth', 1.5); hold on; histogram(data, 'Normalization', 'pdf', 'FaceColor', 'r'); title('Pearson Type III Distribution Fit'); xlabel('Value'); ylabel('Density'); figure; y_cdf = cdf_pearsonIII(x_range); plot(x_range, y_cdf, 'g-', 'LineWidth', 1.5); title('Cumulative Distribution Function of Pearson Type III'); xlabel('Value'); ylabel('Probability'); ``` 此部分展示了如何使用 `gammainc` 函数构建 CDF，并借助 `gammafunc` 来表示标准化因子。 --- #### KS 检验验证模型适配性 为了评估拟合效果，可执行 KS 检验以判断实际数据是否服从所假设的理论分布： ```matlab [h, p_value] = kstest(data, 'Cdf', @(t)cdf_pearsonIII(t)); if h == 0 disp(['KS Test Passed with P-value: ', num2str(p_value)]); else disp(['KS Test Failed with P-value: ', num2str(p_value)]); end ``` 这里调用了 MATLAB 的 `kstest` 函数来进行单样本 K-S 测试，从而量化观测数据与目标分布之间的差异程度。 --- ### 总结 以上介绍了如何在 MATLAB 中实现皮尔逊 III 型分布的关键步骤，涵盖了从参数估计到最终模型验证的过程。这些功能不仅适用于学术研究，在工程实践中也有广泛的应用场景。 ---

### 使用Matlab实现基于皮尔逊相关的特征波长选择 为了在Matlab中使用皮尔逊相关系数进行特征波长的选择，可以按照如下方式构建程序。该过程涉及计算样本数据与参考标准之间的皮尔逊相关系数，并依据这些系数挑选出最具代表性的波长。 #### 数据准备 假设有一个光谱数据矩阵 `spectra`，每一列表示一个样品的不同波长处的反射率或其他强度值，以及一个向量 `reference` 表示已知的标准或目标响应模式。 ```matlab % 假设 spectra 是 n x m 的矩阵 (n 波长数, m 样本数)，而 reference 是长度为 m 的向量 [n, m] = size(spectra); ``` #### 计算皮尔逊相关系数 利用内置函数 `corrcoef()` 可以方便地获取两组变量间的皮尔逊相关系数。这里将逐个波长与参考信号做比较： ```matlab pearsonCoefficients = zeros(n, 1); % 初始化存储皮尔逊系数的空间 for i = 1:n tempCorrMatrix = corrcoef(spectra(i,:), reference'); pearsonCoefficients(i) = tempCorrMatrix(1,2); % 提取非自相关部分的相关系数 end ``` 上述循环遍历每一个波长位置上的所有样本点与其对应的参考值之间关系，并记录下相应的皮尔逊相关系数[^1]。 #### 特征波长选取 根据得到的相关性得分，可以选择那些具有最高绝对值的若干个波长作为最终选定的特征波长。这可以通过简单的排序操作完成: ```matlab [~, sortedIndices] = sort(abs(pearsonCoefficients), 'descend'); % 对绝对值降序排列索引 selectedWavelengthsIndex = sortedIndices(1:k); % k 为你想要选出的前k大波长的位置编号 ``` 这里的 `k` 定义了希望保留多少个最显著的波长用于后续分析。通过这种方式，可以从原始大量的波长选项中精炼出一组更具区分度的小规模子集[^3]。 #### 结果展示 最后，可以用图形化的方式直观呈现所选波长及其对应的相关程度： ```matlab figure; plot(selectedWavelengthsIndex, abs(pearsonCoefficients(selectedWavelengthsIndex)), '-o') title('Selected Wavelengths Based on Pearson Correlation Coefficients') xlabel('Wave Length Index') ylabel('|Pearson Coefficient|') grid on; ``` 此图展示了经过筛选后的波长位置及各自的重要性评分，有助于进一步理解哪些特定区域的信息对于识别或分类任务最为关键。